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1、湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Part Part 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化常见非线性模型常见非线性模型常见非线性模型常见非线性模型线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化方法线性化方法线性化方法线性化方法ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆ExampleExample液面系统液面系统单摆单摆单变量单变量多变量多变量湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 常见非线性
2、模型常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数不依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理 叠加原理：可加性 齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1.几种常几种常见见的非的非线线性性湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型常见非线性情况常见非线性情况饱和非线性间隙非线性湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第
3、二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单摆单摆(非线性非线性)是未知函数 的非线性函数，所以是非线性模型。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型液面系统液面系统(非线性非线性)是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。线性化问题的提出线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线
4、性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 线线性化的方法性化的方法 非非线线性微分方程的求解很困性微分方程的求解很困难难。在一定条件。在一定条件下，可以近似地下，可以近似地转转化化为线为线性微分方程，可以使系性微分方程，可以使系统统的的动态动态特性的分析大特性的分析大为简为简化。化。实实践践证证明，明，这样这样做能做能够圆满够圆满地解决地解决许许多工程多工程问
5、题问题，有很大的，有很大的实际实际意意义义。（1）忽略弱非）忽略弱非线线性性环节环节 如如果果元元件件的的非非线线性性因因素素较较弱弱或或者者不不在在系系统统非非线线性性工工作作范范围围以以内内，则则它它们们对对系系统统的的影影响响很很小小，就可以忽略。就可以忽略。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（2）偏微法）偏微法 以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对稳态工作点的偏差。增量增量增量增量（微小偏差法）（微小偏差法）假设：假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生
6、足够微小的偏差。非线性方程非线性方程 局部线性增量方程局部线性增量方程湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型偏微法（小偏差法，切偏微法（小偏差法，切线线法，增量法，增量线线性化法）性化法）偏偏微微法法基基于于一一种种假假设设，就就是是在在控控制制系系统统的的整整个个调调节节过过程程中中，各各个个元元件件的的输输入入量量和和输输出出量量只只是是在在平平衡衡点点附附近近作作微微小小变变化化。这这一一假假设设是是符符合合许许多多控控制制系系统统实实际际工工作作情情况况的的，因因为为对对闭闭环环控控制制系系统统而而言言，一
7、一有有偏偏差差就就产产生生控控制制作作用用来来减减小小或或消消除除偏偏差差，所所以以各各元元件件只只工工作在平衡点附近。作在平衡点附近。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各忽略二次以上的各项项，上式可以写成，上式可以写成 这就是
8、非线性元件的线性化数学模型这就是非线性元件的线性化数学模型湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型（3）平均斜率法）平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所如果一非线性元件输入输出关系如图所示示,此时不能用偏微分法，可用平均斜率法此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为得线性化方程为(死区)电机湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 注意：注意：这这几种方法只适用于一些非几种方法只适用于一些非线线性程性程度度较较低的系低的系
9、统统，对对于某些于某些严严重的非重的非线线性，性，如如不能作不能作线线性化性化处处理，一般用相平面法及描述理，一般用相平面法及描述函数法函数法进进行分析。行分析。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型增量方程增量方程增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型多变量函数泰勒级数法多变量函数泰勒
10、级数法增量方程增量方程增量方程增量方程静态方程静态方程静态方程静态方程湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单变量函数泰勒级数法单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型单摆模型单摆模型(线性化线性化)湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电
11、气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型液面系统线性化液面系统线性化常数！湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型练习题：水位自动控制系统，输入量为练习题：水位自动控制系统，输入量为Q1,输输出量为水位出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为横截面积为C，R表示流阻。表示流阻。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型解：解：dt时间中水箱内流体增加（或减少）时间中水
12、箱内流体增加（或减少）CdH应与水总变化量（应与水总变化量（Q1-Q2）dt相等。即：相等。即：CdH=（Q1-Q2）dt 又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有根成正比，则有 其中其中 为比例系数。为比例系数。湖南文理学院电气工程系湖南文理学院电气工程系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 显然这个式子为非线性关系，在工作点（显然这个式子为非线性关系，在工作点（Q20,H0）附近进行台劳级数展开。取一）附近进行台劳级数展开。取一 次次项得：项得：为流阻。为流阻。于是水箱的线性化微分方程为于是水箱的线性化微分方程为