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1、 万有引力定律的应用万有引力定律的应用知识回顾知识回顾1.在处理天体的运动问题时在处理天体的运动问题时,通常把天体的运动看成通常把天体的运动看成是是 运动运动,其所需要的向心力由其所需要的向心力由 提供提供.其基本关系式为其基本关系式为:.在天体表面在天体表面,忽略自转的情况下有忽略自转的情况下有:.匀速圆周匀速圆周万有引力万有引力2.卫星的绕行速度、角速度、周期与轨道半径卫星的绕行速度、角速度、周期与轨道半径r r的关系的关系（1）由）由 ,得得v=v=,即即r r越大越大,v v越小越小.（2）由）由 ,得得=,即即r r越大越大,越越小小.（3）由）由 ,得得T T=,即即r r越大越大
2、,T T越大越大.3.三种宇宙速度三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度）:v v1=,是人是人造地球卫星的最小发射速度造地球卫星的最小发射速度.（2）第二宇宙速度（脱离速度）第二宇宙速度（脱离速度）:v v2=,使使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.（3）第三宇宙速度（逃逸速度）第三宇宙速度（逃逸速度）:v v3=,使使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.7.9 km/s11.2 km/s16.7 km/s4.天体质量天体质量M M、密度、密度的估算的估算测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径测出卫星
3、绕天体做匀速圆周运动的半径r r和周期和周期T T,由由 r r0为天体的半径为天体的半径.当卫星沿天体表面绕天体运行时当卫星沿天体表面绕天体运行时,r r=r r0,则则=.方法点拨方法点拨1.分析天体运动类问题的一条主线就是分析天体运动类问题的一条主线就是F F万万=F F向向,抓住抓住黄金代换黄金代换GMGM=.2.近地卫星的线速度即第一宇宙速度近地卫星的线速度即第一宇宙速度,是卫星绕地球是卫星绕地球做圆周运动的最大速度做圆周运动的最大速度,也是发射卫星的最小速度也是发射卫星的最小速度.3.因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的向心力向心
4、力,所以均处于所以均处于 状态状态,与重力有关的与重力有关的仪器不能使用仪器不能使用,与重力有关的实验不能进行与重力有关的实验不能进行.4.卫星变轨时卫星变轨时,离心运动后速度变离心运动后速度变 ,向心运动后速向心运动后速度变度变 .5.确定天体表面重力加速度的方法有确定天体表面重力加速度的方法有:测重力法测重力法;单摆法单摆法;（或竖直上抛）物体法（或竖直上抛）物体法;近地近地卫星环绕法卫星环绕法.gRgR2完全失重完全失重小小大大平抛平抛1.2009年年2月月11日，俄罗斯的日，俄罗斯的“宇宙宇宙2251”卫星和卫星和美国的美国的“铱铱33”卫星在西伯利亚上空约卫星在西伯利亚上空约805
5、km处处发生碰撞发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境空环境.假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是正确的是（）类型一类型一 万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用A.甲的运行周期一定比乙的长甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小甲的向心力一定比乙的小D.甲的加速度一
6、定比乙的大甲的加速度一定比乙的大解析解析 根据万有引力提供向心力有根据万有引力提供向心力有 .由于由于v v甲甲v v乙乙，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高度，甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的度，甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的大大.由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断.综上所述正确选项为综上所述正确选项为D项项.答案答案 D2、图图1所示是我国的所示是我国的“探月工程探月工程”向月球发射一颗向月球发射一颗绕月探测卫星绕月探测卫星“嫦娥一号嫦娥一号”的过程简图的过程简图.“嫦娥一号嫦娥一号
7、”进入月球轨道后进入月球轨道后,在距离月球表面高为在距离月球表面高为h的轨道上的轨道上绕月球做匀速圆周运动绕月球做匀速圆周运动.图图1（1）若已知月球半径为）若已知月球半径为R R月月,月球表面的重力加速度为月球表面的重力加速度为g g月月,则则“嫦娥一号嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少环绕月球运行的周期为多少?（2）若已知）若已知R R月月=R R地地,g g月月=g g地地,则近月卫星的运则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？解析解析 （1）设）设“嫦娥一号嫦娥一号”环绕月球运行的周期是环绕月球运行的周期是T T,根据牛顿第二定律得根据牛顿
8、第二定律得解得解得T T=（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有）对于靠近天体表面的行星或卫星有mgmg=,v v=由由v v=知知,将将R R月月=R R地地,g g月月=g g地地代入计算代入计算,可知可知答案答案 （1）（2）解题归纳解题归纳 万有引力提供天体或卫星做匀速圆周运动万有引力提供天体或卫星做匀速圆周运动的向心力是解决这类问题最基本的一个关系的向心力是解决这类问题最基本的一个关系.3.卫星甲、乙、丙在如图卫星甲、乙、丙在如图4所示的三个椭圆轨道上绕所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲与卫星乙的运行轨道在地球运行，卫星甲与卫星乙的运行轨道在P P点相切点相切.不计大气阻力，以下说
9、法正确的是不计大气阻力，以下说法正确的是（）A.卫星甲运行时的周期最大卫星甲运行时的周期最大B.卫星乙运行时的机械能最大卫星乙运行时的机械能最大C.卫星丙的加速度始终大于卫星乙的加速度卫星丙的加速度始终大于卫星乙的加速度D.卫星甲、乙分别经过卫星甲、乙分别经过P P点时的速度相等点时的速度相等图图4解析解析 =k k所以甲轨道周期最大，且机械能最大，所以甲轨道周期最大，且机械能最大，所以所以A正确，正确，B错误；卫星的加速度的大小取决于错误；卫星的加速度的大小取决于卫星与地球间的引力，所以卫星与地球间的引力，所以C错；甲过错；甲过P P点比乙过点比乙过P P点的速度要大，所以点的速度要大，所以
10、D错错.应选择应选择A.答案答案 A类型二类型二 中心天体质量、密度的计算中心天体质量、密度的计算例例2 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为平均半径约为1.5108 km,已知万有引力常量已知万有引力常量G G=6.6710-11 Nm2/kg2,则可估算出太阳的质量大则可估算出太阳的质量大约是多少约是多少?（结果取一位有效数字）（结果取一位有效数字）解析解析 题干给出地球轨道半径题干给出地球轨道半径r r=1.5108 km,虽没直虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太
11、阳公转一周为球绕太阳公转一周为365天，故周期天，故周期T T=365243 600 s=3.2107 s.万有引力提供向心力万有引力提供向心力 ,故太阳质量故太阳质量M M=21030 kg.答案答案 21030 kg解题归纳解题归纳 求天体的质量、密度求天体的质量、密度通过观察天体做匀速率圆周运动的卫星的周期通过观察天体做匀速率圆周运动的卫星的周期T T、半径、半径r r,由万有引力等于向心力由万有引力等于向心力 ,得天体质得天体质量量M M=.（1）若知天体的半径）若知天体的半径R R，则天体的密度，则天体的密度=.（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径）若天体的卫星环绕天体表面
12、运动，其轨道半径r r等等于天体半径于天体半径R R，其周期为，其周期为T T，则天体密度，则天体密度=.类型三类型三 卫星变轨问题卫星变轨问题例例3 （2009山东卷山东卷18）2008年年9月月25日至日至28日日,我国我国成功实施了成功实施了“神舟神舟”七号载人航天飞行并实现了航天七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟分钟.下列判下列判断正
13、确的是断正确的是（）A.飞船变轨前后的机械能相等飞船变轨前后的机械能相等B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动 的角速度的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变 轨后沿圆轨道运动的加速度轨后沿圆轨道运动的加速度解析解析 由于变轨过程中需点火加速，所以变轨后飞船的由于变轨过程中需点火加速，所以变轨后飞船的机械能增大，选项机械能增大，选项A错误；宇航员出舱前后均与飞船一错误；宇航员出舱前后均与飞
14、船一起做匀速圆周运动，万有引力提供了做圆周运动的向起做匀速圆周运动，万有引力提供了做圆周运动的向心力，因此出舱前后航天员都处于失重状态，选项心力，因此出舱前后航天员都处于失重状态，选项B正正确；飞船在圆轨道上运行的周期为确；飞船在圆轨道上运行的周期为90分钟，而同步卫分钟，而同步卫星的周期为星的周期为24小时，所以飞船在圆轨道上运动的角速小时，所以飞船在圆轨道上运动的角速度大于同步卫星的角速度，选项度大于同步卫星的角速度，选项C正确正确.只要在同一点只要在同一点受到的万有引力相同，由牛顿第二定律得受到的万有引力相同，由牛顿第二定律得a a=,即加速度相同，选项即加速度相同，选项D错误错误.答案
15、答案 BC解题归纳解题归纳 卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件F F向向=F F万万，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成功后又要稳定运行，这时又满足功后又要稳定运行，这时又满足F F向向=F F万万，进而按规律，进而按规律分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小做向心运动轨道降低了
16、，但是降低后在低轨道运行的做向心运动轨道降低了，但是降低后在低轨道运行的速度要比原高轨道的速度大速度要比原高轨道的速度大.预测预测3 2008年年9月月25日我国日我国成功发射了成功发射了“神舟七号神舟七号”飞船，关于飞船，关于“神舟七号神舟七号”飞飞船船的运动，下列说法中正确的是的运动，下列说法中正确的是（）A.点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所 受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F F（向（向后喷气获得）和重力加速度后喷气获得）和重力加速度g g不变，则火箭做匀加不变，则火箭做匀加速直线运动速直线运
17、动B.入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态C.入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力力D.返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭，这个阶段航天员处于超重状态这个阶段航天员处于超重状态ACD类型四类型四 双星问题双星问题2、如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两
18、侧。引力常数为G。（1）求两星球做圆周运动的周期：【答案】1.01（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024kg和7.351022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数1.某探月卫星经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星某探月卫星经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星.设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速度率约为（已知月球的质量约为地
19、月卫星的运行速度率约为（已知月球的质量约为地球质量的球质量的 ，月球半径约为地球半径的，月球半径约为地球半径的 ，近，近地地球卫星的速率为地地球卫星的速率为7.9 km/s）（）A.1.8 km/sB.0.4 km/sC.11 km/sD.36 km/s课堂练习课堂练习解析解析 近地球轨道近地球轨道 =7.9 km/s近月轨道近月轨道 =1.8 km/s答案答案 A2.我国发射的我国发射的“亚洲一号亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为地球同步通信卫星的质量为1.24 t,在某一确定的轨道上运行在某一确定的轨道上运行.下列说法正确的是下列说法正确的是（）A.“亚洲一号亚洲一号”卫星定点在北京正上方
20、太空，所以我卫星定点在北京正上方太空，所以我 国可以利用它进行电视转播国可以利用它进行电视转播B.“亚洲一号亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合卫星的轨道平面一定与赤道平面重合C.若要发射一颗质量为若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫的地球同步通信卫 星，则该卫星的轨道半径将比星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号亚洲一号”卫星卫星 轨道半径小轨道半径小D.若要发射一颗质量为若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫的地球同步通信卫 星，则该卫星的轨道半径和星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号亚洲一号”卫星轨道卫星轨道 半径一样大半径一样大解析解析 同步卫星一定在赤道上方，周期
21、同步卫星一定在赤道上方，周期24 h，且高，且高度一定，所以本题应选择度一定，所以本题应选择B、D.答案答案 BD5.如图如图5所示，从地球表面发射一颗卫星，先让其进入所示，从地球表面发射一颗卫星，先让其进入椭圆轨道椭圆轨道运动，运动，A A、B B分别为椭圆轨道的近地点和远分别为椭圆轨道的近地点和远地点，卫星在远地点地点，卫星在远地点B B变轨后沿圆轨道变轨后沿圆轨道运动，下列运动，下列说法中正确的是说法中正确的是（）图图5A.卫星沿轨道卫星沿轨道运动的周期大于沿轨道运动的周期大于沿轨道运动的周期运动的周期B.卫星在轨道卫星在轨道上上C C点的速度大于在轨道点的速度大于在轨道上上A A点的速
22、度点的速度C.卫星在轨道卫星在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能大于在轨道上的机械能上的机械能D.卫星在轨道卫星在轨道上上C C点的加速度大于在轨道点的加速度大于在轨道上上A A点的加点的加 速度速度解析解析 由由 =k k知轨道知轨道运动的周期大于沿轨道运动的周期大于沿轨道运运动周期，动周期，A正确；轨道正确；轨道上上A A点速度大于等高圆轨道点速度大于等高圆轨道上的线速度，所以大于轨道上的线速度，所以大于轨道上上C C点速度，点速度，B错；轨错；轨道道上的机械能大于轨道上的机械能大于轨道上的机械能，上的机械能，A A点的加速点的加速度大于度大于C C点，所以本题应选择点，所以本题应选择A、
23、C.答案答案 AC3.为纪念伽利略将望远镜用于天文观测为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，周年，2009年被定为以年被定为以“探索我的宇宙探索我的宇宙”为主题的国际为主题的国际天文年天文年.我国发射的我国发射的“嫦娥一号嫦娥一号”卫星绕月球经过卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于一年多的运行，完成了既定任务，于2009年年3月月1日日16时时13分成功撞月分成功撞月.如图如图6为为“嫦娥一号嫦娥一号”卫星撞卫星撞月的模拟图，卫星在控制点月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道开始进入撞月轨道.假假设卫星绕月球作圆周运动的轨道半径为设卫星绕月球作圆周运动的轨道半径为R R，周
24、期为，周期为T T，引力常，引力常量为量为G G.根据题中信息，以根据题中信息，以下说法正确的是下说法正确的是（）图图6A.可以求出月球的质量可以求出月球的质量B.可以求出月球对可以求出月球对“嫦娥一号嫦娥一号”卫星的引力卫星的引力C.“嫦娥一号嫦娥一号”卫星在控制点卫星在控制点1处应减速处应减速D.“嫦娥一号嫦娥一号”在地面的发射速度大于在地面的发射速度大于11.2 km/s解析解析 则则M M月月=,A正确；正确；不知道卫星质量，不知道卫星质量，B错；错；“嫦娥一号嫦娥一号”在控制点在控制点1处应减速，处应减速，C正确；发射速度大于正确；发射速度大于11.2 km/s将会将会脱离地球引力场
25、，所以脱离地球引力场，所以D错错.应选择应选择A、C.答案答案 AC4.（2009天津模拟）天津模拟）2007年年10月月24日日18时时29分分,图图7星箭星箭成功分离之后成功分离之后,“嫦娥一号嫦娥一号”卫星进入半径为卫星进入半径为205 km的圆的圆轨道上绕地球做圆周运动轨道上绕地球做圆周运动,卫星在这个轨道上卫星在这个轨道上“奔跑奔跑”一一圈半后圈半后,于于25日下午进行第一次变轨日下午进行第一次变轨,变轨后变轨后,卫星轨道半卫星轨道半径将抬高到离地球约径将抬高到离地球约600 km的地方的地方,如图如图7所示所示.已知地球已知地球半径为半径为R R,表面重力加速度为表面重力加速度为g
26、 g,质量为质量为m m的的“嫦娥一号嫦娥一号”卫卫星在地球上空的万有引力势能为星在地球上空的万有引力势能为E Ep=-（以无穷远（以无穷远处引力势能为零）处引力势能为零）,r r表示物体到地心的距离表示物体到地心的距离.（1）质量为）质量为m m的的“嫦娥一号嫦娥一号”卫星以速率卫星以速率v v在某一圆在某一圆轨道上绕地球做圆周运动轨道上绕地球做圆周运动,求此时卫星距地球地面高求此时卫星距地球地面高度度h h1.（2）要使）要使“嫦娥一号嫦娥一号”卫星上升卫星上升,从离地面高度从离地面高度h h1再再增加增加h h的轨道上做匀速圆周运动的轨道上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做卫星发动机至少
27、要做多少功多少功?图图7解析解析 （1）设地球质量为）设地球质量为M M,万有引力常量为万有引力常量为G G,卫星卫星距地面高度为距地面高度为h h1时速度为时速度为v v对卫星有对卫星有对地面上物体有对地面上物体有mgmg=解以上两式得解以上两式得h h1=-R-R（2）卫星在距地面高度）卫星在距地面高度h h1的轨道做匀速圆周运动的轨道做匀速圆周运动有有所以此时卫星的动能所以此时卫星的动能E Ek k1=mvmv2=万有引力势能万有引力势能E Ep1=-卫星在距地面高度卫星在距地面高度h h1时的总机械能时的总机械能E E1=E Ek1+E Ep1=同理同理,卫星在距地面高度（卫星在距地面高度（h h1+h h）时的总机械能）时的总机械能E E2=由功能关系由功能关系,卫星发动机至少要做功卫星发动机至少要做功W W=E E2-E-E1=答案答案 （1）（2）