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1、第2讲二次函数背景下的相似三角形的存在性-(2022青浦、嘉定、崇明、宝山、静安一模24题解法分析经典变式练）二次函数背景下的相似三角形考点分析：l先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3复杂一点的题目，先根据图形给定的数岱关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数匮关系转化到三角形的相似问题；6考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程
2、求解的方法。【备注】：1以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自已发现、领悟题目的意思；3可以根据各题的“教法指导“引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7
3、每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。-例1.(2022青浦一模24).(12分）如图，在平面直角坐标系x0月工抛物线y=x2+b灶c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，与向抽交于点C,顶点为点D.(1)求该抛物线的表达式及点战勺坐标；(2)联结BC、BD，求乙CB勺正切值；(3)若点闷叮轴上一点，当ABDP与AAB岱日似时，求点府勺坐标D D（备用图）【解答】斛；（l）将A(-1,0)、B(3,0)代入y=i+b对C,得lb+c=0,9+3b+c=O 解得：炉2,c=-3 所以抛物线的表达式为y=i-2x-3.当x=O时，y=-3.:.点
4、颂勺坐标为(O,-3).(2):y=x2-2x-3=(x-1)2-4,:点凶勺坐标为(1,-4).:B(3,0)、C(O,-3)、D(l.-4),:.BC对5，DC聂，BD=2森:.BC+DC=18+2=20威:.乙BCD=90.DC妊1.tan乙CBD=：=-.BC硝3AO 1(3);tan乙ACO=,oc 3:.L.ACO乙CBD.:OC=OB,:.乙0CB乙OBC=45:乙ACO几乙OCB乙CB/)t乙OBC.即：乙ACB=LDBO.:当ABDP与AAB邵似时，点虎E，点B左侧(i)当!f.=且如，CB BP 岳2森.:.对2-BP.BP=6.:.PC-3,0).(ii)当压三座困，CB
5、 DB 伺BP.:.泣2寸510:.BP=3:.PC-上，0).3 综上，点庄勺坐标为（3,0)或（上，0).3 例2.(2022嘉定一模24)(12分）（2021秋嘉定区期末）在平面直角坐标系xOyt=p,点A、B两点在直线y=l.x上，如图二次函数y=ai+bx-2的图象也经过点A、邠月点，并与琦由2 相交于点C,如果BC/点由，点A的横坐标是2.Cl)求这个二次函数的解析式；(2)设这个二次函数图象的对称轴与BC)汀气点几点囡E叶由的负半轴上，如果以点E、O、所形组成的三角形与6.0BJ)相似，且相似比不为l，求点aJ坐标；(3)设这个二次函数图象的顶点是从求tan乙A！讹的值y A X
6、【解答】解：（1)？二次函数y=ai+bx-2的图像与灶由相交千点C,：点缉勺坐标为CO,-2),.BC/点由，：点的彴纵坐标是2,了点A、晒点在直线y=上x上，点A的横坐标是2,2 占点A的坐标为(2,l),点舶勺坐标为(-4,-2),？这个二次函数的图像也经过点A(2,1)、B(-4,-2),f 4a+2b-2=1.16a-4b-2=-2,解这个力程组，得a上，b=l,4：二次函数的解析式是y=.1x2+x-2:4(2)根据（l)得，二次函数y上2+x-2图像的对称轴是直线x=-2,4 X:.I,辽的坐标为(-2,-2),:.OB=2,5,BD=2,:BC/对叫，:.乙OBD=乙BOE,:
7、以点E、O、院且成的三角形与丛OB陇甘似有可能以下两种：O当BO BD-时，L.BOlJv,L.OBE，显然这两耜似三角形的相似比为l，与已知相似比不为lOB OE 矛盾，这种悄况应舍去，当座昙座国，ABO庐L.OEB,OE OB.2乔2.-O E-2森:.OE=IO,又点胚E点旧的负半轴上，占点h的坐标为(-10,0):(3)过点d乍Cf/J_AJ，垂足为If,y X 根据（1)得，一次函数的解析式是y上2+x-2的顶点坐标为ill(-2,-3),4 X 设直线A,1的解析式为y=k.x+m,2K+m=1,-2k+m=-3 解得k=l,m=-l,:直线AA的解析式为y=x-1,设盲线肌与讲由
8、、计由的交点分别为点P、Q,则点闷勺坐标为(1,0)，点勺坐标为(0,-l),:么OP隄等腰直角三角形，乙OQP=45,:乙OQP=乙HOC,:.乙HOC=45,点氓丿坐标为(0,-2),:.c产l,:./IC=!()迈，2 又A妢2奸，.Affl=M0-JIQ=3 泸:.tan乙AMC=HC 1 一M H 3 3 例3(202崇明一模）24如图，抛物线y=-.:.i+bx+c与点由交于点A(4,0)，与讲由交于点4 B(O,3)，点叭ll,0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于对由的直线与直线AB及抛物线分别交千点P,N.y)x x（备1TI图）(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴
9、和顶点坐标；(2)如果以点P、N、B、0为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)如果以B、P、A为顶点的三角形与AABO相似，求点府的坐标3【小问l详解】解：？抛物线尸+bx+c与，轴交千点A(4,0)，与殉打交千点8(0,3),4:.：x42+4b+c=0,c=3 9 解得：勹，c=3 3 n 9：抛物线的解析式为.r-Al-+-.x+3,4 4 3 9 3 3 75.:.r-x2+-x+3=一（x-）4+,4 4 4.2.16 此抛物线对称轴为x=一，3 2 3 75 顶点坐标为(,)；2 16【小问2详解】解：设有线A劭解析式为FP对q,把A(4,0),B(0,3)代入得,4p+q=
10、O q=3 解得pq=-3:,3 直线A珀勺解析式为尸x+3,4.:M(IIJ,0)，ji1N上对利，3.9.3:.N(m,-而加3),p(Ill,-m+3),4 4 4 3:.NP=-.:.nl+3川，0作3,4:NP/I OB,目以点P、N、B、妫顶点的四边形为平行四边形，3:.1VP=-OB,即111+3庐3,4 整理得：nf-4加4=0,解得：11,=2;3【小问3详解】？A(4,0),8(0,3),P(lll,-m+3),4:.A了=5,B气，戒（m+3-3J=m,4 J 4 3 而NP=nl+3m,4.:PJVI/OB,:.乙BP1匕乙ABO,PB PN 当一=时，ABPA妇OBA
11、,OB AB 5 3 2 即4m-m+3m=4 3 5 整理得91Ii-ll1JFO,解得n人0（舍去），I12=,11 9 11 此时Af点的坐标为(,0);9 上PB PN.=.1=时，i:,.BPN=i:,.ABO,AB OB 5 3 2 即4-m-m+3m=4 5 3 整理得2lll-5庐O,解得1111=0（舍去），庞3,此时A1.点的坐标为(3,0):I l 综上所述，点邸坐标为(,0)或(3,0).9 例4.(2022宝山一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y釭2+bx+c(a=1=-0)经过点A(-1,0)、B(3,0),C(0,3)，顶点为点D.y 01 1 X(1)求
12、抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)联结BD、CD,试判断心BCD与c,.AOC是否相似，并证明你的结论；(3)抛物线上是否存在点P,使得LPAC=45.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【小问1详解】崎抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),设抛物线解析式为：y=a(x+l)(x-3),将点C代入可得：3=a(O+1)(0-3),解得：a=-1,:.y=-(x+l)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,，顶点坐标为：D(l,4);【小问2详解】解：如图所示：y D,X 心AOC为直角二角形且三边长分别为：AO=l.OC=3,AC=而，6.BCD的三
13、边长分别为：BC=气卢32CD=飞，BD=了二淡，:.BC2+CD2=BD气:.L:,.BCD为直角三角形，.CD BC BD=五，AO OC AC:.l:.AOC l:.DCB;【小问3详解】解：设存在点片吏乙PAC=45,作线段AC的中乖线交AC千点上，交A门二点凡连接CF，如（2)巾图：:.乙FEA.=90,臼扛:乙PAC=45,:.乙AFC=90,:.LAFC为等腰直角三角形，l而:.AF=FC,EF=.:.Ac=,2 2 2:.AF2+FC2=AC2，即AF2+AF2=（如）解得：AF=5,设F(x,y),:.AF庐言，CF=产了，:.(x+1)2+y2气（3y)2,整理得：x+3y
14、=4(D,EF=（分）2+（三）2氖气忙(y-：厂沪，将代入整理得：y2-3y+2=0,解得：Y,=1,Y 2=2,:.X1=1,X 2=-2,:.F(Ll)或F(-2,2)（不符合题意舍去），:.F(l,1),A(-1,0),设直线网解析式为：y=kx+b(k丑0)，将两个点代入可得：l=k+b,0=-k+b 解得勹1 1:.y=-:;X+-;:-2 2 上联立两个函数得：叶书，y=-X2+2x+3 1 1 将O代入得：-x+=-x2+2x+3,2 2 整理得：2x2-3x-5=0,解得：x,=-1,易，5 2 5.7 当x=时，y=-,2 4 .P,i).例5.(2022静安区一模24)如
15、图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+b必和过点A(2,0)和点B(-1,m)，顶点为点D.(1)求直线A庞勺表达式；(2)求tan乙AB戊勺值；(3)设线段B肛尹轴交于点P，如果点勿五轴上，且AABC与AAB阶甘似，求点项勺坐标,y X.D【分析】(1)将A(2,0)代入y=i+bx,求出抛物线解析式，再将B(-1,Ill)代入y=x仁2x,求出1酌值，然后用待定系数法求直线A肪勺解析式即可；(2)利用勾股定理判定AAB肤售直角三角形，即可求解；(3)求出P点坐标(1.,0)，设C(t,0)，当乙ABC 乙A丹咐，丛ABPv勹 l:.APC,过B点作BQ2.L叶由交千点Q，则tan乙
16、BC()=1.呈，求出C()=9，即可求C(-10,0)；当P点与C点重合3 CQ 时，丛AB在.16ABP，即可求C点坐标【解答】解：（l）将A(2,0)代入y=+bx,.4+2b=O,:.b=-2,2:.y=x-2x,将B(-1,Ill)代入y=x乙2x,:.m=3,.B(-l,3),设直线A汛勺解析式为y=kx+b,1:b:.y=-x+2;(2),y=-2x=(x-l)2-l,:.D(1,-1),:.AD=聂，AB=2-5,BC=-3-2,:AU=AD+BC,:.AAB历违直角二角形，.tan乙AB.D坐上AB 3(3)设直线B沈勺解析式为y=k1,1+b1,厂:2;1 1 3.y=-2
17、x+l,1 令y=O,则x=，2:.P（上，0),2 设C(t,0),如图1,当乙ABC=-乙AP压寸，AABCOAAP从:.乙ACB乙ABP过B点作B()l.x轴交于点(),1 _ 3.tan乙BC产3 CQ.e()=9,:.CO=10,:.C(-10,O);当C点与P点币合时，6AB丝辽1ABP,1 此时C(-=.,0);2 1 综上所述C点坐标为(-10,0)或（一，0).2 c x D 图l【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键霆ZB1.(2021年宝山二模24)在平面直角坐标系x0月刁，抛物线y=ai+b
18、x-1(a#-0)经过点A(-2,0),B(I,0)和点D(-3,n)，与滩交于点C.(1)求该抛物线的表达式及点庄勺坐标；(2)将抛物线平移，使点岱各在点B处，点历客在点E处，求么0庞的面积；(3)如果点陪订轴上，6.PCD与6.AB岱且似，求点沌勺坐标y OI l X 解：（I)？抛物线y=ai+bx-1纤过点A(-2,0),B(1,0)和D(-3,n),f 4a-2b=l.a+b=1,解得:占抛物线解析式为：1 2 1 y=-x+-X-1 2 2 l 2 1.nX(-3)X(-3)-1=2,2 2:.D(-3,2);(2)？将抛物线平移，使点味在点B处，点历客在点E处，.(-2,3),1
19、 1 5:.st,(/)t=9-X 3 X 2 X 2-一；2 2 2(3)如图l，连接CJJ,AC,CB,过点川乍JEJ_片由十点h，y E X 图l:A(-2,0),B(1,0),C(-1,0),D(-3,2),:.OB=OC,DE=CE=3,AB=3,BC石，CD=3.J2,:.乙ABC=乙OCD=45,.：APCD与6AB湘似，点P在片由上，:分两种情况讨论：CD如图2,当乙BAC乙C阱时，丛DC户立:,.ABC,r D.IB及、C图2.AB BC.:CD PC.3寸泣PC:.PC=2,:.P(O,I),如图3,当乙BAC乙拼钮寸，PC_Ju-,ABC,y IP A X.BC AB.=
20、CD PC 竺互二泣pc:.PC=9,:.P CO,8).:点府勺坐标为(0,8)或(0,1)时，6.PCD与AABC相似2.(2021崇明二模24)(12分）已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(-L O),B(4,0),与升由交千点C,点历违该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、C从BD.(1)求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；(2)当SABCJ=4St:,呕时，(3)在(2)的条件下，求点硝坐标；如果点E是啡h上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点庄勺坐标V.654321-4-3-4C-5-6 7 i【解答】解：(1);y=
21、ai+bx-4经过点A(-l,0)B(4,0):可以假设抛物线的解析式为y=a(x+I):.-4a=-4,(x-4)2=ax-3ax-4a,.a=l,占抛物线的解析式为：3 y=-3x-4,对称轴x一2(2)如团l中，设D(IJ,Il/2-3/II-4),连接0f).图1:St:,.0r,/)=St,.()(v+St:,.oo,/)-St,()IJ(=4St:,.,1(/(,x 4 x 1一2.(-nl+3n,t-4)+上X4Xm-上X4X1=4X上XlX42 2 2 整理得：,12-4加4=0,解得m=2,:.D(2,-6).(3)如图2中，当儿为平行四边形的边时，x 回2:DF/1 AE,.F(l,:.DF=l,占AE=l,D(2,-6)-6).E(0,0)，或EI(-2,0).如图3中，当AE,DF是平行四边形的对角线时，汔,I 图3:点D与点序肛轴的距离相等，点卜的纵坐标为6,当y=6时，6=/-3x-4,解得x=-2或5,:.F(-2,6)或(5,6),设E(n,0)，则有兰兰L兰兰；或兰兰L旦兰，2 2 2 2 解得n=l或8,:.E CL 0)或(8,0),，综上所述，满足条件的点战勺坐标为CO,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0).