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1、v 三重积分的概念三重积分的概念第九章第九章 重积分重积分 第三节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三重积分三重积分v 三重积分计算三重积分计算直角坐标情形直角坐标情形柱面坐标情形柱面坐标情形球面坐标情形球面坐标情形一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用 引例引例:设在空间有界闭区域设在空间有界闭区域 内分布着某种不均内分布着某种不均匀匀物质物质,求含在求含在 内物质内物质可得可得“分割分割,作近似和作近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:的质量的质量 M.体密度函数为体密度函数为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义
2、.设存在存在,为为体积元素体积元素,任意分割任意分割 为为:任取点任取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下在直角坐标系下三重积分具有与二重积分类似的性质三重积分具有与二重积分类似的性质.性质性质:例如例如 如果如果中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则则存在存在使得使得V 为为 的的体积体积,记作记作上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称称二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法3.截面法截面法(“先二后一先二后一”)方法方法
3、2.三次积分法三次积分法 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方法方法1.投影法投影法记作记作上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 将积分区域将积分区域 向向 xOy 坐标面投影坐标面投影,则则得平面区域得平面区域D,于是于是(“先一后二先一后二”).由投影法由投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.三次积分法三次积分法设平面区域设平面区域把二重积分化成二次积分把二重积分化成二次积分,得三次积分得三次积分上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中 为三张为三张例例1.计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域.解一解一坐标面与平面坐标面与平面上页上页 下页下页 返回返回
4、 结束结束 (x,y)D:D解二解二上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 投影区域投影区域因此因此例例2.2.设设计算计算 解解 先一后二先一后二,再利用定积分关于积分区再利用定积分关于积分区间的对称性和被积函数的奇偶性间的对称性和被积函数的奇偶性,得得原式原式=奇奇函数函数上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 另解另解 因为积分区域关于因为积分区域关于xOy坐标面对称坐标面对称,且被且被积函数关于积函数关于z为奇函数为奇函数,因此因此,原式原式=0.方法方法3.截面法截面法记作上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 先确定积分区域先确定积分区域 中中z 坐标的坐标的变化范围变化范围,则则
5、再作截面再作截面,得得(“先二后一先二后一”)例例3.计算三重积分计算三重积分解解 用用“先二后一先二后一”上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小结小结:直角坐标情形三重积分的计算方法直角坐标情形三重积分的计算方法方法方法1.“1.“先一后二先一后二”方法方法3.“3.“先二后一先二后一”方法方法2.“2.“三次积分三次积分”具体计算时应根据被积函数以具体计算时应根据被积函数以三种方法各有特点三种方法各有特点,及积分区域的特点灵活选择及积分区域的特点灵活选择.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分 为点为点M 的的柱面坐标柱面坐标.直角
6、坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称称 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此因此适用范围适用范围:1)积分域表面积分域表面用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量能被分离变量能被分离.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中 例例4.计算三重积分计算三重积分解解 在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面及平面为由柱面为由柱面所围成的右半圆柱体所围成的右半圆柱体.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例
7、5.计算三重积分计算三重积分解解 在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成.与平面与平面其其中中 由抛物面由抛物面原式原式=上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解的交线为的交线为z=1平面上的圆平面上的圆关于柱面坐标系，两曲面关于柱面坐标系，两曲面得得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分 称为点称为点M 的的球面坐标球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为坐标面分别为球面球面半平面半平面锥面锥面上页 下页 返回 结束 如图所示如图所示,在在球面坐标系中体积元素球面坐标系中体积元素为为因此因此其中其中适用
8、范围适用范围:1)积分域表面积分域表面用球面坐标表示时用球面坐标表示时方程简单方程简单;2)被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量能互相分离变量能互相分离.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.计算三重积分计算三重积分 解解 在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8.求曲面求曲面所围立体体积所围立体体积.解解 由曲面方程可知由曲面方程可知,立体位于立体位于xOy面上部面上部,利用对称性利用对称性,所求立体体积为所求立体体积为yOz面对称面对称,并与并与xOy面相切面相切,故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.将将用三次积分表示用三次积分表示,其中其中 由由所所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成,计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用面球坐标用面球坐标 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.计算计算其中其中利用对称性利用对称性上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作作 业业P109 16；17；18;19；20;23；24;25;33上页上页 下页下页 返回返回 结束结束