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1、决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）专题12圆的有关计算与证明问题M5（2020宜T）（2019 租）【变 式5-2】2019谷州）【安 式5-3（2020徐州）【考点5】国惟的有关计算问题【考点1】圆中有关角的计弟问题MD(2020.;1)itl 1)(2020送州)【烫式1-2(2020廖安)5Extl 3(2O2O.ttW)M6（2019无例）（2019 方州）【变五6 2】（2020,苏州）【受天6-3（2020赛海区二国）(M7)(2020.&K)【受式7-1（2020簸核区二掇）7 2（2020.*3）【变式7.3】（2020宿迁二板）【考点6 切线的有关性质与计算【考
2、点7 切线的有关证明与综合计算问题【考点3】国中有关弧长的计算问题【零点2】圆中有关线段计算问题专题12国的有关计算与证明问题M2（2020.）【变贰2 1】（2020,场州）_【变式2 2】（2020凉山州）【费式2-3】（2020我州）M3（2019场州）【费式3-1（2020事州）【变式3-2（20204湖区校爆一接）【变式3-3（2020宝应1二根）/篇选汀芯古中考附枕献8%耐 发22雷/压 轴 耐.一.一 一.；【考点4】圆中有关阳影部分面积的计算问题M4（2020场州）【变式4-1（2020苏州）【费式4-2（2019庭汪）【变式4-3（2020推安）典例剖析【考 点 1】圆中有关
3、角的计算问题【例 1】（2 0 2 0 镇江）如图，AB 是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，Z/1 DC=1 0 6 ,则NC 48 等于（）A.1 0 B.1 4 C.1 6 D.2 6【分析】连接B D,如图，根据圆周角定理得到N A O 8=90 ,则可计算出N BO C=1 6 ,然后根据圆周角定理得到NC AB 的度数.【解析】连接B C,如图，：AB是半圆的直径，4 0 8=90 ,?.Z B D C=A A D C -Z A D B=1 0 6 -90 =1 6 ,；.N C A B=N B D C=16 .故选：C.【变 式 11】（2020徐州）如图，AB是。0 的弦，点
4、C 在过点8 的切线上，OCLLOA,。交 A 8于点P.若NBPC=70 ,则NABC的度数等于（）A.75 B.70 C.65 D.60【分析】先利用对顶角相等和互余得到乙4=20,再利用等腰三角形的性质得到NO3A=NA=20,然后根据切线的性质得到0 8,8 G 从而利用互余计算出NA8C的度数.【解析】VOC1OA,A ZAOC=90 ,V ZAPO=ZBPC=10 ,NA=90-70=20,：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20 ,3 C 为。的切线，OBLBC,A ZOBC=90 ,A ZABC=90 -20=70.故选：B.【变 式 12】（2020淮安）如图，点4、B、C 在
5、。上，ZACB=54,则NA8O的度数是（）BCA.54B.27C.36D.108【分析】根据圆周角定理求出/A O 8,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出 根 据 三 角 形 内 角 和定理求出即可.【解析】./4C 8=54,二圆心角/A O B=2/A C B=108,OB=OA,：.Z A B O=Z B A O=X （1800-ZAOB）=36,故选：C.【变 式1-3（2020盐城）如图，在。中，点A在船上，ZBOC=100.则/8 A C=130 .【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论.【解析】如图，在优弧8 c上取一点。，且异于8,C,连接30,C
6、D,则四边形ABDC是。的内接四边形，：.ZD+ZB A C=80a.V ZB O C=100,-50 ,；./84C=180-50=130,故答案为：130.【考 点2】圆中有关线段计算问题【例2】（2020南通）已 知 的 半 径 为13即，弦A 8的长为10cm,则圆心O到0 8的 距 离 为12 cm.【分析】如图，作OC_LAB于C,连接0 4,根据垂径定理得到A C=8 C=3 1 8=5,然后利用勾股定理计算OC的长即可.【解析】如图，作O CLAB于C,连接0A,则 4。=8。=夕8=5,在 RtOAC 中，O C=3 2 -52=12,所以圆心0到A B的距离为12cm.【变
7、式2-1（2020扬州）如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度匕=3cz,【分析】根据正六边形的性质，可得NABC=120,A B=B C=a,根据等腰三角形的性质，可 得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案.【解析】如图，连接A C,过点8作BC_L4c于。，由正六边形，得NA8C=120,AB=BC=a,ZBCD=ZBAC=30.由 4 c=3,得 CO=1.5.cosNBCD=豌CD =4,r即 L丁5 =3V3,解得a=V3,3【变式22】（2020凉山州）如图，点C、。分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是3口，则半圆的半径OA的 长 为3.
8、DA O B【分析】连 接OC、O D,利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形O CD的面积,列式计算就可.【解析】连接OC、OD、CD.点C,。为半圆的三等分点，ZAO C=ZC O D=N8O）=60,OC=OD,是等边三角形，A ZOCD=60,二 NOCD=ZAOC,：.CD/AB,：C O D和CBD等底等高，:S&COD=S&BCD.阴影部分的面积=S均 形COQ,.阴影部分的面积是2.607r r2 3-=F,360-2r=3,故答案为3.【变式23】（2020泰州）如图，直线。_ L A垂足为，点P在直线。上，P H=4 a n,。为直线上一动点，若 以1c机为
9、半径的。与直线。相切，则O P的 长 为3cm或5 c m.【分析】当点O 在点H的左侧。0 与直线a相切时，O P=P H -O H；当点0在点H的右侧。0 与直线。相切时，O P=P H+O H,即可得出结果.【解析】：直线“上 儿。为直线上一动点，二。与直线。相切时，切点为“，OH=c m,4 相切时，如 图 1 所示:当点。在点”的右侧，。与直线”相切时，如图2 所示:，0。与直线。相切，0 P 的长为3cm或 5cvn,故答案为：3a”或 5c,.【考点3圆中有关弧长的计算问题【例 3】(2019扬州)如 图，AB是。的弦，过点。作 OCJ_OA,OC交 4 8 于 P,CP=BC.
10、(1)求证：8 c 是。的切线；(2)已知NBAO=25,点 Q 是丽语上的一点.求 NAQB的度数；若。4=1 8,求 而5的长.【分析】(1)连 接 0 B,根据等腰三角形的性质得到N 0A 8=N 08A,N C P B=N P B C,等量代换得到N A P O=N C B P,根据三角形的内角和得到NC8O=90,于是得到结论；(2)根据等腰三角形和直角三角形的性质得到NABO=25,ZAPO=65,根据三角形外角的性质得到/尸。8=/”0-乙4 8 0=4 0 ,根据圆周角定理即可得到结论；根据弧长公式即可得到结论.【解答】(1)证明：连 接03,：OA=OB,：.Z 0 A B=
11、Z 0 B Af,.PC=CB,：N C P B=/P B C,N A P O=/C P B,：.N A P O=/C B P,:OC.LOA,：.ZAOP=90,：.ZO AP+ZAPO=90Q,.ZCBP+ZABO=90,/.ZCBO=90,BC是O O的切线；(2)解：NB4O=25,NABO=25,NAPO=65,A ZPO B=ZAPO -ZABO=W ,1、iZAQB=Q AO P+NPO B)=1 x l3 0 =65；V ZAQB=65，：.ZAOB=130,.右胡的长=湎S的长=23IT.【变 式3-1（2020泰州）如图，半径为10的扇形AO B中，乙408=90,C为通上
12、一点，CDLOA,C E L O B,垂足分别为、E.若N C 0E为36,则图中阴影部分的面积为（）【分析】连 接0 C,易证得四边形C/JOE是矩形，则。后。，得到/C O 8=N 0E O=N C O E=36,图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得.【解析】连接0C,.,NAO8=90,C D LOA,CE1OB,四边形COOK是矩形,J.CD/OE,:./DEO=NCDE=36 ,由矩形C D O E易得到OE四CEO,:.NCOB=NDEO=36，图中阴影部分的面积=扇形O B C的面积,.c 36-irxlO2.S m OBC=Im二图中阴影部分的面积=
13、1011，故选：A.【变式3-2（2020亭湖区校级一模）如图,AC、8 C是。的弦，/A C 8=3 0，则劣弧A B的 度 数 为60【分析】弧的度数转化为求弧所对的圆心角的度数即可.【解析】连接。A、OB,V Z A C B=30,./AO 8=2/4C8=2X30=60,二劣弧A 8的度数为60,故答案为：60.【变式3-3（2020宝应县二模）如图,。0的半径为5,弦A C垂直平分半径0 8,则劣弧痴的长为可 匚.【分析】先 根 据 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 到C O=C B,则可判断 O AB和 O 8C都是等边三角形，所以NAOC=120。，然后根据弧长公式计算
14、即可.（解析】：弦AC垂直平分半径OB,：.A O=A B,CO=CB,：.OA =A B=O B=0C=BC,/O A B 和OBC都是等边三角形，/.ZAOB=ZCOB=60,A ZAOC=120,劣 弧 丽 的 长 二 衅 群=n.loU 10故答案为【考点4】圆中有关阴影部分面积的计算问题【例4】（2020扬州）如图，AABC内接于。0,NB=60,点 E 在直径C。的延长线上，且 AE=AC.（1）试判断AE与。的位置关系，并说明理由：（2）若 A C=6,求阴影部分的面积.【分析】（1）连 接 0 4、A D,可求得N 4C E=/A EC=30,可证明A O O 为等边三角形，可
15、求得N40=90,可证明AE为。的切线；（2）结 合（1）可得到0 4=2 臼，A E=6,再根据圆的面积公式和扇形面积公式即可求解.【解答】（1）证明：连接。4、A D,如图，：C 为。的直径，NOAC=9（）,又./AOC=NB=60,二/30,5L：AE=AC,OA=OD,.,AQO为等边三角形，.,./A EC=30,ZADO=ZDAO=GOQ,ZAD=30,：.ZEAD+ZDAO=90,A ZEAO=90,即 0A_L4E,.AE为。的切线；（2）解：由（1）可知AAEO为直角三角形，且NE=30,：.OA=2痘,AE=6,阴影部分的面积*X 6X 2V 3-叫科=673-2n.故阴
16、影部分的面积为6百-2n.【变 式 4-1（2020苏州）如 图,在 扇 形 中，已知乙4。8=90,OA=V 2.过 脑 的中点C作CDLOA,CEYO B,垂足分别为 、E,则图中阴影部分的面积为（）C.1T C-2D.7 T 12 2【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接O C,根据全等三角形的性质得到0。=O E,得到矩形COOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论.【解析】,：CDOA,CELOB,：.ZCDO=ZCEO=ZA（?B=90,四边形CDOE是矩形，连接OC,.点C 是油的中点，ZAOC=ZBOC,:oc=oc,.CO 恒 (A4S),：.O
17、D=OE,二矩形CDOE是正方形,OC=OA=y/2,OE=1,图中阴影部分的面积=嚓 盥-1 X 1=冬1,D O U L故选：B.【变式4-2（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A.65/3 ir B.6V3 2it C.6V3+n D.6 V+2T T【分析】图中阴影部分面积等于6 个小半圆的面积和-（大圆的面积-正六边形的面积）即可得到结果.【解析】6 个月牙形的面积之和=3n-（22T T-6x i x2x V3）=6A/3-TT,故选：A.【变 式 4-3（2020淮安
18、）如图，AB是。的弦，C 是。外一点，OC_LO4,CO交 A 8 于点P,交。于点 ,且 CP=C8.（1）判断直线8 c 与。0 的位置关系，并说明理由；（2）若/A=30,。尸=1,求图中阴影部分的面积.【分析】（1）根据等边对等角得/C P 8=/C 8 P,根据垂直的定义得NO8C=90,即。口L C 8,则 C8与。相切；（2）根据三角形的内角和定理得到N O=6 0 ,推出P8O 是等边三角形，得到NPCB=NC8P=60,求得8 C=1,根据勾股定理得至I OB=7 0 c 2-BC2=瓜 根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.【解析】(1)CB与。相切，理由：连接。8,：O
19、A=OB,：.ZO AB=ZO BA,：CP=CB,：/CPB=/CBP,：4CPB=NAPO,:/C B P=/A P O,在 RlAAOP 中，./A+/A PO=90,：.ZOBA+ZCBP=90,即：ZOBC=90,J OBLCB,又。8 是半径，C 8与。相切；(2)V ZA=30,ZAOP=90,ZAPO=60Q,：.ZBPD=ZAPO=60,:PC=CB,，./XPBC是等边三角形，；NPCB=NCBP=60,：.ZOBP=ZPOB=30,OP=PB=PC=,：.BC=,：.OB=yj0C2-BC2=V3,.图中阴影部分的面积=SAOBC-s 扇 形 OBD=|x l x V 3
20、-3 焉 可=堂一9乙 JOU L 4c B【考点5 圆锥的有关计算问题【例 5】（2 0 2 0 镇江）圆锥底面圆半径为5,母线长为6,则圆锥侧面积等于3 回.【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积.【解析】圆锥侧面积=x 2 n X 5 X 6=3 0 m故答案为3 0 n.【变 式 5-1（2 0 1 9 无锡）已知圆锥的母线长为5 5 7,侧面积为15 11c m2,则这个圆锥的底面圆半径为一【分析】利用圆锥侧面积=口”，代入可求解.【解析】圆锥的母线长是5am 侧面积是15m zr=3故答案为：3.【变 式 5-2（2 0 1 9 徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一
21、个扇形，若圆锥的底面圆的半径，二？。，扇形的圆心角6 =1 2 0 ,则该圆锥的母线长/为6 c m.【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长.【解析】圆锥的底面周长=2 T X 2=4 ncm,1207TX R设圆锥的母线长为凡贝的-=4TT,180解得R=6.故答案为：6.【变 式 5-3 （2 0 2 0 徐州）如图，在 R tZ X A B C中,ZC=9 0 ,A C=4,B C=3.若以AC 所在直线为轴,把 A B C旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于【分析】运用公式5=内广（其中勾股定理求解得到的母线长/为5）求解.【
22、解析】由已知得，母线长/=5,底面圆的半径r 为 3,圆锥的侧面积是s=7 T/r=5 X 3 X i r=15TT.故答案为：15TT.【考点6 切线的有关性质与计算【例 6】（2 0 1 9 无锡）如图，外是的切线，切点为A,P。的延长线交。于点8,若N P=4 0 ,则的度数为（）A.2 0 B.2 5 C.4 0 D.5 0【分析】连 接O A,如图，根据切线的性质得/%0=9 0 ,再利用互余计算出乙4 0尸=5 0,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数.【解析】连接0 4,如图，是。的切线，.OA 1.A P,：.Z PA O=9 0,V Z P=4 0,Z A OP
23、=5 0 ,9：0A=0B,：.NB=NOAB,ZAOP=ZB+ZOAB,1 1A ZB=ZAOP=1 X5O=25.【变式61】（2019苏州）如图，A 5为。的切线，切点为A,连接AO、BO,3 0 与。0 交于点C,延长8 0 与 交 于 点。，连接A Q.若NA5O=36,则NAQC的度数为（）A.54 B.36 C.32 D.27【分析】由切线的性质得出NOAB=90,由直角三角形的性质得出乙4。8=90-ZABO=54,由等腰三角形的性质得出N A D C=/O A O,再由三角形的外角性质即可得出答案.【解析】AB为。的切线，：.ZOAB=90,V ZABO=36,NAOB=9（
24、T-/A 8O=54,：0A=0D,:.ZAD C=Z0AD,：ZAO8=ZADC-ZOAD,1ZADC=-ZAOB=27；故选：D.【变 式 62（2020苏州）如图，已知AB是。的直径，4 c 是O O 的切线，连 接。交。于点。，连接若NC=40,则N B 的 度 数 是 25 .B【分析】先根据切线的性质得NOAC=90,再利用互余计算出NAOC=90-NC=50,由于N03Q=/O D B,利用三角形的外角性质得NO8O=*NAOC=25.【解析】.N C 是O。的切线，OAJ_AC,：.ZOAC=90 ,A ZAOC=90 -ZC=90-40=50,：O B=O D,：O B D=
25、/O D B,而 N A O C=N O B D+/O D B,1：.O B D=ZAOC=25 ,即/A B O 的度数为25,故答案为：25.【变 式 6-3（2020秦淮区二模）如图，AB是。O 的直径，点 C、。在。0 上，C D=B D,过点。作 EF AC,垂足为E,交 AB的延长线于点F.（1）求证：直线EF是。的切线；2（2）若 AE=1,/F=3 0 ,则。O 半径长为【分析】（1）连接A。，O D,由 丽=加，得N D A B=N D A C,根据等腰三角形的性质得到/D 4 O=/O D A,等量代换得到N D 4 C=/O D 4,推出AEO O,于是得到结论；（2）设
26、。0 的半径为根据30度角所对直角边等于斜边一半即可得到结论.【解析】（1）证明：连接。,AD.：CD=BD,：.ZDAB=ZDAC,：EFAC,：.Z E=9 0.在0 0 中，.OAOD,：.ZDAOZODA,：.ZODA=ZDAC,：.0D/AE,./O ）F=N E=9 0 ,即 0D1.EF,又：点。在O。上，二直线E F是。的切线.(2)在 R t Z X A E/中，AE=,Z F=3 0,：.AF=2AE=2,在 R t Z O /中，Z F=3 0,0F=20D,：.OB=BF=OD=|A F=|.则OO半径长为1.故答案为：【考点7 切线的有关证明与综合计算问题【例7】(2
27、 02 0盐城)如图，。是 A B C的外接圆，AB是 的 直 径，ZDCA=ZB.(1)求证：CD是。的切线；(2)若垂足为E,DE交AC于点F,求证：/X O C F是等腰三角形.BD【分析】（1）连接O C,根据等腰三角形的性质得到NOC4=/A,根据圆周角定理得到/8C A=90,求得OCJ_C 丁是得到结论;（2）根据已知条件得到NA+NOC4=90,得到NOC4=N7%推出NO C4=N D FG 于是得到结论.【解答】证明：（1）连接OC,/OC=OA,：.ZOCA=ZA,AB是O O 的直径,AZBCA=90,/.ZA+ZB=90，,:ZDCA=ZB,：.ZOCA+Z)CA=Z
28、OCD=90，：.OCLCD,C。是。的切线;(2)VZOCA+ZDCA=90,ZOCA=ZAf：.ZA+ZDCA=90,u：DE LAB,ZA+ZEFA=90，1NDCA=NEFA,:/EFA=/DFC,:/DCA=/DFC,OC/是 等腰三角形.【变 式 7-1(2020鼓楼区二模)如图，矩形ABC。中，E 是 8 C 的中点，连接。E,P 是 O E上一点，ZBPC=9 0,延长C P交 4。于点F.O O 经过P、。、F,交 CO于点G.(1)求证。F=D P；(2)若 4 8=12,B C=I O,求。G 的长；(3)连接B F,若 8尸 是 的 切 线，直接写出空的值.【分析】(1
29、)由直角三角形的性质可得8E=E C=P E,可得/E P C=/E C P,由平行线的性质可得=N EP C=N D P F,可得 )尸=P；(2)连接F G,通过证明F GS/C )F,可 得 竺=三，可求解；DG DF/尸 A B(3)通过证明A F 3 sOGR 可得一=一，/D FG=N AB F,由 “SAS”nJiiEAABFADCF,A FDG DF1DF DG 1=D F=3 A D,B F=C Ff 通过证明C 8 G s/O F G,可 得 一=可得结论.2BC CG 2【解答】证明：(1)/3 尸。=90,点 E 是 中 点，：B E=E C=PE,:/E PC=/E
30、CP,四边形48C D 是矩形，J.A D/BC,NA8C=NAOC=90,:/DF P=/E CP,：.Z D F P=Z E P C=NDPF,：.D F=D P；(2)连接FG,.NFPG=90,A ZFPG+ZBPF=180,，点 8,点尸，点 G 三点共线,3/是0。切线，：.ZBFG=90,/.ZAFB+ZDFG=9O0,VZDFG+ZDGF=90,ZDGF=/AFB,又：ZA=ZFDG,/AFBs4DGF,AF AB =，/D F G=/ABF,DG DF:.AFDF=ABDG,由(2)可得F D GSA T D RDF DC：.=一，NDFG=/DCF,DG DF:.DF2=D
31、C-DG,ZABF=ZDCF,又；AB=CD,NA=NFDC，：./XABF/XDCF(ASA)：.AF=DF=AD,BF=CF,V ZCBG+ZPCB=90,ZPCB+ZPCG=90,/.NGBC=/PCG=ZDFG,又,：/F D C=NGCB=90,:.丛 CBGsDFG,DF DG 1BC CG 2：.CG=2DG,：.(|fiC)2=AB-AB,.AB V3BC 2【变式7-2(2020宿迁)如图，在AABC中，。是边BC上一点，以8。为直径的。经过点A,且NCA。=ZABC.(1)请判断直线AC是否是。的切线，并说明理由;(2)若 CO=2,C A=4,求弦 A8 的长.【分析】（
32、1）如图，连接0 A,由圆周角定理可得NBA=90=ZO AB+ZO AD,由等腰三角形的性质可得N O 48=N C 4D=N A 5C,可得NOAC=90,可得结论；（2）由勾股定理可求。4=0 0=3,由面积法可求AE的长，由勾股定理可求A 8的长.【解析】（1）直线AC是O O 的切线，理由如下：如图，连接OA,：8。为。的直径，ZBAD=900=Z0AB+Z0AD,；OA=OB,：.ZOABZABC,又：NCA)=/A 8 C,Z0AB=ZCAD=ZABC,NOAO+NCAO=90=ZOAC,J.ACVOA,又：。4 是半径，直线AC是。的切线；(2)方法一、过点A 作 AELBD于
33、 E,OCA+AO2,：.(0A+2)2=16+。川，.04=3,：.0C=5,BC=8,1 1V5AOAC=2 xO4XAC=-xOCXAE,B1O：.0E=JAO 2-A E 2=：.BE=BO+OE=.-A B=、BE 2+4E 2 =掇+罢=噌方法二、：ZCADZABC,/C=/C,ACDABCA,.CD AC ADAC B C AB.2 4 AD4 BC BA：.BC=S,AB=2AD,.*.80=6,：AB2+AD2=BD2,.5A2=36,r-.6/5.A=-y,：.AB=2AD=【变式7-3(2020宿迁二模)已知RtZABC,/BAC=90,点。是 BC中点，AD=AC,8
34、c=28，过A,。两点作。O,交 AB于点E.(1)求证：8 c 是。0 的切线;(2)如 图 1,当圆心。在 48 上且点M 是。0 上一动点，连接DM交 AB于点N,求当ON等于多少时,三点。、E、M 组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心。不在AB上且动圆。与 相 交 于 点 Q 时，过。作。HJ_A8(垂足为H)并交O O 于点P，问：当。变动时，O P-O Q 的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.（图1）（图2）【分析】（1）由直角三角形的性质可得A D=C D=B D,由“SSS”可证ACO丝O C O,可得NCQ。=/C 4O=90,可得结论：（2）连 D
35、E、M E,易得当EO 和 EM 为等腰三角形EDW的两腰，根据垂径定理得推论得OEJ_DM,易得到4O C为等边三角形，得NCAO=60,贝 IJND40=30,N D O N=6 0：然后根据含3 0 的直角三角形三边的关系得QN=%=亨，O N=,D N=当 M D=M E,O E为底边，作 O 4 L A E,由于 ZDAE=3O,得到与，ZDA=60,D E=l,于是 0 E=3 E=l,O H=a 又/M=ZDAE=30 ,M D=M E,得到NMQE=75,则NA3M=90-75=15,可得到NWO=45,根据等腰直角三角形的性质得到NH=H=,，于是得到结论；（3）连 AP、A
36、。，DPLAB,AC/DP,则 N PD 3=N C=60,再根据圆周角定理得/B 4Q=NPZ53,N A Q C=/P,则/孙。=60,Z C A 0-Z M D,易证得AQCgZVlP。，得至U P=CQ,贝 U OP-=C Q-D Q=C D,而AOC为等边三角形，C D=A D=W,即可得到。P-Q的值.【解答】证明：（1）如 图 1,连接C。，（图1）VRtAABC,ZBAC=90 ,点。是 3 c 中点,:.A D=C D=B D,：AD=AC,：.AC=CD,又,：AO=DO,CO=CO,.ACO丝DCO(SSS),：.ZCDO=ZCAO=90,又：。是半径，；.B C 是。的
37、切线：(2)连 Z)E、M E,如图 3,图3:DMDE,当 ED 和 EM 为等腰三角形EDM的两腰，/.OELDM,又.AOC为等边三角形，/.ZCAD=60,./D 4O=30,:.NDON=60,在 RtZAON 中，DN=,AD=导,在 RtZXOLW 中，O N=*DNJ1.当 ON等于3时，三点D、E、M 组成的三角形是等腰三角形;当MD=ME,O E为底边，如图4,作。H_LAE,c图4AD=V3,ZDAE=30,。=会 NDEA=60,DE=9 OOE为等边三角形，：.OE=DE=l,OH=%,：ZM=ZDAE=30,而 MD=ME,:.NMDE=15,ZADM=900-75
38、=15,ZDNO=45Q,ANDH为等腰直角三角形，：.NH=DH=-,综上所述，当三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形时，ON等于:或直-2 2 2(3)当。变动时D P-O Q的值不变，DP-DQ=V3,理由如下：连4P、A Q,如图2,图2VZC=ZCAD=60,而 DP-LAB,：.AC/DP,：.ZP D B=ZC=6 0,又：NPAQ=/PDB,：.ZPAQ=60,：.ZCAQ=ZPAD,：AC=AD,N A Q C=/P,AAQC/APD(A4S),：.DP=CQ,：.DP-DQ=CQ-DQ=CD=V3.压轴精练一.选 择 题（共5小题）1.（2019无锡）已知一个扇形的半径为
39、6,弧长为2 m则这个扇形的圆心角为（）A.30 B.60 C.90 D.120【分析】根据弧长公式列式计算，得到答案.【解析】设 这 个 扇 形 的 圆 心 角 为,njrx6则-=2TT,180解得，=60,故选：B.2.（2019镇江）如图，四边形ABCO是半圆的内接四边形，AB是直径，DC=CB.若NC=110,则NABC的度数等于（）C.65 D.70【分析】连 接A C,根据圆内接四边形的性质求出/D 4 8,根据圆周角定理求出N4C8、Z C A B,计算即可.【解析】连接AC,四边形A B C D是半圆的内接四边形,二 NZM8=180-ZC=70,DC=CB,：.ZCAB=Z
40、DAB=35 ,:A B 是直径，ZACB=90,.NA8C=90-ZCAB=55,故选：A.3.（2020扬州）如图，由边长为1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在格点上，以 A 8为直径的圆经过点C、。，则 sin/A Q C 的 值 为（）【分析】首先根据圆周角定理可知，Z A D C=Z A B C,然 后 在 RtAACB中，根据锐角三角函数的定义求出NABC的正弦值.【解析】如图，连接AC、BC.,：Z A D C和N A B C所对的弧长都是公，根据圆周角定理知，Z A D C=ZABC.在 RtZACB中，根据锐角三角函数的定义知，./“cc 4csinZ/AoC=而
41、，；AC=2,BC=3,：.AB=yjAC2+BC2=E,.乙“2 2/13.sinZABC=-y=-n-,A sin ZADC=与空.故选：A.4.(2020南京)如 图，在平面直角坐标系中，点尸在第一象限，O P 与 x 轴、y 轴都相切，且经过矩形A O B C的顶点C,与B C相交于点D.若。尸的半径为5,点 A 的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)【分析】设。与 x、y 轴相切的切点分别是尸、E 点，连 接 PE、PF、P D,延 长)与 C。交于点G,证明四边形尸EOF为正方形，求得C G,再根据垂径定理求得8,进而得P
42、G、D B,便可得。点坐标.【解析】设。与工、y 轴相切的切点分别是尸、E 点,连接PE、P F、P D,延长E P 与 C。交于点G,则 轴，轴，VZEOF=90,四边形P E O F 是矩形,；PE=PF,PE/OF,四边形PEO产为正方形，/.O E=P F=P E=O F=5,：A(0,8),OA=8,：.AE=S-5=3,四边形0AC3为矩形，：.BC=OA=S,BC/OA,AC/OB,：.EG/AC,四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形,：.CG=AE=3,EG=OB,U：PEAO,AO/CB,：.PGLCD,:CD=2CG=6,:,DB=BC-CD=8-6=2,
43、:PD=5,DG=CG=3,：.PG=4f：.OB=EG=5+4=9,：.D(9,2).故选：A.5.（2020连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、。均是正六边形的顶点.则点。是下列哪个三角形的外心（）A./XAED B.AABD C.4BCD D.AACD【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可.【解析】从。点出发，确定点O 分别到A,B,C,。，E 的距离，只有。4=OC=OD,三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，.点。是AC。的外心，故选：D.二.填 空 题（共 5 小题）6.（2020宿迁）用半径为4,圆
44、心角为9 0 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径 为 1 .【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r,利用弧长公式得到2n=嚅 土 然 后 解 关 于 的方程即可.【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r,根据题意得2n片 当 索，loU解 得r 1,所以这个圆锥的底面圆半径为1.故答案为L7.（2020徐州）在A8C中，若 A8=6,/ACB=45.则ABC的面积的最大值为9&+9.【分析】首先过C 作于M,由弦A B已确定，可得要使A8C的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心。时;CM最大，然后由圆周角定理，证得AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案.
45、【解析】作 的 外 接 圆。，过 C 作于M,.弦4 8 已确定，要使48C 的面枳最大，只要CM取最大值即可,如图所示，当 C/W过圆心。时，CM最大，VCM1AB,CM 过 O,：.A M=B M（垂径定理），：.AC=BC,；NAOB=2NAC8=2X45=90,0M=A M=AB=|x 6=3,：.0A=JOM2+AM2=32,；.C M=0 C+0 M=3&+3,-SAABC=AB-CM=f X6 X （3 V 2+3）=9或+9.故答案为：9 V 2 +9.8.（2 0 1 9常州）如图，半径为旧的OO与边长为8的等边三角形4 8 c的两边A 8、B C都相切，连接O C,V 3W
46、 l J t a n NOCB=.-5 -【分析】根据切线长定理得出N O B C=N。B A=:/A B C=3 0 ,解直角三角形求得8 Q,即可求得CD,然后解直角三角形OCD即可求得VdnZOCB的值.【解析】连接O B,作T D,.。0与等边三角形A B C的两边A B、B C都相切,A ZOBC=ZOBA=ZABC=3Qa,t a n Z O B C=盥，.OD _ 7 3 _,B D tan301T3,T：.CD=BC-BD=S-3=5,9.（2 0 2 0泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3,6）,（-3,3）,（7
47、,-2）,则A A B C内心的坐标为（2,3）所以 A B C 内心/的坐标为（2,3）.故答案为：（2,3）.1 0.（2 0 2 0 连云港）如图，正六边形A M M 3 A 4 A 5 A 6 内部有一个正五边形8 1 B 2 8 3 B 4 B 5，且 A 3 A 4 8 3&,直【分析】设/交 4 A 2 于 E、交 4 朗3 于力，由正六边形的性质得出/A&A 3=NA2AM4=1 2 0 ,由正五边形的性质得出/比8 3 8 4=1 0 8 ,则/8 4 5 3。=7 2 ,由平行线的性质得出/&%3=/8 4 8 3。=7 2 ,再由四边形内角和即可得出答案.【解析】设/交
48、4 4 2 于 E、交 A 4 A 3 于 Q,如图所示：丫六边形4A M 3 A 4 A 前6 是正六边形，六边形的内角和=（6-2）X 1 8 0 =7 2 0 ,7 2 0 N A|4 M 3 =N A M 3 A 4=o7 =1 2 0 ,:五边形B1B2B3B4 B5 是正五边形,五边形的内角和=(5 -2)X 1 8 00=5 4 0 ,，/8 2&8 4=亭=1 0 8 ,.Z B4B 3 D=1 8 0 -1 0 8 =7 2 ,VA 3A 4/B3B4.：NE DA 3=NB4 B3D=7 2,：.a=Z A2E D=36 0-Z A 1A 2A 3-Z A 2A 3A 4
49、-Z E D A3=36 0-1 2 0 -1 2 0 -7 2。=4 8 ,故答案为：4 8.三.解 答 题（共 12小题）1 1.（2 0 2 0 镇江）如图，（3 A B C。中，NA8C的平分线5。交边A。于点。，。=4,以点O为圆心，O D长为半径作O。，分别交边D 4、。于点M、N.点 E在边B C 上,。后交。于点G,G为访V 的中点.（1）求证：四边形A 8 E。为菱形；（2）已知C O S/A 8 C=4，连接AE,当 4 E与。相切时，求 AB的长.【分析】（1）先 由 G 为疝V 的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出/MOG=/MCW,再由平行四边形的性质得出4 O
50、 8 E,N M W+/A=1 8 0 ,进而判定四边形A B E O 是平行四边形，然后证明A B=A。，则可得结论；（2）过 点0作 OP_ L 8 A,交B A的延长线于点P,过 点。作 O Q LB C于点Q,设A B=A O=O E=x,则由c o s/A 8 C=,可用含x的式子分别表示出办、O P 及 O Q,由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可.【解析】（1）证明：G 为而/的中点，：.Z M O G=Z M D N.；四边形A B C D是平行四边形.：.A O/BE,/M O N+/A =1 8 0 ,A ZM0G+Z4=1 8 0 ,：.A B/OE,，四边形A B