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1、第八讲分式方程1 .分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2 .解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在 方 程 的 两 边 都 乘 以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把 整 式 方 程 的 根 代 入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3 .用换元法解分式方程的一般步骤：设，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;解 方程,求出辅助未知数的值；把 代入原设中，求出原未知数的值；检验作答.4 .分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检 验 所 求 的 解 是 否 是 所 列;（2）检
2、验 所 求 的 解 是 否.1.（2 0 1 7 哈尔滨）方 程2底 3的解为（）x+3 x-1A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=-52.（2 0 1 7 贵州）分 式 方 程,3 i _ _1的 根 为（）x（x+D x+1A.-1 或 3 B.-1 C.3 D.1 或-34.（2 0 1 7 乌鲁木齐）2 0 1 7 年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木3 0 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多2 0%,结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A.-7 30 5 B.-5x（1+20%）x x 20%xC.+5=-D.
3、730 _ 料520%x x（l+20%）x x5.（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3 小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2 小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程 为（）A 1.2+1 2 R 1.2+1.2 1 r 1.2,1.2 1 n 1.2+1.26 x 6x2 3x2 3x6.（2017新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产4 0 台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下
4、面列出的方程正确的是（）“600 480,600 480 C 600 480 6 600 480A.=-B.=-C.-=D.-=x-40 x x+40 x x x+40 x x-407.（2017江苏盐城）某商店在2014年 至 2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了 11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/合J T IL （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？考点解析题
5、 型 一 分式方程的解法【例题】（201 7 黑龙江佳木斯）已知关于x的 分 式 方 程 空;的解是非负数，那么a的取值范围是（）A.a l B.a l C.a l 且 a#9 D.a l B.a l C.a l 且 a W4 D.a l 且 a W4【考点】B 2：分式方程的解.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0 求出a的范围即可.【解答】解：去分母得：2(2x -a)=x -2,解得：x=?4 3,由题意得：等2 0 且 等 W2,解得：a?l 且 a 4,故选：C.【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0
6、.1 32.解方程：-=0.x-1 x2-l【答案】x =2.【解析】方程两边同乘以x 2-l,得 x +l-3=0,解 得 x =2.经检验，x =2 是原方程的根.原方程的解为x =2.题型二分式方程的增根【例题】(201 7 毕 节)关 于 x的分式方程卫-+5=&包 有 增 根，则巾的值为()X-i X-1A.1 B.3 C.4 D.5【考点】B 5：分式方程的增根.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x-1=0,得到x=l,然后代入化为整式方程的方程算出m 的值.【解答】解：方程两边都乘(x-1),得 7 x+5(x -1)=2
7、m-1,.原方程有增根，最简公分母(x-1)=0,解得x=l,当 x=l 时，7=2m-1,解得m=4,所以m 的值为4.故选C.【变式】(201 7 山东聊城)如果解关于x的分式方程一咚-会x-2 2-x=1 时出现增根，那么m 的值为()A.-2 B.2 C.4 D.-4【考点】B 5：分式方程的增根.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x -2=0,确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案.【解答】解：一二x-22x _2-x去分母，方程两边同时乘以X-2,得:m+2x=x -2,由分母可知，分式方程的增根
8、可能是2,当 x=2 时，m+4=2-2,m=-4,故选D.题 型 三 分式方程的应用【例题】(201 7 山东泰安)某服装店用1 0000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完;该店又用1 47 00元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多1 0元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方 程 为().10000 s 14700 n 10000 lin_ 14700X (l+40%)x X (l+40%)xC 10000 IQ_14700 口 10000,1Q_14700(l-40%)x x(l-40%)x x【考点】B 6：
9、由实际问题抽象出分式方程.【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可.【解答】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为:10000in_ 14700(l+40%)x故 选:B.2.(201 6 山东省荷泽市 3 分)列方程或方程组解应用题：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”.已知打印一份资料，如果用A 4 厚型纸单面打印，总质量为4 0 0 克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A 4 薄型纸双面打印，这份资料的总质量为1 6 0 克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求 A 4 薄型纸每页的质量.（墨的
10、质量忽略不计）【考点】分式方程的应用.【分析】设 A 4 薄型纸每页的质量为x克，则 A 4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可.【解答】解：设 A 4 薄型纸每页的质量为x克，则 A 4 厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，400 160根据题意，得：x+0.8=2X-V,解得：x=3.2,经检验：x=3.2 是原分式方程的解，且符合题意，答：A 4 薄型纸每页的质量为3.2 克.【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键.【变式】1.（20 1 6 南 充）某 次 列 车 平 均 提 速
11、 2 0 k m/h,用 相 同 的 时 间，列 车 提 速 前 行驶 4 0 0 k m，提 速 后 比 提 速 前 多 行 驶 1 0 0 k m,设 提 速 前 列 车 的 平 均 速 度 为 x k m/h,下 列 方 程 正 确 的 是（)A.皿=400+100B400=400-100Xx+20Xx-20C.400=400+100D400=400-100Xx-20Xx+20【分 析】直 接 利 用 相 同 的 时 间，列 车 提 速 前 行 驶 4 0 0 k m,提 速 后 比 提 速 前 多行 驶 1 0 0 k m,进 而 得 出 等 式 求 出 答 案.【解 答】解：设 提
12、速 前 列 车 的 平 均 速 度 为 x k m/h,根 据 题 意 可 得：400=400+100 x x+20故 选：A.【点 评】此 题 主 要 考 查 了 由 实 际 问 题 抽 象 出 分 式 方 程，根 据 题 意 得 出 正 确 等量 关 系 是 解 题 关 键.2.（20 1 5 辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲 做 9 6个所用时间与乙做8 4 个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24 和 21 个【解析】试题分析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+3)个零件，根据等量关系：甲做9 6个所用时间与乙做8 4 个所用时
13、间相等，列出方程即可得解；试题解析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+3)个零件，由题意得：上926 _ =空84解 得 x=21,经检验x=21 是方程的解，x+3=24.x+3 x答：甲乙两人每小时各做24 和 21 个零件.【点评】列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题.同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理.【典例解析】【例 题 1】.(20 1 7 山东滨州)分式方程-三 、的 解 为()x-1(x-l)(x+2)A.x=l B.x=-1 C.无解 D.x=-2【考点】B 3：解分式方程.【分析】分式
14、方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：x (x+2)-(x -1)(x+2)=3,整理得：2x -x+2=3解得：x=l,检验：把 x=l 代 入(x -1)(x+2)=0,所以分式方程的无解.故选C.【例 题 2】(20 1 7 山 东 泰 安)分 式 二 与 的 和 为 4,则 x的 值 为 3 .x-2 2-x【考点】B 3：解分式方程.【分析】首 先 根 据 分 式 二 与 二 工 一 的和为4,可得：二+大 口 4,然后根据解分式方程x-2 2-x x-2 2-x的方法，求出X 的值为多少即可.【解答】解：.分
15、式二与的和为4,x-2 2-xx-2 2-x去分母，可得：7 -x=4 x -8解得：x=3经检验x=3 是原方程的解，Ax的值为3.故答案为：3.【例 题 3 (20 1 7 温州)甲、乙工程队分别承接了 1 6 0 米、20 0 米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：.【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程.【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设(x+5)米，根据铺设时间=黑粤和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可.【解答】解：设甲工程队每天铺设X 米，则乙工程队每天铺设(x+5)米，由题意
16、得：竺也怨.x x+5故答案是：出=殁.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程.【例题4】(20 1 7 贵州安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为4 0 元，用 9 0 元购进甲种玩具的件数与用15 0 元购进乙种玩具的件数相同.(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共4 8 件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过10 0 0 元，求商场共有几种进货方案？【考点】B 7：分式方程的应用；C E：一元一次不等式
17、组的应用.【分析】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(4 0-x)元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为4 0 元，用 9 0 元购进甲种玩具的件数与用15 0元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.(2)设购进甲种玩具y 件，则购进乙种玩具(4 8-y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过10 0 0 元，可列出不等式组求解.【解答】解：设甲种玩具进价X元/件，则乙种玩具进价为（4 0-x）元/件,90_ 150 x 40-xx=15,经检验x=15是原方程的解.A 4 0 -x=2 5.甲，乙两种玩具分别是15元/件，2
18、5元/件;（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（4 8-y）件,y48-y，,15y+25（48-y）100C，解得 2 0 W y 2 4.因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，；.y 取 2 0,21,22,2 3,共有4种方案.【中考热点】考 点1.（2 0 17宜 昌）分 式 方 程 在 二=1的 解 为（）x-2A.x=-1 B.x=L c.x=1 D.x=22【分 析】分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程，求 出 整 式 方 程 的 解 得 到X的 值，经 检 验 即 可 得 到 分 式 方 程 的 解.【解 答】解：去 分 母 得：2 x-l =x
19、-2,解 得：x=-1,经 检 验X=-1是 分 式 方 程 的 解，则 分 式 方 程 的 解 为X=-1.故 选：A.【点 评】此 题 考 查 了 分 式 方 程 的 解，解 分 式 方 程 利 用 了 转 化 的 思 想，还有注意不要忘了检验.考 点2.（2 0 16重 庆）从-3,-1,1,1,3这 五 个 数 中，随 机 抽 取 一 个 数，2记 为a,若 数a使 关 于x的 不 等 式 组3 s x ”产。无 解，且 使 关 于*的分式方x -a C 0程一二二2=-1有 整 数 解，那 么 这5个 数 中 所 有 满 足 条 件 的a的值之和x-3 3-x是（）A.-3 B.-2
20、 C.-WD.工2 2/【分 析】根 据 不 等 式 组3无 解，求 得a w i,解方程得x -a3得（x j l,x-a3.,不 等 式 组3 s x 无 解，x -a 3 B.m -3 C.m -3 D.m -34.分式方程2 +上3r=1 的解为：（）x-2 2-xA、1 B、2 C,-D、035.（2 0 1 6 云南省昆明市 4分）八年级学生去距学校1 0 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 2 0 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（）10 10 10 10 10 10
21、 1 10 10 1A.x-2x=20 B.2x-x=2 0 C.x-2x=3 D.2x-x=36.（2 0 1 6 四川内江）甲、乙两人同时分别从4 8两地沿同一条公路骑自行车到。地，已知4。两地间的距离为1 1 0 千米，B,。两地间的距离为1 0 0 千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达。地，求两人的平均速度分别为多少.为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（）A.芈x+2 xB.1 1 0 0,1 0 01 1 0 1 0 0 x x+2C 7 2 D.1 100 1 0 0 x x-2xID7.（2 0 1 6 黑龙江
22、齐齐哈尔3 分）若关于x 的分式方程X-2=2 -2-X的解为正数，则满足条件的正整数m 的 值 为（）A.1,2,3 B.1,2 C.1,3 D.2,3x+m 3m8.（2 0 1 6 山东潍坊 3 分）若关于x 的方程X-3+3-X=3 的解为正数，则 m 的取值范围 是（）_ 9A.m 29 3 3B.m -42 1D.m -4 且 m W -49.关于X的方程：X-=C d-的解是X =C,/=，%-=C-解是X =C,X C C X Cx2=-，则 x+L =c+一 的解是c x-c-1A.$=c,x2=B.X j =c-1)cC.X -c f X-)=-c-1D.X -c,%2 二
23、c-1二、填空题1 0.（2 0 1 7.江苏宿迁）若关于x的分式方程一%舁-3 有增根，则实数m 的值是.x-2 2-x1 1.（2 0 1 7 湖北荆州）若关于x的分式方程上 事 2的解为负数，则 k的取值范围为x+1-1 2.（2 0 1 7 四川南充）如果 =1,那么m=_ _ _ _.ro-11 3.若关于x的方程 x=-2=3无解，则小=.x-4 x-44 11 4.（2 0 1 6 四 川 泸 州）分 式 方 程X-3 -7=0的根是.k x+k1 5.（2 0 1 6 四川攀枝花）已知关于x的分式方程M+X-1=1 的解为负数，则 k的取值范围是.三、解答题1 6.解分式方程：
24、_ x+3 4（1）（2 0 1 7 宁夏）解 方 程 茶 =1(2)解方程：+2=上=x-2 2-x1 7.（2 0 1 7 内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3 50 0 元和2 50 0 元.（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1 1 0 0 棵，且购买两种树苗的总费用不超过6 0 0 0 元，根 据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵.1 8.（2 0 1 6 辽 宁丹东 1 0 分）某商场购进
25、甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的 2倍，购买2 4 0 元甲商品的数量比购买3 0 0 元乙商品的数量多1 5件，求两种商品单价各为多少元？1 9.马小虎的家距离学校1 8 0 0 米，一天马小虎从家去上学，出发1 0 分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校2 0 0 米的地方追上了他，己知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度.2 0.(2 0 1 7 广西河池)某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多3 0 元，用 50 0 元购得的排球数量与用8 0 0 元购得的足球数量相等.(1)排球和足球的单价
26、各是多少元？(2)若恰好用去1 2 0 0 元,有哪几种购买方案?2 1.“2 0 1 7 年张学友演唱会”于 6月 3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2 5 2 0 米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有2 3分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，己知小张骑车的时间比跑步的时间少用了 4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5 倍.(1)求小张跑步的平均速度；(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了 5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由.答案与解【知识归纳】1.分式方程:字母.2 .解分
27、式方程的一般步骤：（1）分母的最小公倍数;（2）解这个整式方程；（3）最简公分母.3 .用换元法解分式方程的一般步骤：设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；检验作答.4 .分式方程的应用：（1）方程的根;（2）符合题意.【基础检测答案】1.（2 0 17 哈尔滨）方程-2；-1,的 解 为（）x+3 x-1A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=-5【考点】B3：解分式方程.【分析】根据分式方程的解法即可求出答案.【解答】解：2 （x-1）=x+3,2 x -2=x
28、+3,x=5,令 x=5 代 入（x+3）（x -1）#0,故 选（C）2.（2 0 17 贵州）分式方程）马的根为（）x（x+l）x+1A.-1 或 3 B.-1 C.3 D.1 或-3【考点】B3：解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：3=x2+x -3 x,解得：x=-1或 x=3,经检验x=-1 是增根，分式方程的根为x=3,故选C3.（2 0 17 山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6 个，甲 做 9 0个所用时间与乙做60 个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个.如
29、果设乙每小时做 x个，那么所列方程是（）A 90=60 B.90=60 c.90=60 D,90=60 x x+6 x+6 x x-6 x x x-6【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程.【解答】解：设乙每小时做X 个，甲每小时做（x+6）个，根据甲做9 0 个所用时间与乙做60 个所用时间相等，得90=60 x+6 x故选：B.【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.4.（2 0 17 乌鲁木齐）2 0 17 年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木3 0 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树
30、比原计划多2 0队 结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A.-30-5 B.-30-5x（l+20%）x x 20%xC.+5=毁口.-匆一 -=520%x x（1+20%）x x【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程.【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程.【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要 当 天 完成，实际每天植树（x+0.2 x）万棵，需 要八天完成,（l+20%）x 提前5天完成任务,.30 30 _5T(l+20)x故 选（A）5.（2 01 7 青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清
31、理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2 小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程 为（）A 1.2,1.2 1R 1.2,1.2 1 1.2,1.2-1 n 1.2.1.2,6 x 6x2 3x2 3 x【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程.【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决.【解答】解：由题意可得，1.2,1.2 1故选B.6.（2 01 6 泰 安）某 机 加 工 车 间 共 有 26名 工 人，现 要 加 工 2 1 0 0 个 A零 件，1 2 00个 B零 件，己（2 01 7
32、新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产4 0 台机器，现在生产6 00台机器所需的时间与原计划生产4 8 0台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）.600 _ 480 600 _ 480 r 600 _ 480 n 600 _ 480 x-40 x x+40 x x x+40 x x-40【考点】B 6：由实际问题抽象出分式方程.【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+4 0）台机器，而现在生产6 00台所需时间和原计划生产4 8 00台机器所用时间相等，从而列出方程即可.【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题
33、意得，粤 广 螫.x+40 x故选B.【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产4 0 台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键.7.（2 01 7 江苏盐城）某商店在2 01 4 年 至 2 01 6 年期间销售一种礼盒.2 01 4 年，该商店用3 5 00元购进了这种礼盒并且全部售完；2 01 6 年，这种礼盒的进价比2 01 4 年下降了 1 1 元/盒，该商店用2 4 00元购进了与2 01 4 年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为6 0元/盒.(I)2 01 4 年这种礼盒的进价是多少元/盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年
34、增长率相同，问年增长率是多少？【考点】A D：一元二次方程的应用；B 7：分式方程的应用.【分析】(1)设 2 01 4 年这种礼盒的进价为x元/盒，则 2 01 6 年这种礼盒的进价为(x-1 1)元/盒，根据2 01 4 年 花 3 5 00元与2 01 6 年花2 4 00元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设年增长率为m,根据数量=总价+单价求出2 01 4 年的购进数量，再根据2 01 4 年的销售利润X (1+增长率)2=2 01 6 年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论.【解答】解：(1)设 2 01 4 年这种
35、礼盒的进价为x元/盒，则 2 01 6 年这种礼盒的进价为(x-1 1)元/盒，根据题意得：至=缥 _,X X-11解得：x=3 5,经检验，x=3 5 是原方程的解.答：2 01 4 年这种礼盒的进价是3 5 元/盒.(2)设年增长率为m,2 01 4 年的销售数量为3 5 00+3 5=1 00(盒).根据题意得：(6 0-3 5)X1 00(1+a)2=(6 0-3 5+1 1)X 1 00,解得：a=0.2=2 0%或 a=-2.2 (不合题意，舍去).答：年增长率为2 0 虬【达标检测答案】一、选择题Y-11.(2 0 1 7 新 疆)已知 分 式 的值是零，那么x的 值 是()x+
36、1A.-1 B.0 C.1 D.1【考点】6 3：分式的值为零的条件.【专题】1 1 ：计算题.【分析】分式的值为。的条件是：(1)分子等于0;(2)分母不等于0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.【解答】解：若 耳=0,x+1则 x -1=0 且 x+1 *0,故 x=L故选C.【点评】命题立意：考查分式值为零的条件.关键是要注意分母不能为零.2.（2 0 1 7 湖南岳阳）解分式方程一4-=1,可知方程的解为（）X-1 X-1A.x=l B.x=3 C.x=D.无解2【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案.【解答】解:去分母得：2 -2 x=x -1,
37、解得：x=l,检验：当 x=l时，x -1=0,故此方程无解.故选：D.【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键.2x-m3.（2 0 1 6-黑龙江龙东 3 分）关于x的 分 式 方 程x+1=3 的解是正数，则字母m 的取值范 围 是（）A.m 3 B.m -3 C.m -3 D.m 0,且解得：m -3,故选D4.分式方2程土=1 的解为：（）x 2 2 xA、1 B、2 C、1 D、03【答案】A【解析】根据分式方程的解法：去分母，得 2-3x=x-2,移项后解得x=l,检验x=l是原分式方程的根.答案为A5.（2 0 1 6-云南省昆明市 4 分）八年级学生去距学
38、校1 0 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 2 0 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）10 10 10 10 10 10 1 10 10 1A,x-2x=20 B.2x-x=2 0 C.x-2x=3D.2X-x=3【考点】由实际问题抽象出分式方程.【分析】根据八年级学生去距学校1 0 千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了2 0 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的.【解答】解：由题意可得，10 10 1T-2x=
39、?,故选C.6.（2 0 1 6 四川内江）甲、乙两人同时分别从4 8两地沿同一条公路骑自行车到。地，已知力,。两地间的距离为1 1 0 千米，B,C 两地间的距离为1 0 0 千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达，地，求两人的平均速度分别为多少.为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（）,1 1 0 _ 1 0 0 n 1 1 0 0 _ 1 0 0 1 1 0 _ 1 0 0 n 1100 1 0 0 x+2 x x 元+2 x-2 x x x-2【解析】依题意可知甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时.因为他们同时到达。
40、地，即甲行驶1 1 0 千米所需的时间与乙行驶1 0 0 千米所需时间相等，所 以 粤=侬.x+2 x故选A.XID7.（2 0 1 6 黑龙江齐齐哈尔 3 分）若关于x的分式方程x-2=2-2-x的解为正数，则满足条件的正整数m 的 值 为（）A.1,2,3B.1,2 C.1,3D.2,3【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案.【解答】解：等式的两边都乘以（x-2）,得x=2(x-2)+m,解得x=4-m,x=4-mW2,xm由关于X的分式方程X-2=2-2-X的解为正数，得m=l,m=3,故选：C.x+m 3m8.（2016 山东潍坊 3分）若关于x的方程x-3+3
41、-x=3的解为正数，则m的取值范围 是（）_9 _9 3_ _9 g gA.m-4 D.m-4 且 mW-4【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案.【解答】解:去分母得：x+m-3m=3x-9,整理得：2x=-2m+9,-2m+9解得：x=-2x+m 3m.关于X的方程X -3+3-x=3的解为正数，-2m+90,2级的：m 2,-2ID+9当 x=3 时，x=2=3,3解得：m=_9 _3故 田的取值范围是：m 2且mW 2.故选：B.9.关于x的方程：x+工=c+，的解是玉=c,x2=-,元一！二 c一,解 是 =c,X C C X Cx2=
42、，则 x +一=c+一 的解是（）c x 1 c 1A 1 n 1cA.Xj -C f%2 =B.Xj -C-I ,%2 =【答案】c.【解析】试题分析：由题意得：x +=c+1+=c-1+,x-l c-l x-l c-/.x -l=c-1 或 x -1=，c-解得Xi二 C,X2 二 一.c-故选c.二、填空题1 0.（2 0 1 7.江苏宿迁）若关于x的 分 式 方 程 一 片 甘-3 有增根，则实数m的 值 是 1 .x-2 2-x【考点】B 5：分式方程的增根.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-2=0,求出x的值，代入整式方程求出m的值即可.【解答】解：去
43、分母，得：m=x -1 -3 （x -2）,由分式方程有增根，得到x-2=0,即 x=2,把 x=2 代入整式方程可得：m=l,故答案为：1.1 1.（2 0 1 7 湖北荆州）若关于x的分式方程改=2的解为负数，则 k的 取 值 范 围 为 k 3x+1-且 k#l .【考点】B 2：分式方程的解；C 6：解一元一次不等式.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可.【解答】解：去分母得：k-l=2 x+2,解得：x=塔，2由分式方程的解为负数，得 到 蜉 0,且 x+i#o,即 蜉 r-1,2 2解得：k 3 且 k Xl,故答案为：k -2且
44、kW O .【分析】先去分母得到整式方程(2 k+l)x=-l,再由整式方程的解为负数得到2 k+l 0,由整式方程的解不能使分式方程的分母为0 得到x W l,即 2 k+l Wl 且 2 k+l W-l,然后求出几个不等式的公共部分得到k的取值范围.【解答】解：去分母得 k (x -1)+(x+k)(x+1)=(x+1)(x -1),整 理 得(2 k+l)x=-1,k x+k因为方程Q+x-1=1 的解为负数，所以 2 k+l 0 且 x Wl,即 2 k+l#l 且 2 k+ir -1,解得k-2且 k WO,即 k的取值范围为k -5且 k WO.故答案为k -5且 k WO.三、解
45、答题1 6 .解分式方程：x+3 4(1)(2 0 1 7 宁 夏)解 方 程 百 踞=1【分析】根据分式方程的解法即可求出答案.【解答】解：(x+3)2-4 (x-3)=(x-3)(x+3)X2+6X+9 -4 x+1 2=x2-9,x=-1 5,令 x=-1 5 代 入(x -3)(x+3)WO,原分式方程的解为：x=-1 5,【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型.（2）解方程：工+2=拉.x-2 2-x【考点】B 3：解分式方程.【分析】方程两边都乘以x -2得 出 1+2 （x -2）=x -1,求出方程的解，再进行检验即可.【解答】解
46、：方程两边都乘以x-2得：1+2 （x-2）=x-l,解得：x=2,检验：当 x=2 时，x -2=0,所以x=2 不是原方程的解，即原方程无解.1 7.（2 0 1 7 内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3 5 0 0 元和2 5 0 0 元.（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1 1 0 0 棵，且购买两种树苗的总费用不超过6 0 0 0 元，根 据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵.【考点】B
47、7：分式方程的应用；C 9：一元一次不等式的应用.【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a 棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6 0 0 0元建立不等式求出其解即可.【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x 元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：至”=父 的，x x+2解得x=5.经检验x=5 是原方程的解，且符合题意.答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a 棵，苹果树苗则购买棵,依题意得:（5+2）+5 aW 6 0 0 0,解得a285 0.答：梨树苗至
48、少购买850棵.18.（2016 辽宁丹东 1 0分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2 x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果.【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2 x元，240 300根据题意，得T -27=15,解这个方程，得x=6,经检验，x=6是所列方程的根，.2x=2X6=12（元），答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元.19.马小虎的家距离学校
49、1800米，一天马小虎从家去上学，出 发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度.【答案】80米/分.【解析】试题分析：方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2 x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟.试题解析：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2 x米/分，依题意得1800-1200 1800-200-=-+10,x 2x解 得x=80.经检验，x=80是原方程的根.答：马
50、小虎的速度是80米/分.20.（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个.已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等.（1）排球和足球的单价各是多少元?(2)若恰好用去1 2 0 0 元，有哪几种购买方案？【考点】B 7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用.【分析】(1)设排球单价是x元，则足球单价是(x+3 0)元，根据题意可得等量关系：5 0 0元购得的排球数量=80 0 元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；(2)设恰好用完1 2 0 0 元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的