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1、高阶线性微分方程第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、高阶线性微分方程的形式一、高阶线性微分方程的形式 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.一、高阶线性微分方程的形式一、高阶线性微分方程的形式为二阶线性微分方程.二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.定理定理1.说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如
2、，在(,)上线性相关在任何区间 I 上线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解 请写出方程通解.设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,例例1.例例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.有三 作业作业 P 331 4(2),(5)