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1、第第7章章 非参数假设检验（分布检验）非参数假设检验（分布检验）l7.1 两个总体分布的非参数假设检验两个总体分布的非参数假设检验l7.1.1 检验两个总体的分布是否相同的检验两个总体的分布是否相同的第一种第一种方法：方法：符号检验法（正负号个数检验法）符号检验法（正负号个数检验法）l7.1.2 检验两个总体的分布是否相同的检验两个总体的分布是否相同的第二种第二种方法：方法：Wilcoxon秩和检验法（序号和检验法）秩和检验法（序号和检验法）l7.1.3 检验两个总体的分布是否相同的检验两个总体的分布是否相同的第三种第三种方法：方法：Mann-Whitney秩和检验法（序号和检验法）秩和检验法
2、（序号和检验法）l7.1.4 两个总体分布的非参数检验小结两个总体分布的非参数检验小结l 实际问题中，经常要检验两种不同的实际问题中，经常要检验两种不同的处理方法效果是否相同。处理方法效果是否相同。l 例如，比较在不同钻机、不同操作人例如，比较在不同钻机、不同操作人员、不同地质条件下，钻机效率是否相同员、不同地质条件下，钻机效率是否相同等等。等等。l 诸如此类问题是对两个总体的分布是诸如此类问题是对两个总体的分布是否相同的检验。本章主要介绍两种简单易否相同的检验。本章主要介绍两种简单易行的方法：行的方法：“符号检验法符号检验法”和和“秩和检验秩和检验法法”。7.1 两个总体分布的非参数假设检验
3、两个总体分布的非参数假设检验7.1.1 检验两个总体的分布是否相同的第一检验两个总体的分布是否相同的第一种方法：符号检验法（种方法：符号检验法（正负号个数正负号个数检验法）检验法）配对样本配对样本l配对样本配对样本：按某些重要特征相近的原：按某些重要特征相近的原则，可将两样本中的每一个体配成对则，可将两样本中的每一个体配成对子，这两组样本称为配对样本。子，这两组样本称为配对样本。l配对样本的配对样本的属性属性：l1 1）两样本的观察数量应相同；）两样本的观察数量应相同；l2 2）两样本观察顺序不能各自独立地）两样本观察顺序不能各自独立地颠倒。颠倒。配对样本的概念及属性配对样本的概念及属性l配对
4、样本可以是配对样本可以是同一研究对象分别给同一研究对象分别给于两种不同处理的效果比较的观察值；于两种不同处理的效果比较的观察值；或，同一研究对象处理前后的效果比或，同一研究对象处理前后的效果比较的观察值。较的观察值。l例：某种干电池，在一定温度下存放之例：某种干电池，在一定温度下存放之后它的电压有可能升高也可能降低。我后它的电压有可能升高也可能降低。我们取们取1010个样品做实验。数据如下：个样品做实验。数据如下：编号编号12345678910存前电压存前电压 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9存后电压存后电压 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5
5、 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0这两组观察数据即为配对样本。这两组观察数据即为配对样本。配对样本示例配对样本示例l例：为了探索长跑对学生体质发展的影响，例：为了探索长跑对学生体质发展的影响，随机抽取同年龄男生名，经个月长跑训随机抽取同年龄男生名，经个月长跑训练，观测训练前、后心脏功能是否有所增强，练，观测训练前、后心脏功能是否有所增强，用晨脉这个指标来反映，训练前、后的晨脉用晨脉这个指标来反映，训练前、后的晨脉测试结果如下表，问长跑对晨脉的影响有无测试结果如下表，问长跑对晨脉的影响有无显著意义？显著意义？训练前、后晨脉数据表训练前、后晨脉数据表 单位：次单位：次/分钟分钟 编编号号12
6、34678训练训练前前70665663565847训练训练后后48545262555445这两组观察数据即为配对样本。这两组观察数据即为配对样本。l例：现有例：现有18名学生按身体条件大体相近配成名学生按身体条件大体相近配成对，并用随机分组将他们分为甲、乙两组，对，并用随机分组将他们分为甲、乙两组，由一位教师采用不同的教法执教一年，一年由一位教师采用不同的教法执教一年，一年后测得她们的平衡术成绩（见下表），问两后测得她们的平衡术成绩（见下表），问两种不同教法的效果是否有显著差异？种不同教法的效果是否有显著差异？一年后甲、乙两组平衡术成绩表一年后甲、乙两组平衡术成绩表 配配对对号号2345678
7、9甲甲组组8.79.38.29.07.68.98.19.58.4乙乙组组7.88.28.48.17.98.08.28.16.8这两组观察数据即为配对样本。这两组观察数据即为配对样本。l令令xiyi的事件为的事件为Ai,其取值为其取值为1，0 l于是于是A=A1+A2+.+An服从二项分布服从二项分布l即，在即，在H0：F(x)=G(y)的假设下，可以把抽样的假设下，可以把抽样过程看成一个近似的贝努利实验，服从过程看成一个近似的贝努利实验，服从B(m,p)分布。分布。l1.1.小样本情况下，正负号个数检验法的处理小样本情况下，正负号个数检验法的处理（方法一）（方法一）l如果实际的如果实际的“x
8、xi i-y-yi i0 0 的个数的个数n n+”在（在（k k1 1,k,k2 2）中，就接受）中，就接受H H0 0:p=0.5:p=0.5（即（即F(x)=G(y)F(x)=G(y)），否则，拒绝），否则，拒绝H H0 0，认为，认为p0.5p0.5，即，即F(x)G(y)F(x)G(y)。临界点。临界点。1.1.小样本情况下，正负号个数检验法的处理小样本情况下，正负号个数检验法的处理（方法二）（方法二）（1 1）建立假设）建立假设 零假设零假设H H0 0：备择假设备择假设H H1 1：（2 2）计算差值）计算差值d d并赋予符号并赋予符号d=xd=xi i-y-yi id d0 0
9、，记为，记为“+”“+”，总个数记为，总个数记为n n+d d0 0，记为，记为“-”,“-”,总个数记为总个数记为n n-d d=0=0，记为记为“0”,“0”,总个数记为总个数记为n n0 0m=nm=n+n+n-检检验验的的统统计计量量为为K K，K K为为n n+、n n-中中的的较较小小者者，即即 K=minn+,n-（3 3）统计推断）统计推断 由由m m查表得临界值查表得临界值K0.05(m)，K0.01(m)，作统计推断：，作统计推断：如果如果KK0.05(m)，即，即P0.05，则不能否定，则不能否定H HO O，两个试验处理差异不显著；，两个试验处理差异不显著；如果如果K0
10、.01(m)KK0.05(m)，即，即0.01P0.05，则，则否定否定H HO O，接受，接受H H1 1，两个试验处理差异显著；，两个试验处理差异显著；如果如果KK0.01(m)，即，即P0.01，则否定，则否定H HO O，接受，接受H H1 1，两个试验处理差异极显著。，两个试验处理差异极显著。符号检验统计判断规则符号检验统计判断规则K与临界值的比较与临界值的比较P值值显著性显著性K K0.05(m)P0.05不显著不显著K0.01(m)KK0.05(m)0.01P0.05显著显著KK0.01(m)P0.01极显著极显著l例：研究人员将三岁儿童经配对而成的实例：研究人员将三岁儿童经配对
11、而成的实验组进行颜色试验教学，对照组不进行此验组进行颜色试验教学，对照组不进行此种教学。后期测验得分如下表。问颜色教种教学。后期测验得分如下表。问颜色教学是否有显著效果？已知学是否有显著效果？已知K0.05(10)=1。配对配对1234567891011 12得得分分实验组实验组X118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X214 20 23 12 29 18 21 10 16 13 17 25解：（解：（1）建立假设。）建立假设。H0 ：颜色教学无显著效果；：颜色教学无显著效果；H1：颜色教学有显著效果：颜色教学有显著效果（2）求差数并记符号，差值计
12、算列于下表。）求差数并记符号，差值计算列于下表。由表可知，由表可知，n+=7,n-=3,于是，于是，m=n+n-=10。将。将n+和和n-中的较小者记为中的较小者记为K，K=3。（3）统计推断）统计推断 根据根据m=10，查符号检验表找临界值，查符号检验表找临界值，K0.05(10)=1，而而K K0.05(10)，不显著。即，接受原假设，认为：不显著。即，接受原假设，认为：颜色教学无显著效果。颜色教学无显著效果。配对配对1234567891011 12得得分分实验组实验组X118 20 26 14 25 25 21 12 14 17 20 19对照组对照组X214 20 23 12 29 1
13、8 21 10 16 13 17 25差数符号差数符号+0+-+0+-+-练习练习 某研究测定了噪声刺激前后某研究测定了噪声刺激前后1515只羊的心率，结果只羊的心率，结果见下表。问噪声对羊的心率有无显著影响？见下表。问噪声对羊的心率有无显著影响？已知，已知，K0.05(15)=3 ，K0.01(15)=2。羊噪声刺激前后的心率（次羊噪声刺激前后的心率（次/分钟）分钟）羊羊 号号123456789101112131415刺激前刺激前617068738581656272847660807971刺激后刺激后757985778487887674818578888084l 解：（解：（1 1）提出原假
14、设与备择假设）提出原假设与备择假设H H0 0 ：噪声对羊的心率无显著影响；：噪声对羊的心率无显著影响；H H1 1 ：噪声对羊的心率有显著影响。：噪声对羊的心率有显著影响。（2 2）计算差值并赋予符号，噪声刺激前后的）计算差值并赋予符号，噪声刺激前后的差值符号列于下表。差值符号列于下表。从而得从而得n n+=2=2，n n-=13=13，n=2+13=15n=2+13=15，K=min n+,n-=n+=2 。（3 3）统计推断）统计推断 当当n n=15=15时，时，临界值临界值K K0.05(15)0.05(15)=3=3，K K0.01(15)0.01(15)=2=2，因为因为K=2=
15、KK=2=K0.01(15)0.01(15)，表明噪声刺激对羊的心率影，表明噪声刺激对羊的心率影响极显著。响极显著。羊噪声刺激前后的心率（次羊噪声刺激前后的心率（次/分钟）分钟）羊羊 号号123456789101112131415刺激前刺激前617068738581656272847660807971刺激后刺激后757985778487887674818578888084差值差值符号符号-+-+-l2.大样本情况下，正负号个数检验法的处理大样本情况下，正负号个数检验法的处理p=0.5l例例7.1.1 用两套问卷测试用两套问卷测试20个管理人员的个管理人员的素质，两套问卷的满分都是素质，两套问卷
16、的满分都是200分。测试分。测试结果如下表所示。问：两套问卷有无显著结果如下表所示。问：两套问卷有无显著差异（本质是两套问卷的结果的分布是否差异（本质是两套问卷的结果的分布是否相同？）相同？）配对数据配对数据卷卷A A147 150 152 148 155 146 149 148 151 150卷卷B B146 151 154 147 152 147 148 146 152 150卷卷A A147 148 147 150 149 149 152 147 154 153卷卷B B146 146 148 153 147 146 148 149 152 150分析：l依据表中的数据，计算出正负号，列
17、于下表。依据表中的数据，计算出正负号，列于下表。“卷卷A-卷卷B”的正负号的个数的正负号的个数卷卷A A147 150 152 148 155 146 149 148151 150卷卷B B146 151 154 147 152 147 148 146152 150+-+-+-0卷卷A A147 148 147 150149149152147154153卷卷B B146 146 148 153147146148149152150+-+-+l此时，此时，正负号的总个数正负号的总个数m=19，所要检验的参数，所要检验的参数p=0.5，mp10（略小于（略小于10），还可勉强作为大），还可勉强作为大
18、样本处理。统计出此例中样本处理。统计出此例中正号的个数正号的个数n+=12。符号检验法总结符号检验法总结l符号检验法符号检验法一般用于一般用于同一研究对象分别给于同一研究对象分别给于两种不同处理的效果比较，或，同一研究对两种不同处理的效果比较，或，同一研究对象处理前后的效果比较。象处理前后的效果比较。l符号检验法的符号检验法的缺点缺点:没有充分利用数据本身没有充分利用数据本身提供的信息，而且必须在数据成对时使用。提供的信息，而且必须在数据成对时使用。l如果两样本数据不成对，则可用秩和检验法。如果两样本数据不成对，则可用秩和检验法。7.1.2 检验两个总体的分布是否相同的第二种方检验两个总体的分
19、布是否相同的第二种方法：法：Wilcoxon秩和秩和检验法（序号和检验法）检验法（序号和检验法）两组样本可以是各自独立颠倒顺序的。两组样本可以是各自独立颠倒顺序的。如果有两个以上重复的数，则取秩号平均数作为其秩。如果有两个以上重复的数，则取秩号平均数作为其秩。把把样本个数少样本个数少的这组样本（的这组样本（x1,x2,xn）的序号（秩）的序号（秩）加总起来，记为加总起来，记为w。l例：某药厂生产杀虫药品，检查两种配方例：某药厂生产杀虫药品，检查两种配方药品杀虫的效果（死亡百分数）如下：药品杀虫的效果（死亡百分数）如下：l问两种配方杀虫效果有无显著差异？问两种配方杀虫效果有无显著差异？甲配方效果
20、样本甲配方效果样本 67 65 64 68 67 64 69 70乙配方效果样本乙配方效果样本 63 62 64 64 65 68 70 71 69l解解:假设假设H0：F(x)=G(y)（两总体的分布相同）（两总体的分布相同）l将数据按秩号排列，并将数据少的甲组数据的将数据按秩号排列，并将数据少的甲组数据的可能值用蓝色表示。可能值用蓝色表示。秩号秩号123456789数据数据626364646464656567秩号秩号1011121314151617数据数据6768686969707071124.54.54.54.57.57.59.59.511.511.513.513.515.515.5 17 甲组的秩甲组的秩W=4.5+4.5+7.5+9.5+9.5+11.5+13.5+15.5=76在在0.05下查秩和检验表，下查秩和检验表，n1=8,n2=9时，时，W1=54,W2=90,W1WW2 ,所以判定甲、乙所以判定甲、乙两种配方的杀虫效果无显著差异。两种配方的杀虫效果无显著差异。7.1.3 检验两个总体的分布是否相同的第三种方法：检验两个总体的分布是否相同的第三种方法：Mann-Whitney秩和秩和检验法（序号和检验法）检验法（序号和检验法）（曼（曼-惠特尼秩和检验法）惠特尼秩和检验法）7.1.4 两个总体分布的非参数检验两个总体分布的非参数检验小结小结