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1、第五节第五节 极限的存在性定理极限的存在性定理单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例1求数列求数列的极限的极限.解解(1)存在性存在性令令单调性单调性时时设设时时定理定理2.14时时故对一切正整数故对一切正整数有有所以数列递增所以数列递增.有界性有界性时时时时设设时时故对一切正整数故对一切正整数有有,所以所以 数列有界数列有界.综上所述综上所述,数列极限存在数列极限存在.(2)求值求值设设将将两边求极限两边求极限得得即即故故例例2设设时有时有且且求求解解由由故故单调单调由由故故有界有界综上所述综上所述,数列极限存在数列极限存在.且且得得同理同理由由设设两边取极限两边取极限,得得:得得(
2、舍去舍去)例例2 设设,求求解解(1)求值求值假设假设则则即即故故因因(2)存在性存在性对对要使要使只需只需故极限存在故极限存在.取取求数列极限求数列极限:1.先按先按单调有界单调有界证极限存在性再按证极限存在性再按递推公式递推公式求求极限值极限值,本方法一般适用于数列详细给出的本方法一般适用于数列详细给出的2.先按先按递推公式递推公式求极限值再按求极限值再按精确性定义精确性定义验证验证给出的情况给出的情况.情况情况.极限存在性极限存在性,本方法一般适用于数列通项公式本方法一般适用于数列通项公式如果数列如果数列满足下列条件满足下列条件(1)从某项开始有从某项开始有(2)则则数列数列极限存在极限
3、存在,并且并且由已知由已知,对对同时成立同时成立定理定理2.15证证所以所以成立成立因此因此注注(1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理此定理称为两边夹法则或夹逼定理.(2)不等式两边极限必须存在且相等不等式两边极限必须存在且相等.(3)此定理对一般函数极限仍然成立此定理对一般函数极限仍然成立.此时此时补充补充 (00年考研真题年考研真题3分分)设对任意的设对任意的总有总有且且则则存在且等于零存在且等于零存在但不一定等于零存在但不一定等于零一定不存在一定不存在不一定存在不一定存在.答案答案 例例3 求求解解因为因为且且所以所以原式原式例例4求求解解因为因为且且所以所以原式原式例例5求求解解因为因为且且所以所以原式原式常见的建立不等式的方法常见的建立不等式的方法(1)分母变大分数值变小分母变大分数值变小,分母变小分母变小分数值变大分数值变大.(2)去掉小项和变小去掉小项和变小,小项变大和变大小项变大和变大.作业题作业题2.习题二习题二(A)17、18.1.记住极限存在性定理记住极限存在性定理.