2017年数学真题及解析_2017年江苏省高考数学试卷.pdf

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1、2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1.（5分）已知集合A=1,2 ,B=a,a 2+3 .若AC B=1 ,则实数a的值为.2.（5分）已知复数2=（1+i）（l+2 i）,其中i是虚数单位，则z的模是.3.（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为2 0 0,40 0,3 0 0,1 0 0件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取6 0件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为则输出v的值是.165.（5 分）若 t a n（a -2 L）=1_.贝i j t a na=.4 66.（5分）如图，

2、在圆柱0 1。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均b的值是V2相切，记圆柱0 1。2的体积为V 1，球。的体积为V 2,则7.（5分）记函数f （x）=标 彳 定 义 域 为D.在区间-4,5 上随机取一个数X,则X G D的概率是.28.（5分）在平面直角坐标系xO y中，双曲线-y 2=l的右准线与它的两条渐3近线分别交于点P,Q,其焦点是Fi，F 2,则四边形F1P F2Q的面积是.9.（5分）等比数列 a j的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=工，S6=毁,4 4则 38=10.（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为

3、4 x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.11.（5分）已知函数f（x）=x3-2x+ex-工，其中e是自然对数的底数.若f（aXe-1）+f（2a2）b 0)的左、右焦点分别为Fi，F 2,离心率为工，两准线之间的距离为8.点 P 在椭圆2E 上，且位于第一象限，过点Fi作直线PFi的垂线li，过点F2作直线PF2的垂线h.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线li,L 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.i s.(16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I 和正四棱台形玻璃容器n的高均为32cm,容器工的底面对角线AC的长为io jc m,容器I I 的两底面对

4、角线 EG,EiGi的长分别为14cm和 62cm.分别在容器工和容器口中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒I,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将I放在容器I中，I的一端置于点A处，另一端置于侧棱CCi上，求I没入水中部分的长度；(2)将I放在容器I I中，I的一端置于点E处，另一端置于侧棱GGi上，求I没入水中部分的长度.Di Ci5Hi19.(16 分)对于给定的正整数 k,若数列 a j 满足:an.k+an-k+i+.+an-i+an+i+.+an+k一i+an+k=2kan对任意正整数n(n k)总成立，则称数列 a j是“P (k)数列(1)证明：等

5、差数列 a j是 P(3)数列；(2)若数列 a j既是 P(2)数列，又是P (3)数列”,证明:匕力是等差数列.20.(1 6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+l(a 0,b G R)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(工)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(0)证 明:b2 3 a；(H I)若f(x),f (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求实数a的取值范围.二.非选择题，附加题(21-24选做题)【选修4-1：几何证明选讲】(本小题满分0分)2 1.如图，AB为半圆。的直径，直线P C切半圆。于点C,AP _LP C,P为垂足.求证：(1)ZP A

6、C=ZCAB；(2)AC2=AP AB.OB 选修4-2：矩阵与变换2 2.已知矩阵A=。，B=l 0.1 oj Lo 2.（1）求 AB；2 2（2）若曲线J：工+匚=1 在矩阵A B 对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求8 2C2的方程.选修4-4：坐标系与参数方程%二-8+t2 3.在平面直角坐标系xOy中，已知直线I 的参数方程为 为参数），f _ 2曲线C 的参数方程为x=2 s（s 为参数）.设 P 为曲线C 上的动点，求点P 到,y=2V2s直线I 的距离的最小值.选修4-5：不等式选讲24.已知 a,b,c,d 为实数，且 a?+b2=4,c2+d2=1 6,证明 ac+bd

7、W8.【必做题】25.如图，在平行六面体ABCD-A iB iJD i中,AAi_L平面ABCD,且 AB=AD=2,AAi=V，ZBAD=120.（1）求异面直线AiB与ACi所成角的余弦值；（2）求二面角B-AiD-A 的正弦值.26.已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m,nN*,n22）,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2,3,m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=l,2,3,m+n).1 2 3 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X)

8、是X的数学期望，证明E (X)_ 一3-(nH-n)(n-1)2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合人=1,2,B=a,a2+3.若A C B=1,则实数a的 值 为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：.,集合 A=1,2,B=a,a2+3).ADB=1,，a=l 或 a2+3=l,当 a=l 时，A=1,1,B=1,4 ,成立；a2+3=l 无解.综上，a=l.故答案为：1.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已 知 复 数2=(1+i)(l+2 i),其 中i是虚数单位，则z的模

9、是运【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复 数 z=(1+i)(l+2i)=1-2+3i=-l+3i,Iz=7(-1)2+32=/TO-故答案为：VTo-【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取1 8件.【分析】由题意先求出抽样比例即为再由此比例计算出应从丙种型号的产100品中抽取的数目.【解答】解：产品总数为200+400+

10、300+100=1000件，而 抽 取6 0件进行检验,抽 样 比 例 为 出 _=上，1000 100则应从丙种型号的产品中抽取3 0 0 X _ _ 1 8#,100故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取.4.（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为则输出y的 值 是-2【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解：初始值x=J _,不满足x 2 1,16所以 y=2+log2J_=2-l o g -2,故答案为：-2.【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常

11、用方法，注意解题方法的积累，属于基础题.5.（5 分）若 tan（a-2L）=.L.则 tana=4 6 一至一【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可ntan C I-ta n-j-【解答】解：Vtan（a-工）=-i=tanCL-l=lA 711+tanCI t arr-tanQ+l 66tana-6=tana+l,解得 tana=,5故答案为：工5【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6.（5分）如图，在圆柱0102内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱01。2的体积为V1，球。的体积为V2，则L的值是 反V2 2【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积

12、即可得到结果.【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：且兀R3,3圆柱的体积为：RR22R=2HR3.则 工 丝 片 也V2 4 兀 R，2-3-故答案为：司.2【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.7.（5分）记函数f（x）=而 二 彳 定 义 域 为D.在区间-4,5上随机取一个数X,则x C D的 概 率 是1一91【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：由 6+x -x2 0 得 x?-x -6W0,得-2 W x W 3,则 D=-2,3 ,则在区间-4,5 上随机取一个数X,则xWD的概率P=3-Q 2)=反

13、,5-(-4)9故答案为：19【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.28.(5分)在平面直角坐标系x O y中，双曲线L-y2=l的右准线与它的两条渐3近线分别交于点P，Q，其焦点是F i，F 2,则四边形F 1 P F 2 Q的面积是_2后_.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P,Q坐标，求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线上-y 2=l的右准线：x=3,双曲线渐近线方程为：y=土亚x,3 23所以 P(W,返)，Q (3,-返)，F 1 (-2,0).F2(2,0).2 2 2 2则四

14、边形F 1 PF 2 Q的面积是：,X 4X后2愿.故答案为：2M.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.9.(5分)等比数列 a j的各项均为实数，其前n项 和 为 已 知$3=工，S6=-1,4 4则 as=3 2 .3【分析】设等比数列 an的公比为q W l，S3=X,S6=毁，可得 1口二2=工，4 4 l-q 42 1 (三)_=经,联立解出即可得出.l-q 4【解答】解：设等比数列 an的公比为qW l,3 6c _ 7 c _ 6 3 .ai 1-,-?4 4 l_q 4 l_q 4解得 ai=,q=2.4则 ag=A-x 2 7=32.故答案为：32.【点评】

15、本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次,一年的总存储费用为4 x万 元.要 使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的 值 是30.【分析】由题意可得：一年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和=逊*6+4*，利用基本x不等式的性质即可得出.【解答】解：由题意可得：一年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和=逊*6+4乂2 4*2Xx j呼_.x=240(万元)当且仅当x=30时取等号.故答案为：30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力

16、与计算能力，属于基础题.11.(5分)已 知 函 数f(x)=x3-2x+ex-_ L _,其 中e是自然对数的底数.若f(aXe-1)+f(2a2)W 0.则实数a的 取 值 范 围 是 -1,工.【分析】求出f(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可 得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可 得f(x)为奇函数，原不等式即为2 a 2 W l-a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解：函数f(x)=x3-2 x+e x-1一的导数为：X可得f(x)在R上递增;1又 f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e x-ex+x3-2x+ex-0Xe可得f(X)为奇函数,则 f

17、(a-1)+f(2a2)WO,即有 f(2a2)-f (a-1)由f(-(a-1)=-f (a-1),f(2a2)W f(1-a),即有 2a2 W l-a,解 得-lW a W L,2故答案为：-1，1 .2【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.12.(5分)如图，在同一个平面内，向量源，0 B-瓦的模分别为1，1，0A与友的夹角为a,且tana=7,而与羽的夹角为45。.若/m+n而(m,nR),则 m+n=3.分析 如图所示，建立直角坐标系.A(1,0).由赢与前的夹角为a,且tana=7.

18、可得 cosa=sina=C(L,工).可得 cos(a+45)=力.sin(a+45)572 572 5 5 5=里.B(力，A).JfflQC=mOA+nOB(m,n R),即可得出.5、5 5 J【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A(1,0).由而与灰的夹角为a,且tana=7.cosa=1 _,sma=7.5V2 5V2cos(a+45)(cosa-sina)=2 5sin(a+45)(sina+cosa)=.2 5,B4-)-b b0 C=m O A+nO B(m,n e R),.L=m-jin,_L=0+&,5 5 5 5解得n=,m=.4 4则 m+n=3.故答案为：3.【点

19、评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xO y中，A(-12,0),B(0,6),点P在圆0：x2+y2=50.若隹而W 2 0,则点P的横坐标的取值范围是-5及，1.【分析】根据题意，设P(x,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2xo+yo+5W 0,分析可得其表示表示直线2x+y+5W 0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意，设P (xo yo)则有xo2+yo2=5O,P A P伊(12-xo _ yo)(-xo，6-yo)=(12+xo)xo-y

20、o(6-yo)=12xo+6y+xo2+yo2W20,化为：12x0-6yo+3OWO,即2 X 0 -yo+5 0,表示直线2 x-y+5=0以及直线上方的区域,联O55日=FO20yy一+O20XX2解可得xo=-5或xo=l 结合图形分析可得：点P的横坐标xo的取值范围是-5&,1 ,故答案为：-5m，1 .【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于xo、y。的关系式.1 4.(5分)设f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间 0,1)上，f (x)r 2 匚=X XjD,其中集合D=x x=I旦，n N*,则方程f (x)-l g x=O

21、的解的个x,x虹)n数 是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间 0,1)上，f(x)=b 0)的左、右焦点分别为F i，F 2,离心率为上，两准线之间的距离为8.点P在椭圆2E上，且位于第一象限，过点F i作直线PF i的垂线l i，过点F 2作直线PF 2的垂线L.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l i，1 2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.。2【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2 c,由椭圆的准线方程X=2 W _,则2C92X室8,即可求得a和c的值，贝b 2=a 2-c 2=3,即可求得椭圆方程；C(2)设P点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及

22、直线PF i的斜率，则即可求得12及l i的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得yo2=xo2-i,联立即可求得P点坐标；方法二：设P (m,n),当m W l时，二二=-，求得直线k及hPF2 ID-1 P FI irrf-12 1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得_SL工 土M,联立椭圆方程，即可n求得P点坐标.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e=邑工，则a=2 c,a 22 2椭圆的准线方程*=土且由2义8,c c由解得：a=2,c=l,则 b2=a2-c2=3,2 2椭圆的标准方程：工+/=1；4 3(2)方法一：设P (xo,y ),贝ij直线P F2的

23、 斜 率=*-，PFZ XQ-1则直线L的斜率k 2=-2-,直线I2的方程y=-2-(x-1),y。y。直线PFi的斜率k瞠=*，PFi x0+l则直线12的斜率k i=-空L 直线I1的方程y=-生 土(x+1),y。y。，X。一,(y=-(x-1)x-xo 9联立 4，解得：x、l，则 Q(-xo,-5 ),y=xn+l(x+l)厂k _ y9_ 丫-ny0由P,Q在椭圆上，P,Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则yo=.*Vo2=Xo2-1,-1O20yX4-3十一+-=ooXy/JI贝又P在第一象限，所以P的坐标为:P(/L 旭.7 7方法二：设P(m,n),由P在第一象限，则m

24、0,n 0,当m=l时，k遁不存在，解得：Q与F i重合，不满足题意,X PF2当m#l时,_ nPF?m-1P Fi i r r t-1n由 k _ LPF i,I 2-LPF 2,贝Ik1=-k =-in 2 n直线l i的 方 程 丫=-曲(x+1),直线b的方程y二-型工(x-1),n n2 1联立解得：x=-m,则Q (-m,亚二k),n2 1由Q在椭圆方程，由对称性可得：豆二 土M,n即 m2-n2=l,或 m2+n2=l,(2,2(2 _ 1 6由P(m,n),在椭圆方程，L 2 n2 ，解得：，或+2 2-1 2 91 4 +3 1(n=7解，1-i n =n2 2m .n -

25、+-二 14 3无又P在第一象限，所以P的坐标为:P(Z r,阻.7 7【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题.i s.（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器n的高均为3 2 cm,容 器I的底面对角线AC的长为10日c m,容器I I的两底面对角线EG,EiG i的长分别为14cm和6 2 c m.分别在容器工和容器口中注入水，水深均 为1 2 cm.现有一根玻璃棒I,其长度为4 0 c m.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将I放在容器I中，I的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC

26、i上，求I没入水中部分的长度；（2）将I放在容器I I中，I的一端置于点E处，另一端置于侧棱GGi上，求I没入水中部分的长度.【分析】（1）设玻璃棒在CCi上 的 点 为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NPM C,交 AC于点 P,推导出 CCi_L平面 ABCD,CCi_LAC,NP _LAC,求出 MC=30cm,推导出A N Ps A M C,由此能出玻璃棒I没入水中部分的长度.（2）设玻璃棒在GGi上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过 点N作NP EG,交EG于 点P,过 点E作EQLEiGi，交E i于 点Q,推导出EEiGiG为等腰梯形,求 出EiQ=24cm,EiE=40cm

27、,由正弦定理求出sin/G EM=，由此能求出玻璃棒I5没入水中部分的长度.【解答】解：（1）设玻璃棒在CCi上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中，过N作NPM C,交AC于 点P,VABCD-AiBiCiDi 为正四棱柱，.CCi，平面 ABCD,又 YACu 平面 ABCD,A C C ilA C,A N PlA C,，NP=12cm,且 AM2=AC2+MC2,解得 MC=30cm,.,NPMC,/.A A N PA A M C,AA N=1 2,得 AN=16cm.A M M C 40-30玻璃棒|没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GGi上的点为M,玻璃棒与水

28、面的交点为N,在平面EiEGGi中，过点N作NP_LEG,交EG于点P,过点E作ECUEiGi，交E G于点Q,EFGH-EFiG iH i为正四棱台,/.EEi=GGi，EGE i,EGWE1G1，.EEiGiG为等腰梯形,画出平面EiEGGi的平面图，VEiGi=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,EiQ=24cm,由勾股定理得：EiE=40cm,/.sinZEEiG i=-l,sinZEGM=sinZEEiGi=A,cosZEGM=-A,5 5 5根据正弦定理得：_ _ _ 即_ _ _=_ _ _3-，.,.sinZEMG=J_,cosNEMG=，sinZEGM

29、sinZEMG 25 25/.sinZGEM=sin(ZEGM+ZEM G)=sinZEGMcosZEMG+cosZEGMsinZEMG=X5EN=-2 0 c m.sinZGEM 3_5玻璃棒I没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒I没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.19.(16 分)对于给定的正整数 k,若数列 aj 满足：an-k+an-k.i+.+an-i+an.i+.+an.k.i+an+k=2kan对任意正整数n(n k)总成立，则称数列

30、 a j是P(k)数列(1)证明:等差数列 a j是 P(3)数列”；(2)若数列 a j既是 P(2)数列，又是P(3)数列”，证 明:a/是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质，an-3+an-2+an-i+an.i+an.2+an 3=(an-3+an-3)+(an.2+an-2)+(an-i+an+i)-2 X 3 an,根据P(k)数列”的定义,可得数列 a j是 P(3)数列；(2)由已知条件结合(1)中的结论，可得到 a 1从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和ai与a2的关系，可知 a j为等差数列.【解答】解:(1)证明：设等差数列匕力首项为公差为

31、d,则an=a1+(n-l)d,则 8n-3+an-2+an-l+an+l+an+2+an+3,=(an-3+a(v3)+(an-2+an.2)+(an-1+arvl)，=2an+2an+2an，=2X3an，.等差数列 an是 P(3)数列；(2)证明：当n 2 4时，因为数列 a j是P(3)数列，则an-3+an-2+an-i+an.i+an.2+an.3=6an 因为数列国 是 P(2)数列，所以an-2+an i+an.i+an+2=4an，则 an-l+an+an.2+arv3=4an，l，+-，得 2an=4an.i+4an+i-6 a n,即 2an=anT+an+i，(n 4

32、),因此n 2 4从第3项起为等差数列，设公差为d,注意到a2+a3+as+a6=4a4，所以 a2=4a4-a3-as-a6=4(aa+d)-as-(a3+2d)-(a3+3d)=33-d,因为 ai+a2+a4+as=4a3,所以 ai=4as-a2-as=4(a2+d)-a2-(a2+2d)-(a2+3d)=82-d,也即前3项满足等差数列的通项公式，所以 a。为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算,考查转化思想，属于中档题.20.(1 6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+l(a 0,b e R)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x

33、)的零点.(I)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(0)证 明:b2 3 a；(D I)若f(x),f (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，求实数a的取2值范围.【分析】(I )通过对 f(x)=x3+ax2+bx+l 求导可知 g(x)=f(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g(x)=6x+2a,通过令gz(x)=0进而可知fz(x)的极小值点为 x=-且，从而 f(-A)=0,整理可知 b=2a+j.(a 0),结合 f(x)=x3+ax?+bx+l3 3 9 a(a 0,b G R)有极值可知(x)=0有两个不等的实根，进而可知a 3.(口)通 过(1)构造函数 h(a)

34、=b2-3a=-l si-.1.(4a3-27)(a381 3 a2 81a2-2 7),结合a 3可知h(a)0,从而可得结论；2(H I)通 过(1)可知f，(x)的极小值为f，(-且)=b-2 _,利用韦达定理及完3 3全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为且f-辿+2,进而问题转化为解不27 32 3 2等式b-且 _+_-&L+2=W-总_ -1,因式分解即得结论.3 27 3 a 9 2【解答】(I )解：因为f(x)=x3+ax2+bx+l,所以 g(x)=f(x)=3x2+2ax+b,g(x)=6x+2a,令 g(x)=0,解得 x=-9.3由于当x-且时gz(x)0,g(

35、x)=f(x)单调递增；当xV-2时gz(x)0).9 a因为 f(x)=x3+ax2+bx+l(a0,b R)有极值，所以 f(x)=3x2+2ax+b=0 的实根,2所以4 a 2-1 2 b 2 0,即a 2-2*2 2 0,解得a23,3 a2所以b=2_+芭(a3).9 a(H)证明：由(1)可知 h(a)=b2-3 a=l-9 1(4a3-27)(a381 3 a2 81a2-27),由于 a 3,所以 h(a)0,即 b?3a；2(ID)解：由(1)可知f，(x)的极小值为F(-且)=b-3 _,3 3设XI，X2是y=f(x)的两个极值点，则X l+X 2=_旦，X1X2=,3

36、 3所以 f(X i)+f(X2)=T 斗1 Na(T 2+2)+b(X1+X2)+2A 息2 息 息2=(X1+X2)(X1+X2)2-3X1X2+a (X1+X2)2-2X1X21+b(X1+X2)+2_ 4a3-2ab+)27 3又因为f(x),f (x)这两个函数的所有极值之和不小于-工，29 3 9所以 b-+0-空+2=3-工，3 27 3 a 9 2因为 a 3,所以 2a3 -63a-54W0,所以 2a(a2-36)+9(a-6)WO,所 以（a-6）（2a2+12a+9）WO,由于 a 3 时 2a2+12a+90,所以a-6 W 0,解得aW6,所以a的取值范围是（3,6

37、.【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题.二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）2 1.如图，AB为半圆。的直径，直线P C切半圆。于点C,AP P C,P为垂足.求证：（1）ZP AC=ZCAB；（2）AC2=AP*AB.【分析】（1）利用弦切角定理可得：Z A C P=Z A B C.利用圆的性质可得NACB=90.再利用三角形内角和定理即可证明.（2）由（1）可得：A PC s/A C B,即可证明.【解答】证明：（1）.直线P C切半圆O于点C,.NACP=NABC.V

38、 A B为半圆O的直径，ZACB=90.V A PI P C,/.ZAP C=90./.ZP AC=90-NACP,ZCAB=90-ZABC,/.ZPAC=ZCAB.（2）由（1）可得：AAPCAACB,AAC=_,瓦 ACAAC2=AP*AB.OB【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.选修4-2：矩阵与变换2 2.已知矩阵人=1,B=1 .1 oj Lo 2.（1）求 AB；2 2（2）若曲线Ci：工+口1在矩阵A B对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求8 2C2的方程.【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；

39、（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线J的方程化简即可.【解答】解：（1）AB=P 熊5=（；（2）设点P （x,y）为曲线C i的任意一点，点P在矩阵A B的变换下得到点P，(xo,yo),则。2(x)=(2 y),即 x()=2y,yo=x,X。x=yo，y=22 2.也卡 _=gp Xo2+yo2=8,8 8曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程%二-8+t2 3.在平面直角坐标系xO y中，已知直线I的参数方程为 t（t为参数），1yf _ 2曲线C的参数方程为x=2s（s为参数）.设P为曲线c上的动点，求点P

40、到,y=2V2s直线I的距离的最小值.【分析】求出直线I的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离.【解答】解：直 线I的直角坐标方程为x-2y+8=0,，P至直线I的距离d J 2 s 2-梦s+8|=(&S)2+4,V5 V5.当s=J无寸，d取 得 最 小 值 史 延 .V5 5【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题.选 修4-5：不等式选讲2 4.已知 a,b,c,d 为实数，且 a2+b?=4,c2+d2=1 6,证明 ac+bdW8.【分析】M+b2=4,c2+d2=1 6,令 a=2cosa,b=2sina,c=4cosp,d=4sinp.

41、代入 ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2W(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明：Ia2+b2=4,c2+d2=16,令 a=2cosa,b=2sina,c=4cosP，d=4sinp./.ac+bd=8(cosacosp+sinasinp)=8cos(a -P)W 8.当且仅当 cos(a-p)=1时取等号.因此ac+bdW8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2 V 3).ApB=(。T，V 3)，而=Q M，1，炳)，DB=(V3-3.0)，DA=(0,-2,如)(1),/cos y g =A D A C】A/,A C

42、1|不|记|我义邛一 7.异面直线A iB与ACi所成角的余弦值为工；7（2）设平面BAiD的一个法向量为丁（x,y,z），由，n*DB=OnDAj=O得卜/lx-3y=0,l-2y4-V3z=0取 x=J5，得n=（,1,2乎）；o取平面AiAD的一个法向量为蕊(i,0,o).Acos=m ,n _ 逐 _ 二 3Mi x i-4二二 面 角B -AiD-A的余弦值为3,则 二 面 角B-AiD-A的正弦值为4【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角,是中档题.2 6.已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m,r)GN,n 2 2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中

43、的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2,3,m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=l,2,3,m+n).1 2 3 m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X)是X的数学期望，证明E (X)-一 二 一(irrl-n)(n-1)【分析】(1)法一：设事件A表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p(A2)=P (A2IA1)P (Ai)+P (A2|7)P (),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有外种，除去第二个位置放的黑

44、球，还剩下n+m-1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.pn-1(2)X 的所有可能取值为L,二 _,，p (x=A.)=k-1,k=n,n+1,n+2,n n+1 n+m k rnr d m 1 Ct；1 n+m C Jn+m,从而E(X)=V (工 上与上L由此能证明E(X)-Cn4m k=n k%k=n 卜1%k=nn-1(n-D%n-2.1 r.n-2n l十十)1 _ ,n-l _ n,(.-(n-l)Cn m+n (n H-n)(n-l)：.E(X)-2-(m+n)(n-l)【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.