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1、主页主页空间向量的空间向量的 正交分解及其坐标表示正交分解及其坐标表示主页主页共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:主页主页平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyo主页主页问题：问题：我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那
2、么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。主页主页探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的，你能得出类似的 结论吗？结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做都叫做基向量基向量主页主页（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的
3、一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面，还应明确：还应明确：（2）由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：推论：设设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间
4、任一是不共线的四点，则对空间任一点点P，都存在唯一的有序实数组，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使，使 当且仅当当且仅当x+y+z=1时，时，P、A、B、C四点共面。四点共面。主页主页一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O为原点，分为原点，分别以别以
5、e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标坐标向量向量.通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平坐标平面面。主页主页 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组
6、(x,y,z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3主页主页 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底在单位正交基底e1,e2,e3中与向量中与向量OA对应的有序实数对应的有序实数组组(x,y,z)，叫做点，叫做点A在此空在此空间直角坐标系中的坐标，记间直角坐标系中的坐标，记作作A(
7、x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的的横坐标，横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3主页主页练习：练习：1、在空间坐标系、在空间坐标系o-xyz中，中，(分分别是与别是与x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向相同的单位向量轴的正方向相同的单位向量)则则 的坐标为的坐标为 ，点，点B的坐标为的坐标为 。2、点、点M（2，-3，-4）在坐标平面）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正内的正投影的坐标分别为投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为，关于原点的对称点为 ，关于，关于x轴的对称点为轴的对称点为 ，主页主页例题例题已
8、知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ主页主页1、已知向量、已知向量a，b，c是空间的一个基底是空间的一个基底求证：向量求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底能构成空间的一个基底练习练习主页主页练习练习2主页主页ABDCOE主页主页一、复习一、复习:平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 空间向量类似于平面向量可以用坐标表示空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且也而且也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行有类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及
9、进行有关判断关判断.主页主页二、向量的直角坐标运算二、向量的直角坐标运算.主页主页 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.设设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则M=(x,y,z),若若M是线段是线段AB的中点，的中点，二、向量的直角坐标运算二、向量的直角坐标运算.主页主页练习已知练习已知 求求主页主页 .求下列两点之间的距离求下列两点之间的距离:(1)A(1,2,0),B(2,4,3);(2)C(-3,1,5),D(0,-2,3).主页主页.求下列向量
10、的夹角的余弦求下列向量的夹角的余弦:主页主页例例.正正方方体体ABCD-A1B1C1D1中中,E,F,G分分别别为为AB,BC,CC1的中点的中点,求求EF与与BG所成角的余弦值所成角的余弦值.【注意】求出的余弦值如果是个正数就为本题的结【注意】求出的余弦值如果是个正数就为本题的结果果,如是个负数则要取它的相反数作为本题的结果如是个负数则要取它的相反数作为本题的结果.HEFGD1C1B1ABCDA1解解:设正方体的棱长为设正方体的棱长为4,则则主页主页xzyEFGD1C1B1ABCDA1思思路路二二:利利用用空空间间向向量量的的知知识识,转转化化为为求求EF和和BG的的夹夹角角,进进一一步步转
11、转化化为为求求它它们的数量积和长度们的数量积和长度.主页主页解解:不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为1,分别以分别以 为单位为单位正交基底建立空间直角坐标系正交基底建立空间直角坐标系Dxyz.则则 E(1,0.5,0),F(0.5,1,0),B(1,1,0),G(0,1,0.5).主页主页解解:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标建立空间直角坐标Oxyz,例例1.如图如图,在正方体中，在正方体中，求求BE1与与DF1所成的角的余弦值所成的角的余弦值.DABC主页主页主页主页1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式）两个向量的夹角公式.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.