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1、决胜2022中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）专 题 15锐角三角函数的应用【例1】（2020,苏州）典例剖析【考 点 1锐角三角函数的应用选择题型【例 1】（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作:（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角NACE=a；（2）量得测角仪的高度C D=a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离D B=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A.a+b t an aB.a+bsinaD-+岛【分析】过 C作CF AB于 F,则四边形B F C D是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论.【解析】过 C作于F,则
2、四边形8/8 是矩形，:.BF=CD=a,CF=B D=b,/ZACF=a,.A F=Z?*t an a,.AB=AF+BF=a+btana,故选：A.7【变 式 1-1（2 0 1 9 无锡）己知，在 R t Z U B C 中，N C=9 0 ,若 s i n 4=皂 BC=4,则 A B长 为（）4 V5 8 ,A.6 B.C.-D.2 1 35 3【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案.【解析】如图所示：s i M=g,8 c=4,.B C 2 4 小 必=而=不=而 解得：故选：A.【变 式 1-2（2 0 1 9 苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB
3、的高度，将测角仪8 竖直放置在与教学楼水平距离为1 8 8 根的地面上，若测角仪的高度是1 5 九 测得教学楼的顶部A处的仰角为3 0 .则教学楼的高度是（）A.55.5m B.54/n C.19.5根 D.18机【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.【解析】过。作。ELAB,.在。处测得教学楼的顶部A 的仰角为30,A ZADE=3O,BC=DE=8V3m,：.AE=DE-tan30=18/n,AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5 m,故选：C.【变 式 13】（2020张家港市模拟）如图，已知A,3 两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点 C,尸分别是直线x=
4、-5 和 x 轴上的动点，C r=1 0,点。是线段。尸的中点，连接AD交 y 轴于点E,当A8E面积取得最小值时，sin/BA。的 值 是（)A.一17B.一174/2C.1372D.26【分析】如图，设直线x=-5 交 x 轴于K.由 题 意/=上 尸=5,推出点。的运动轨迹是以K 为圆心,5 为半径的圆，推出当直线A 与。K 相切时，的面积最小，作于，求出E 4,即可解决问题.【解析】如图，设直线x=-5 交 x 轴于K.由题意K =F=5,.点。的运动轨迹是以K 为圆心，5 为半径的圆，当直线AO与0 K 相切时，A3E的面积最小，是切线，点。是切点，：.ADVKD,：AK=3,DK=
5、5,：.AD=12,/QK DK tan/E A=而=而OE 5.=,8 12：.AE=OE2+。42=事作EH AB于H.i :S&ABE=-SM O E，7无 LLH：1,：.smBAD=器=击=梁T故选：D.x=-5【考点2】锐角三角函数的应用填空题型【例 2】（2020南通）如图，测角仪8 竖直放在距建筑物AB底部5?的位置，在。处测得建筑物顶端A的仰角为50.若测角仪的高度是1 5 ,则建筑物4 8 的 高 度 约 为 7.5，.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50 弋0.77,cos50=0.64,tan50 F.1 9）【分析】作垂线构造宜角三角形，利用宜角三角形的边角关
6、系进行计算即可.【解析】如图，过点。作。垂足为点E,则 D E=3 C=5,D C=B E=1.5,在 Rt A/4 D 中，AFt an Z A D E=厉，/.E=t anA A D E D E=t an 50 X5-1.1 9 X 5=5.9 5（米），：.AB=AE+BE=5.95+.5 1.5（米），故答案为：7.5.【变式2.1（20 1 9 徐州）如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为4 5 ,测得该建筑底部C处的俯角为1 7 .若无人机的飞行高度AO为 62如 则该建筑的高度BC为2人?.（参考数据:s i n l 7 20.29,co s l 7 0.9 6,t a
7、n l 7 g0.3 1）BD C【分析】作 A E _L B C 于 E,根据正切的定义求出A E,根据等腰直角三角形的性质求出B E,结合图形计算即可.【解析】作 AEL8C于 E,则四边形A O C E 为矩形,：.E C=AD=62,在 RtZAEC 中，tanN E 4C=,则 心 t E A C 能=20。,在 RtZSAEB 中，N BAE=45 ,：.BE=AE 200,.,.8C=200+62=262(m),则该建筑的高度H C为262加，故答案为：262.【变式2.2（2019宿迁）如图，NAMN=60,若ABC的顶点8在射线4W上，且4 8=2,点C在射线AN上运动，当A
8、BC是锐角三角形时，8C的取值范围是_ W B C 1 W.【分析】当点C在射线A N卜.运动，A 8C的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值.【解析】如图，过点B作BCA N,垂足为。，BC2 A M,交A N于点C2在 RtZA8Ci 中，AB=2,ZA=60,ZABCi=30a：.A C =A B=,由勾股定理得：BC=V3,在 RtZABC2 中，AB=2,/A=6 0 ZAC2B=3O：.AC2=4,由勾股定理得：BC2=2回当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时BV B C 2 g.故
9、答案为：V3 BC中，通过解直角三角形可得出A。,CQ的长，在Rt 中，利用勾股定理可得出2。的长，由BC=B D+C D结合BC=乃+&可求出x 的值，此题得解.【解析】过点A 作 AD_L8C,垂足为点O,如图所示.设 A C=x,贝在 RtZXAC。中，AD=AC9sinC=J2CD=AC9COSC=-yx；在 RtZAB 中，AB=y/2x,A=?工，BD=JAB2-A D2=年x.：,B C=B D+C D=齐+x=V6+V2,x=2.故答案为：2.【考点3】锐角三角函数的应用解答题型【例 3】（2020宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A,8 两个观测站，A 在 B 的正西方向，A
10、B=2 k m,从观测站A 测得船C 在北偏东4 5 的方向，从观测站B 测得船C 在北偏西3 0 的方向.求船C 离观测站A的距离.【分析】如图，过 点 C作 C O _L A 8 于点氏 从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可.【解析】如图，过 点 C作于点Q,：.AD=CD,设 AO=x,则 AC=&：.BD=AB-A D 2-x,：ZCBD=60 ,rn在 Rt Z8 C 4中，V t an Z CBD=,解得x=3-g.经检验，x=3-遍是原方程的根.：.AC=V2x=V2(3-V 3)=(3 7 2-V 6)km.答：船
11、C离观测站A的距离为(3 V 2-V 6)km.【变式3-1(20 20 徐州)小红和爸爸绕着小区广场锻炼.如图，在矩形广场A 8 C O 边 AB的中点何处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点尸处，爸爸到达点。处，此时雕塑在小红的南偏东4 5方向，爸爸在小红的北偏东60 方向，若 小 红 到 雕 塑 的 距 离 3 0?，求小红与爸爸的距离PQ.(结果精确到1 m,参考数据：V 2 b=1.7 3,后=2.4 5)【分析】作 PNLBC于 N,则四边形A8NP是矩形，得 P N=A B,证 出 是 等 腰 直 角 三 角 形，得A M=*P M=1 5&m,则 PN=AB=24例=30奁，在
12、RtPN。中，由含3 0 角的直角三角形的性质得 N Q=gpN=0*m,P Q=2 N Q=4 9 m 即可.【解析】过点P 作 PN_L8C于 M如图，则四边形ABNP是矩形，：.PN=AB,.四边形ABC。是矩形，.I NA=90,V ZAPM=45 ,.APM是等腰直角三角形，：.AM=P M=x30=15V2(/n),是 AB的中点,：.PN=AB=2AM=302m,在 RtzPNQ 中，N N PQ=90 -ZD PQ=90 -60=30,：.N Q=-PN=l0V6m,P Q=2 N Q=2 0 R x49(m)；答：小红与爸爸的距离P Q约为49m.【变 式 3-2(2020南
13、京)如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距6 k m的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东2 6 方向航行至。处，在 B、C 处分别测得/A B D=4 5、Z C=37.求轮船航行的距离 AZX(参考数据：sin26-0.44,cos26-0.90,tan26-0.49,sin37 0.60,cos37-0.80,tan37 0.7 5.)东【分析】过点。作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD【解析】如图，过点。作于点从在 R O C H 中,Z C=37 ,：.CH=DHtan37f在 R tADBH 中,Z D B H=45,二昨马，：B C=C H-BH,DHDH-
14、=6,tan370 tan450解得0/7-1 8 5?,在 R t Z Z M H 中，/ADH=26 ,Q H.%出 赤 疥*2 0 碗.答：轮船航行的距离AO约为2 0 h.【变 式 3-3 （2 0 2 0 泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面1 5?的 A处测得在C处的龙舟俯角为2 3 ；他登高6 m到正上方的B处测得驶至。处的龙舟俯角为5 0 ,问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1?，参考数据:t a n2 3 0.4 2,t a n4 0 七0.8 4,t a n5 0 1.1 9,t a n6 7 0 弋
15、2.36)【分析】如图，根据题意得，NC=23,ZBDE=50,AE=15m,B E=2 m,解直角三角形即可得到结论.【解析】如图，根据题意得，/C=2 3 ,NBDE=50,AE=15/n,BE=21/n,在 RtZMCE 中，tanC=tan23=1=!0.42,解得：CE 35.7,DC 21在 Rt/XBOE 中，tan/BDE=tan5(T=髭=能 引解得：DE17.6,：.CD=CE-DE=35.7-17.6=18.1 弋 18m,答：两次观测期间龙舟前进了 18m.压轴精练选 择 题（共 5 小题）【分析】设小正方形的边长为1,根据勾股定理可求出C尸和A F 的长度，然后根据锐
16、角三角函数的值即可求出答案.【解析】设小正方形的边长为1,过 C 作 CF_LA8于F,由勾股定理得：A B=2瓜 AC=2y/2,BC=2,由三角形面积公式得：A B X C F=B C X A E,2V5 xCF=2X2,解得：C F=等，在 R tA FC 中，由勾股定理得：人尸=竿，/n s CF-1tan/BA C=而=还=子丁【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可得CO=A。，再根据等边对等角的性质可得/A=Z A C D,然后根据正切函数的定义列式求出N A 的正切值，即为tan/A C O 的值.【解析】：C。是 4 8 边上的中线，：.CD=AD,：.Z A=Z
17、 A C D,-8=9 0 ,BC=6,AC=8,3-4=6-tan Z A=元;8：.ta n Z A C D 的值,4故选：D.在平面直角坐标系中，直线OA过 点（3,1）,贝 i j t a na 的 值 是（）1C.一3【分析】根据在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边,D.3可得答案.【解析】如图：过点A做 x 轴的垂线，交 x 轴于点BV 4 (3,1),，0 8=3,AB=,.,AB 1l t a n a=UB=34.（2 0 2 0 如皋市二模）如图，为了测量某建筑物A8的高度,在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30 ,沿 C B方向前进12?到达。处，在。处测得建筑物顶端A
18、的仰角为45 ,则建筑物A8的高度等 于（）A.12(V 3+1)m B.1 2(V 3-1)m C.6(V 3+1)m D.6(V 3-I)m【分析】利用所给的角的三角函数用A8表示出8。，CB：根据8C-OB=8即可求出建筑物A8的高度.【解析】：在 RtZiABC中，NAC8=30,APtan Z A CB=tan30 =前,Aft _ 8 C=7 =KAB,A R在 RtABO 中，tan/AB=tan45=器，AD.3/=AB.:CD=BC-B D=A B（V 3-1）=12,.8=6（V3+1）m.故选：C.5.（2020高新区一模）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行
19、巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1 小时到达8 处，测得岛屿P 在其北偏西 3 0 方向，保持航向不变，又航行2 小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即 PC 的长）A.40海里 B.60海里 C.40遥海里 D.20次海里【分析】首先证明P 8=B C,推出/C=3 0 ,可得P C=2%,求出办即可解决问题.【解析】在 RIAR48中，：ZAPB=30,：.PB=2AB,由题意得BC=2A3,：.PB=BC,：.ZC=ZC PH,V ZABP=ZC+ZCPB=60a,A Z C=30 ,：.PC2PA,VM=ABtan600,
20、：.PC=2X20 x V3=40V3（海里），故选：c.二.填 空 题（共5小题）6.（2020惠山区校级一模）如 图1,A B=E G=5,FG=10,A =4,小红想用 人?包裹矩形ABC。,她包裹的方法如图2所示，则矩形A B C D未包裹住的面积为16.【分析】利用相似三角形的判定，证 明Rt 尸 HNSR W EG,利用相似三角形的性质，求 得 HN,利用三角形的面积公式得结果.【解析】如图2,将矩形ABCO和RtZSECF以 为 轴 翻 折,VR tAG BR tAG B/C ,GB E B 10-GBi 5-4-=-,即-=-,GBf BrCf GB/4解得：G B1=8,1i
21、:C G=?B C*B G=JX4X8=16,7.（2020海门市一模）如图，在数学活动课中，小东为了测量校园内旗杆A B的高度，站在教学楼的。处测得旗杆底端8的俯角为30,测得旗杆顶端A的仰角为45,若旗杆与教学楼的距离为12,”，则旗杆AB的高度是（12+4次）加.（结果保留根号）【分析】作 0C L A 8于 点 C,根据题意可得，NAOC=45,N3OC=30,0 c=1 2,再根据特殊角三角函数即可求出AC和BC的值，进 而 可 得 的 值.【解析】如图，作0C1AB于点C,/.ZAC0=ZBCO=90Q,B根据题意可知：N4OC=45,/8O C=30,0C=12,：.AC=0C=
22、2,F5.BC=OCtan30=1 2 x =4 7 1：.AB=AC+BC=2+4/3（机 ）.所以旗杆A 8的高度是（12+48）m.故答案为：（12+4月）.8.（2020徐州模拟）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼4 处，测得起点拱门C O 的顶部C 的俯角为 35,底部。的俯角为4 5 ，如果A 处离地面的高度4 8=2 0 米，求起点拱门CD的 高 度 6?.（结果精确到 1 米；参考数据:sin35-0.57,cos35-0.82,tan35=0.70）.【分析】作 CELAB于 E,根
23、据矩形的性质得到CE=OB=20,CD=BE,根据正切的定义求出A E,结合图形计算即可.则四边形C/J8E为矩形，：.CE=DB,CD=BE,在 RtZXAZJB 中，/4。8=45,.8=0 8=2 0,：.CE=20,AC在 RlZACE 中，tanNACE=卷，.-.A=CEtanZAC20X0.70=14,：.CD=BE=AB-AE=6m,故答案为：6.9.（2020靖江市一模）刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十
24、二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得 圆 周 率 为 3.12.（参考数据：sin/5=0.26）【分析】连接0 4、0 4 2,根据正十二边形的性质得到2 4 0 1 2=3 0 ,4 0 4 是等腰三角形，作 0M_L4A2于 M,根据等腰三角形三线合一的性质得出N 4O M=15,4 A 2=2 4”.设圆的半径R,解直角4。用，求出4 M,进而得到正十二边形的周长L,那么圆周率“右余.【解析】如图，设半径为R 的圆内接正十二边形的周长为，连接0 4、0 4，二 十二边形A A y A 2 是正十二边形，A ZAIO/12=30.作 0M_L4A2 于 M,又 0 4 =0A2,
25、ZAOM=5,AA2=2AIM.在直角4 0 M 中，4 M=0 4 sinN40M=0.26R,：.AA2=2AM=0,52R1L=1244=6.24七圆周率 RR 4=3.1 2.故答案为3.12.10.（2020张家港市模拟）如图，在aA B C 中，AB=AC,B C=2,。为 AC边的中点，线 段 8。的垂直平分线分别与边BC，AB交于点E,F,连接。F,E F.设 8E=x,tan/ACB=y.给出以下结论：DF3/BC；的面积为3 孙；的周长为12+x；7-/=%2x-7=9.其中正确结论有（把你认为正确结论的序号都填上）.【分析】过 A 作 AQLBC于 Q,过。作 QM LB
26、C于“，连接。E,根据线段垂直平分线求出。E=BE=x,根据等腰三角形求出B Q=C Q=6,求出C A f=Q M=3,解直角三角形求出E M=3y,A Q=6 y,在RtZWJEM中，根据勾股定理求出即可.由此可以判断正确.【解析】过 A 作 AQ_LBC于 Q,过。作。MJ_BC于 M,连接。E,E、M8。的垂直平分线交8 c 于 E,BDEx,.BE=DE=x,AB=AC,BC=12,tanZACB=yrEM AQ-=y,BQ=CQ=6,MC CQ.AQ=6yfAQ_L8C,EM工BC,.AQ/EM,。为 AC 中点,CM=QM=1c(2=3,.EM=3y,I 1.SEBD=BEDM=
27、矛:，故正确,E M=1 2-3-x=9-x,在 RtZEDM中，由勾股定理得：/=(3y)2+(9-x)2,即 2 x-y 2=9,故正确.不妨设成立，则可以推出8。平分N A 8C,推出A8C是等边三角形，这个显然不可能，故不成立.不妨设成立，则推出C O=8E=O E=x,推出/)EA 8,这个显然不可能，故错误，不妨设成立，则由可知/=2 x,推出x=2,这个显然不可能，故错误，故答案为.三.解 答 题(共 10小题)F511.(2020盐城)如图，在ABC中，NC=90,tanA=学，/A B C 的平分线B)交 AC于点。，C)=遮，求 AB的长？,taii4=苧，可求出NA=30
28、,NABC=60,再根据BZ）是NABC的平分线,求出/CBD=NABO=30,在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可.【解析】在 RtZA8C中，NC=90,tanA=亨,.NA=30,.,.N A 8C=60,8 0 是/4 8 C 的平分线,：.ZCBD=ZABD=30 ,又,：C D=V3,B C=3,在 RlZABC 中，ZC=90,ZA=30,：.A B=-；=6.sm30答：A 8的长为6.12.（2020淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得/CAB=30,ZABC=45,A C=8千米，求 A、B 两点间的距离.（参考数据：V21.4,V 3 1.7
29、,结果精确到1 千米）.【分析】过 点 C 作 CO LA8于点。，在 RtZ4CD中，通过解直角三角形可求出A。，C。的长，在 RlSCO中，由/8O C=90,/C B O=4 5 可得出8 D=C O,再结合4B=AO+8O即可求出4、8 两点间的距离.【解析】过点C 作 C C A B 于点。，如图所示.在 RtZXACZ）中，AC=8（千米），ZCAD=30,NCD4=90,：.CD=ACsinZCAD4（千米），AO=4Ccos/CA=4我（千米）七6.8（千米）.在 RtZ8C）中，CO=4（千米），ZBDC=90 ,NCBD=45 ,.ZBCD=45,：.B D=C D=4（千
30、米），：.AB=AD+BD=6.8+4 （千米）.答：A、8两点间的距离约为1 1 千米.1 3.（2 0 1 9 南京）如图，山顶有一塔A B,塔高33%计划在塔的正下方沿直线C。开通穿山隧道E F.从与 E点相距8 0，”的 C处测得A、B的仰角分别为2 7、2 2 ,从与F点相距5 0”?的。处测得4的仰角为4 5 .求隧道EF的长度.（参考数据：t a n 2 2 七0.4 0,t a n 2 7 =*0.5 1.）【分析】延长A8交 C。于 H,利用正切的定义用CH表示出A，、B H,根据题意列式求出C”，计算即可.【解析】延长AB交 C/）于 H,则 AH CD,在 R t Z A
31、 ）中，N O=4 5 ,：.AH=D H,AU在 中，t a n N A C”=器，：.AH=CH a nZACH 0.5 CH,D U在 R l Z 8 C 中，t a n N 8 C”=器，：.B H=C H a n Z B C H O A C H,由题意得，0.5 1 C H-0.4 C H=3 3,解得，C 7/=3 0 0,：.E H=C H-C E=2 2 0,B H=20f：.AH=AB+BH=5 3f：.D H=AH=5 3,：.H F=D H -D F=103,：.E F=E H+F H=323,答:隧道E尸的长度为323?.14.（2020鼓楼区校级模拟）如图，在大楼AC
32、的正前方有一个舞台，舞台前的斜坡O E=4米，坡角N D E B=41。，小红在斜坡下的点E 处测得楼顶A的仰角为60,在斜坡上的点。处测得楼顶A的仰角为45,其中点B,C,E 在同一直线上求大楼AC的高度.（结果精确到整数.参考数据：遮 1.73,sin41弋0.6,cos41 g 0.75,tan41 心0.87）【分析】设C E=x,根据正弦的定义求出B D,根据余弦的定义求出B E,根据正切的定义用x 表示出A C,根据等腰直角三角形的性质列方程，解方程得到答案.【解析】作。凡L4C于凡设 CE=x,n D在 中，sinN D E B=釜,O8=OE,sinNDE晔 4X 0.6=24
33、,BEcos ND E B=筹/.BE=D E cos Z D E B-4 X 0.75=3,AT在 RtZSAEC 中，tan ZAEC=*.AC=CE*tan Z AEC=V3x,V ZDF=45,：.F A=F D,V3x-2.4=x+3,解得，x=需 2：.AC=V3x=13,答:大楼AC的高度约为13米.15.（2020徐州模拟）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树O E的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处测得树顶端。的仰角为60,已知A 点的高度AB为 2 米，台阶AC的坡度i=l：2,且 B,C
34、,E 三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树。E 的高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【分析】首先表示出A F的长，进而得出BC的长，再表示出CE=Y (x+2),利用EB=BC+CE求出答案.解析 过点A 作 A F D E,设 DF=x,在 中，,./OAF=30,la n/Z M F=*，.,.AF=V3.r,AC的坡度i=l：2,.AB 1 =,CB 2 A3=2,3C=4,V AB IB C,DE-LCE,AF1.DE,四边形ABE/为矩形，:.EF=AB=2,BE=AF,：.DE=DF+EF=x+2,在 R t Z S O C E 中，t a n/O C E=岩,:ND
35、CE=60,CE=(x+2),.,3=8 C+C E=4+等(x+2),V 3 (x+2)+4=v 3 x,3.”=1+2 8，：.DE=3+2y/3.1 6.（2 0 2 0 镇江）如图，点 E与树A8的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，A C=1 0 机.小明站在点E处观测树顶8的仰角为3 0 ,他从点E出发沿EC方向前进6%到点G时，观测树顶B的仰角为4 5 ,此时恰好看不到建筑物C3的顶部D （“、B、。三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地 面 1.6?，求建筑物8 的 高 度（结果精确到0.1?）.（参考数据：7 1=1.4 1,臼=1.7 3.）【分析】延长尸4,交 C
36、。于点M,交 A 8于点M 求 C ,只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在 R t z X B N F 中，设 BN=NH=x,则根据t a n/B F N=器就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长.【解析】如图，延长交8 于点M,交AB于点、N,V ZBHN=45 ,B A L M H,则 BN=N H,设 B N=N H=x,：HF=6,N BF N=30,，/BN BN.t a n Z B F/V=,即 t a n 3 0 =-7,x+6解得 x=8.1 9,根据题意可知：D M=M H=M N+N H,：M N=A C=O,则 DM=1 0+8.1
37、9=1 8.1 9,C D=D M+M C=D M+E F 1 8.1 9+1.6 1 9.8 (?).答：建筑物。的高度约为1 9.8?.1 7.(2 0 1 9 泰州)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区4c的坡度i 为 1：2,顶端C 离水平地面A 8的高度为1 0，从顶棚的。处看E 处的仰角a=1 8 3 0 ,竖直的立杆上C、。两点间的距离为4?，E 处到观众区底端A处的水平距离AF 为 3?.求：(1)观众区的水平宽度A&(2)顶棚的E 处离地面的高度EF.(si n l 8 3 0 *0.3 2,ta n/8 3 0 =0.3 3,结果精确到0.1/n)【分析】(1)根据坡度的
38、概念计算；(2)作CM J_ E尸于M,DNL EF于 N,根据正切的定义求出E M结合图形计算即可.【解析】(1),观众区A C的坡度，为1：2,顶端C离水平地面A B的高度为1 0加，：.AB=2BC 20 Cm),答：观众区的水平宽度A B为2 0?；(2)作 C M L E F 于 M,D N 1 E F 于 N,则四边形M FBC、M C DN为矩形,：.MF=BC 0,M N=C D=4,D N=M C=B F=2 3,F N在 R tEN Q 中，ta n NEDN=R则 E N=D N ta n NEDNF.5 9,：.E F=E N+MN+MF=1.5 9+4+1 02 1.
39、6 (m),答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6/M.1 8.(2 01 9绍兴)如图1为放置在水平桌面/上的台灯，底座的高A B为5 a m长度均为2 0c m的连杆8 C,C D与A B始终在同一平面上.(1)转动连杆BC,C D,使N B C C成平角，N A BC=1 5 0,如 图2,求连杆端点。离桌面/的高度D E.（2）将（1）中的连杆C D再绕点C 逆时针旋转,使N 8 CD=1 6 5 ,如图3,问此时连杆端点。离桌面/的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到 O l c/n,参考数据：V 2 1.4 1,V 3 1.7 3)图2【分析】（1）如图2中，作于。.
40、解直角三角形求出0。即可解决问题.(2)作。于 F,C P L DF P,B G 1DF TG,CH_ L BG 于”.则四边形 P C G 是矩形，求出 凡再求出OF-OE 即可解决问题.【解析】（1）如图2中，作于O.图2:N O E A =N BO E=N BAE=90 ,二四边形A B O E 是矩形，：.ZO BA=90 ,:./D B O=15 0-9 0 =6 0,；.O D=孙si n 6 0 =20 b(cm),D E=O D+O E=O D+AB=2(h/3+5=3 9.6 (cm).（2）作。凡L/于 凡 CP _ L O F于 P,BG_ L D F于 G,C H 工B
41、 G 于 H.则四边形P C W G 是矩形,图3V Z CBW=6 0 ,Z CW B=9 0 ,；.N BCH=30 ,Z B C D=165 ,A Z D C P=4 5Q,.CH=BCsi n 6 0=I()V 3 (cm),O P=C)si n 4 5 =1 0V 2 (cm),：.D F=D P+P G+G F=D P+C H+A B=(1 (h/2 +1 0V 3 +5)(cm),二下降高度：D E -D F=2 0V 3+5 -1 07 2 -l(h/3-5 =IOA/3 -1 07 2 3.2 (cm).1 9.(2 01 9 连云港)如图，海上观察哨所8位于观察哨所A正北方
42、向，距离为2 5 海里.在某时刻，哨所A与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A北偏东5 3 的方向上，位于哨所B 南偏东3 7 的方向上.(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A发现走私船从C 处 以 1 6 海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 7 6 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在。处成功拦截.(结果保留根号)(参考数据:si n 3 7 =c o s5 3 c o s3 7 =si n 5 3 ta n 3 7 ta n 7 6 -4)7 6【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出N A CB=9 0 ,再 解 R t
43、Z i A BC,利用正弦函数定义得出A C即可；(2)过 点 C 作 C7 W J_ A 8 F 点M,易知，。、C、M在一条直线上.解R t/AMC,求 出CM.A M.解Rt Z A M。中，求 出。M、A D,得 出 CD.设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶C/)所用的时间等于缉私艇行驶A D所用的时间列出方程，解方程即可.【解析】(1)在ABC 中，ZACB=1800-ZB -ZBAC=180-37-53=90.在 RtZA8C 中，s in 8=6，.AC=ABsin37=2 5 x =l5 (海里).答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；(2)过点C作CM
44、_LA8于点M,由题意易知，。、C、M在一条直线上.4在 RtZVLWC 中，CM=ACsin/C A M=15x=12,3AM=ACcosNC4M=15x 1=9.在 RtZVlMO 中，tan/4M=船，/.DM=AM*tan760=9X 4=36,JAM2+DM2=V92+362=9V17,CD=DM-CM=36-12=24.设缉私艇的速度为1海里J、时，则有；274 =二9V17,16 x解得x=6 .经检验，x=6旧是原方程的解.答：当缉私艇的速度为6 g海里/小时时，恰好在。处成功拦截.20.(2020连云港)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在 水轮赋中写道：“水能
45、利物，轮乃曲成”.如图，半径为3,”的筒车。按逆时针方向每分钟转:圈，筒车与水面分别交于点A、B,筒车的轴心。距离水面的高度OC长为2 2”，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.(1)经过多长时间，盛水筒尸首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距离水面多高？(3)若 接 水 槽 所 在 直 线 是。的切线，且与直线A B交于点M,M O=S m.求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.（参考数据：c o s 4 3 =s i n 4 7 s i n 16 =c o s 7 4 55 非，s i n 2 2 =c o s 6 8
46、水面【分析】(1)如 图 1 中，连接0 4 求出/A0C的度数，以及旋转速度即可解决问题.(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4 秒后，此时乙4 O P=3.4 X 5=17 ,过点P作 P O J _ O C 于解直角三角形求出C。即可.(3)如图3中，连接0P,解直角三角形求出N P O M,Z C OM,可得/P0H的度数即可解决问题.在 R t A A C O 中，c o s N A O C=第=等=巷/.Z A O C=4 3 ,180-43-=2 7.4 （秒）.答：经过2 7.4 秒时间，盛水筒P首次到达最高点.(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4 秒后，此时N A O P=
47、3.4 X 5 =17 ,过点P 作 POJ_OC于。，1在 RtZsP。中，。=。尸 cos60=3x 1=1.5(m),2.2-1.5=0.7(M,答：浮出水面3.4秒后，盛水筒尸距离水面0.7m.(3)如图3 中,.点P 在。上，且 MN与。0 相切，当点P 在 上 时，此时点P 是切点，连接O P,贝 IJO尸，MM0D O在 RtZXOPM 中，cosNPO M=y=京：.ZPO M=6SQ,nr 9 7 11在 RtACOM 中，cosZCOM=浣=爸=若，/.ZCOM=74,：.ZPOH=SO-A POM-ZC 0M=180-68-74=38,38需要的时间为=7.6（秒），答：盛水筒。从最高点开始，至少经过7.6秒 恰 好 在 直 线 上.