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1、信号与线性系统信号与线性系统SIGNALSANDLINEARSYSTEMS 信息学部信息学部-胡冬全胡冬全 2012-5-26-辅导课辅导课1.关于时域分析关于时域分析辅导课（一）辅导课（一）2.关于频域分析关于频域分析信号的时间变换1.1.信号的反转信号的反转2.2.信号的平移信号的平移3.3.信号的展缩（尺度变换）信号的展缩（尺度变换）4.4.混合运算举例混合运算举例1.信号反转信号反转将将f(t)f(t)，f(k)f(k)称为对信号称为对信号f()的反转或反折。的反转或反折。从图形上看是将从图形上看是将f()以纵坐标为轴反转以纵坐标为轴反转180o。如。如t t-t t2.信号的平移信号
2、的平移将将f(t)f(t t0)，f(k)f(t k0)称称为对信号为对信号f()的平移或移位。若的平移或移位。若t0(或或k0)0，则将则将f()右移；否则左移。右移；否则左移。如如t t 1右移右移t t+1左移左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。3.信号的展缩(尺度变换）将将f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f(t)的尺度的尺度变换。变换。若若a 1，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0a 1，则，则扩展扩展。如。如t 2t压缩压缩t 0.5t扩展扩展对于离散信号，由于对于离散信号，由于f(a k)仅在为仅在为a k为整数时
3、才有意义，为整数时才有意义，进行尺进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。例例信号信号f(t)的波形如图所示，画出信号、的波形如图所示，画出信号、f(t+4)、f(-t+4)、f(-2t+4)的波形。的波形。阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数1.1.单位阶跃函数单位阶跃函数定义定义一、一、单位单位阶跃函数阶跃函数0t12.2.单位阶跃函数单位阶跃函数的特性的特性1.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数1(t+t0)t-t00l延时延时1(t-t0)tt00例例信号如图，利用阶跃函数写出其函数式。信号如图，利用
4、阶跃函数写出其函数式。门函数门函数解解(a)(b)(a)(b)(c)0tA0t10t12-11二二单位冲激函数单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。作用时间极短一种物理量的理想化模型。l 狄拉克(Dirac)定义定义l 函数序列定义函数序列定义(t t)l 冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系l 冲激函数的性质冲激函数的性质1.狄拉克狄拉克(Dirac)定义定义函数值只在函数值只在t=0时不为零；时不为零；积分面积为积分面积为1 1；t=0时，时，为无界函数。，为无界函数。3.(t)与与(t
5、)的关系的关系求导求导n求导求导4.单位冲激平移单位冲激平移t0t0引入冲激函数之后，间断点的导数也存在引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2(t+1)-2(t-1)f(t)=2(t+1)-2(t-1)求导求导四、冲激函数的性质四、冲激函数的性质(1)与普通函数相乘与普通函数相乘四、冲激函数的性质四、冲激函数的性质（2）移位）移位例例化简下列各式，并画出波形。化简下列各式，并画出波形。1.解：解：3解：解：冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、单位冲激响应一、单位冲激响应系统在单位冲激函数激励下的系统在单位冲激函数激励下的零状态响应零状态响应。对于一个线性系统，总可以用下列形式的方
6、程来描述：对于一个线性系统，总可以用下列形式的方程来描述：例例1描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为求其冲激响应求其冲激响应解解根据冲激响应的定义根据冲激响应的定义，满足方程满足方程时，时，是齐次方程是齐次方程当当特征方程：特征方程：特征根特征根:在初始条件在初始条件下的解。下的解。解的一般形式解的一般形式微分特性微分特性积分特性积分特性2.由冲激响应求单位阶跃响应由冲激响应求单位阶跃响应卷积积分卷积积分 目的要求目的要求:第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析熟练掌握卷积的图解法；熟练掌握卷积的图解法；系系统统的的零零状状态态响响应应等等于于系系统统的的单单位位冲激响
7、应与激励信号的卷积。即冲激响应与激励信号的卷积。即记为记为。结论：结论：二、卷积的图解二、卷积的图解求任意时刻求任意时刻时的卷积值时的卷积值步骤步骤：1.改换变量改换变量：将：将和和的自变量用的自变量用 代换得代换得、2.反折反折：将：将以纵坐标为轴反折得以纵坐标为轴反折得3.平移平移：将：将沿正沿正轴平移时间轴平移时间，得到，得到5.积分值积分值4.相乘相乘：为一以为一以为变量的曲线为变量的曲线、如图，如图，例例 已知已知求求:并画出波形。并画出波形。(b)t=0 f1(t t)-5-4-3-2-1012345671 f2(t-t t)t-2t-5t=4 f1(t t)-5-4-3-2-10
8、12345671 f2(t-t t)t-2t-5(c)1.图解法图解法t=7 f1(t t)-5-4-3-2-1012345671 f2(t-t t)t-2t-5(d)t=10 f1(t t)-5-4-3-2-1012345671 f2(t-t t)t-2t-5(e)t=12 f1(t t)-5-4-3-2-1012345671 f2(t-t t)t-2t-5(f)函数与冲激函数的卷积函数与冲激函数的卷积即即函数与冲激函数的卷积就是它本身函数与冲激函数的卷积就是它本身。进一步推广，可得进一步推广，可得令令，则有，则有关于频域分析关于频域分析首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数首先讨论傅
9、里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将频域分析将时间变量变换成频率变量时间变量变换成频率变量，揭示了信号，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念
10、。制和频分复用等重要概念。傅里叶级数傅里叶级数、周期信号的分解、周期信号的分解1.三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数:设周期信号为设周期信号为f(t),其重复周期为其重复周期为T,角频率角频率直流分量：直流分量：余弦分量的幅度：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：正弦分量的幅度：an 是是n 的偶函数的偶函数bn 是是n的奇函数的奇函数其中，各个量之间关系如下其中，各个量之间关系如下An、an 是是n 的偶函数的偶函数bn、是是n的奇函数的奇函数4.2傅里叶级数傅里叶级数结论：结论：任意周期信号只要满足狭义赫利条件就可以分解成直流任意周期信号只要满足狭义赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦
11、、余弦分量之和。这些正弦、余弦分量的频分量及许多正弦、余弦分量之和。这些正弦、余弦分量的频率必定是基频率必定是基频f 的整数倍。通常的整数倍。通常把频率为把频率为f,2f,3f,等的等的分量分别称为基波，二次谐波，三次谐波分量分别称为基波，二次谐波，三次谐波。傅里叶级数所取的项数傅里叶级数所取的项数n(=N)愈多，相加后波形愈逼近愈多，相加后波形愈逼近原信号原信号f(t),方均误差愈小。方均误差愈小。4.2傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为例例 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数例例 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波和三次谐波二项时只
12、取基波和三次谐波二项时方均误差：方均误差：例例 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波和三次和五次谐波三项时只取基波和三次和五次谐波三项时方均误差：方均误差：例例 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波、三次、五次、七次谐波三项时只取基波、三次、五次、七次谐波三项时方均误差：方均误差：吉伯斯现象：吉伯斯现象：傅里叶级数所取的项数愈多，相加后波形愈逼近原信号傅里叶级数所取的项数愈多，相加后波形愈逼近原信号f(t)。但但在间断点附近，随所取的项数的增多，合成波形的突峰愈靠近间断在间断点附近，随所取的项数的增多，合成波形的突峰愈靠近间断点，而该峰起值则趋于一个常数
13、，他大约等于跳变值的点，而该峰起值则趋于一个常数，他大约等于跳变值的9%，并从，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。1.傅里叶级数所取的项数傅里叶级数所取的项数n(=N)愈多，相愈多，相加后波形愈逼近原信号加后波形愈逼近原信号f(t)，方均误差愈小。，方均误差愈小。当当N接近接近时，时，SN=f(t)；2.当信号为脉冲信号时，其当信号为脉冲信号时，其高频分量主要高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部脉冲的顶部。所以。所以f(t)波形变化愈剧烈，所波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富；变
14、化愈缓慢，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富。包含的低频分量愈丰富。结论：结论：二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 1、偶函数偶函数关于纵轴对称关于纵轴对称图图 偶函数偶函数(a)(b)图图 奇函数奇函数(a)(b)2、奇函数奇函数关于坐标原点对称关于坐标原点对称二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 3、偶谐函数偶谐函数半半周期重叠周期重叠只有偶次只有偶次谐波谐波-T-T/20T/2T)(tft)(tf-T-T/20T/2T)(tft)(tf4、奇谐函数奇谐函数半半周期镜像对称周期
15、镜像对称只有奇次只有奇次谐波谐波二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 谱谱依照事物的类别、系统编制的表册、图形等依照事物的类别、系统编制的表册、图形等。频谱：频谱：幅度频谱幅度频谱谐波振幅大小随频率变化的关系谐波振幅大小随频率变化的关系。相位频谱相位频谱谐波相位大小随频率变化的关系谐波相位大小随频率变化的关系。周期信号的频谱周期信号的频谱、周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点根据根据，可以画出，可以画出谐波幅度谱谐波幅度谱与与相位谱相位谱。，可以画出，可以画出复傅里叶系数幅度谱复傅里叶系数幅度谱根据根据与与相位谱相位谱。周期信号频谱的特点：周期信号频
16、谱的特点：(1)(1)离散性离散性(2)(2)谐波性谐波性(3)(3)收敛性收敛性 图周期信号的频谱图周期信号的频谱w w00w w(a)单边幅度谱单边幅度谱(b)单边相位谱单边相位谱周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：(1)(1)离散性离散性(2)(2)谐波性谐波性(3)(3)收敛性收敛性 t-T0Tf(t)1二、二、周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱复傅里叶系数复傅里叶系数图图 周期矩形脉冲周期矩形脉冲幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=4)包络线的特点：包络线的特点：（1）包络线为包络线为（3）两零点间宽度为）两零点间宽度为（2）包络线
17、的过零点为包络线的过零点为w wFn0tTf(t)10tTf(t)10周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=8)w wFn0周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=4)w wFn0周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=16)tTf(t)10w wFn0w wFn0tTf(t)10周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=8)w wFn0周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=4)tTf(t)10tTf(t)10w wFn0周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=8)、T T 对频谱结构的影响对频谱结构的影响（1）（2）t t 一定，一定，T T增大：增大：t一定，一定，则则两零点
18、间宽度两零点间宽度（）一定一定；而；而T增大则增大则 减小，谱线变密，即减小，谱线变密，即两零点间谐波成分增多，两零点间谐波成分增多，Fn减小减小。（3）T T 一定，一定，t t 减小：减小：T一定，则一定，则谱线间隔谱线间隔 一定；一定；t t 减小则减小则两零点间宽度两零点间宽度（）变宽，）变宽，即即两零点间谐波成分增多，两零点间谐波成分增多，Fn衰减速度衰减速度变慢。变慢。从从0到需要考虑的最高频率分量之间到需要考虑的最高频率分量之间的频率范围。的频率范围。对周期矩形脉冲，其带宽为对周期矩形脉冲，其带宽为（rad/s），），或记为或记为(Hz)。频带宽度频带宽度一、傅立叶变换一、傅立叶
19、变换1、定义、定义频谱密度频谱密度 非周期信号的频谱非周期信号的频谱付里叶反变换付里叶反变换一、傅立叶变换一、傅立叶变换频谱密度频谱密度物理意义：物理意义：非周期信号非周期信号f(t)可以分解为无穷多个指数分量可以分解为无穷多个指数分量的连续和，每个指数分量的复振幅为的连续和，每个指数分量的复振幅为取（取（-，+）2、非周期信号的频谱的特点非周期信号的频谱的特点t10一、傅立叶变换一、傅立叶变换例例4.4-1 4.4-1 矩形脉冲信号矩形脉冲信号t10与与周期性矩形脉冲信号的频谱相比：周期性矩形脉冲信号的频谱相比：1 1、包络线形状相同，过零点相同；、包络线形状相同，过零点相同；2 2、是离散
20、谱，是离散谱，是连续谱；是连续谱；3 3、的平均值，的平均值，=矩形面积。矩形面积。非周期信号的频谱的特点：非周期信号的频谱的特点：1 1、是连续谱；是连续谱；2 2、收敛性；、收敛性；3 3、越小，频带越宽。越小，频带越宽。例例 单边指数信号单边指数信号 的频谱的频谱解：解：t01.1.单位冲激信号单位冲激信号 的频谱的频谱二、奇异函数的傅里叶变换二、奇异函数的傅里叶变换常用信号频谱函数常用信号频谱函数 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质线性线性对称性对称性时移特性时移特性移频特性移频特性尺度特性尺度特性取取则则例例求取样函数求取样函数因为因为的频谱函数的频谱函数解解例例3 求如图所示信号的频
21、谱函数。求如图所示信号的频谱函数。所以所以解解因为因为另：另：LTI系统系统 时域分析与频域分析时域分析与频域分析冲激响应冲激响应h(t)反映了系统的时域特性反映了系统的时域特性是角是角频频率率为为 的输出信号与输入信号的输出信号与输入信号幅度之比，幅度之比，称称为为幅幅频频特性特性（幅（幅频频响响应应），是角是角频频率率为为 的输出信号与输入信号的输出信号与输入信号的相位之差，的相位之差，称称为为相相频频特性特性（相（相频频响响应应）。频率响应频率响应反映了系统的频域特性反映了系统的频域特性频率响应函数频率响应函数频率响应频率响应H(jH(j)的求法的求法1.H(j)=Fh(t)2.H(j)
22、=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)由电路直接求出。由电路直接求出。例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为y(t)+2y(t)=f(t)求求f(t)=e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-t(t)Y(j)=H(j)F(j)y(t)=(e-te-2t)(t)取傅里叶逆变换：取傅里叶逆变换：解：等号两边取傅里叶变换解：等号两边取傅里叶变换例例LTI系统的微分方程如下系统的微分方程如下，求，求单位冲激响应。单位冲激响应。例例设系统转移函数为设系统转移函数为求求单位冲激响应及单位冲激响应及时的零状态响应。时的零状态响应。解：解：测验一测验一t0121f1(t)t-20242f2(t)-11.信号信号和和的波形如的波形如图图所示，所示，设设求求 2.计算计算 并并 画出波形画出波形 1=？3.3.求求图图示信号的示信号的频谱频谱函数函数积积分分等于等于：（A）0 （B）1 （C）3 （D）5 （E）7B信号信号与与谁谁的的频带宽频带宽度度宽宽-20246t0t的波形如的波形如图图所示，画出所示，画出的波形。的波形。