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1、2 0 1 8 年江苏高考数学真题及答案数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题 第20题，共2 0题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：锥体的体
2、积V=1助，其中S是锥体的底面积，力 是锥体的高.3一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分,共计7 0分.请把答案填写在管题卡相应位置上.1.已知集合 A=0,1,2,8,B=-1,1,6,8,那么 A B=.2.若复数z满足i.z=l+2 i,其中i是虚数单位，则z的实部为.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为.8 999 011（第3题）4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ./1 1S lWhile 161+2S-2 sEnd WhilePrint S5.函数f(x)=、/lo g,x-l的定义域为6.某兴趣
3、小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为.7 .已知函数丫=如(2x+夕)膏 0,。0)的右焦点/(。,0)到一a b条渐近线的距离为由C,则其离心率的值是.2cos ,0 x2,9 .函数/(月满足/(*+4)=/3(*见，且在区间(-2,2上，/(%)=-2|x+-|,-2%0,2则/(/(1 5)的值为.10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为1 1 .若函数f(x)=2/-泼+l(aw R)在(0,物)内有且只有一个零点,则/(x)在-1,1 上的最大值与最小值的和为.1 2.在平面直角坐标系x O.y中，力为直
4、线/:y =2x上在第一象限内的点，8(5,0),以4?为直径的圆C与直线，交于另一点若赫。=0,则点4的横坐标为 .1 3.在/$1 2a,川成立的n的最小值为.二、解答题：本大题共6小题，共计9 0分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1)1 5 .(本小题满分1 4分)在平行六面体A8 8-ABC4中，M =AB,ABt J_ 8c求证：(1)A 8 平 面AgC；(2)平 面A B g A，平 面4 8 c.1 6.(本小题满分1 4分)B(第15题)已知 a,夕为锐角，tan a=,cos(a+/3)=(1)求co s2a的值；(2)求tan(a-p
5、)的值.1 7.(本小题满分1 4分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的 一 段 圆 弧(尸 为 此 圆弧的中点)和线段的 构成.已知圆。的半径为4 0米，点尸至【J的V的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚H内 的 地 块 形 状 为 要 求A,8均在线/段MV上，C,O均在圆弧上.设与助V所成的角为6.I-(1)用6分别表示矩形A f i C D和(7/)的面积，并确定 I:/si n。的取值范围；J O i (2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚H内种植乙种蔬(第1 7题)菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当，为何
6、值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.1 8.(本小题满分1 6分)如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭圆。过点(6,g),焦点耳(-6,0),工(6，。)，圆。的直径为斗尸(1)求椭圆C及圆。的方程；(/7(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点尺 _-若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；(第8题)直线/与椭圆。交于AB两点.若 0 3的面 积 为 亚，7求直线/的方程.1 9 .(本小题满分1 6分)记f(x),gXx)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在xoe R,满足f(xn)=g(M)且尸(Xo)=g (x。)，则称与为函数/(x)与g(x)的一个 S
7、点 (1)证明：函数*)=%与8(力=2+2x-2不存在 S点”；(2)若函数与g(x)=l n x 存 在“S 点”，求实数a 的值;3 .(3)已知函数f(x)=-x 2+，g(x)=-.对任意q0,判断是否存在。0,X使函数/(X)与g(x)在区间(0,+o o)内存在“S 点”，并说明理由.20.(本小题满分1 6 分)设 七 是首项为4,公差为 的等差数列，电 是首项为加 公比为q 的等比数列.(1)设q=0,伉=l,q=2,若%-，区4 对=1,2,3,4 均成立,求d 的取值范围;(2)若 q=0,M N”M(1,烟，证明：存在d wR,使得区4对 =2,3,m+1 均成立，并求
8、d 的取值范围(用4，见口表示).数学I 试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5 分，共计 70分.1.1,82.23.9 04.85.2,+8)6公.37.-1 068.29.1 0.-1 1.-3231 2.31 3.91 4.27二、解答题1 5.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)在 平 行 六 面 体 中，AB A、B.又因为BC/tBG*所以式：又因为48 A 除8,46u平面46G 6 C u平面4 6 G所 以科，平面4 8c.因为45 u平面力而M,所以平面/
9、防4,平面A.BC.1 6.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数，考查运算求解能力.满分1 4 分.解：(1)因为t an a=,t an a=亩。,所以s i n a=*co s(z .3 co s a 3因为 s i n2 a+co s2 a=1 ,所以 co s2 a=一，25因 止 匕，co s 2 z =2co s2a-l=L.25(2)因为a,/7为锐角，所以a+/7(0,兀).又因为co s(a+/7)=-*，所以s i n(a+。)=J1 一co s?(a+0)=，因此 t an(a+/?)=2.因为t an a=,所以 t an 2a=2t=一空,3
10、 l-t an-7m.LL/c、s /t an 2a-t an(a+B)2IS 止 匕,t an(cr 一 分)=t an 2a-(a+月)=-=-1+t an 2a t an(a+0)1 11 7.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分1 4 分.解：(1)连结尸。并延长交的V于，则R/L型，所 以 阱1 0.过。作0ELBC于E,则0E/MN,所以NC密0,故 密4 0 c os 0,g4 0 s in 0,则矩形被力的面积为 2 X 4 0 c o s，(4 0 s in +1 0)=8 0 0(4 s i
11、n J c o s(3的面积为X 2 X 4 0 c o s J(4 0 -4 0 s in )=1 60 0(c os 0-s in 0 c os ).2过N作GNLMN,分别交圆弧和位的延长线于G和K,则 给的M O.令NG游 ,则 s i n%=1,(0,-).4 6当2)时，才能作出满足条件的矩形4 6口，2所以s in 0的取值范围是，1）.4答：矩形力阅9 的面积为8 0 0 （4 s in c os O+c os 0）平方米，产的面积为1 60 0 （c os 0-s in 0）,则 年 总 产 值 为 4 4 X 8 0 0 （4 s in c os 9+c os 0）+34
12、X 1 60 0（c os -s in 夕 c os 夕）=8 0 0 0 A （s in Heos J+c os 9）,。-）.2设 F（e）=s in 夕 c os 夕+c os 0,。_ ）,2贝 人令r=o,得o=6当（呢，2）时，/（夕）0,所以f （。）为增函数；6当o e（2,2）时，尸（。）6 0）.又点（6）在椭圆。上，a b 2J_i 2_d所以下，解 得：，a 2-h小-=3。,b2=1,因此，椭圆。的方程为工+丁=1 .4 -因为圆。的直径为EE，所以其方程为V+丁=3.（2）设直线/与圆。相切于（%,先）。,为 。），则X0 2+为2=3,所以直线/的方程为y=-E（
13、x-x0）+%,即 丫 =-员X+-r+y =1，由4 消去y,得/3y=-X+,九%（4/2+为2次2-2 4/工 +36 4%2=0.（*）因为直线,与椭圆。有且只有一个公共点，所以 =（一24题）2 4（4/2+y02）（3 6_4 y2）=48%2（/2-2）=0.因为看,为0,所以=&,%=1.因此，点尸的坐标为（加1）.因为三角形物8的 面 积 为 亥，所以工4 3。尸=迎，从 而.=迪 7 2 7 7设 4（*1，%）,次今,为），24%土 小48%2 2-2）L 2-2（4/+方）所以=（3 _&）2 +（y _ y2）2=“+弘 48年（x；一2）%。（化 +%2尸 因为年+
14、为2=3,所以 4 8?=驾 二？=%，即 2K*-45x；+100=0,（V +D2 49解 得 年 吊 丘？。舍去），则 升 斗 因此尸的坐标为综上，直线/的方程为y=-6 v +3立.1 9.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解：(1)函数/(x)-x,g (x)=*+22,贝I/(x)=1,g(x)=2x+2.由/(X)=g (X)且 f (x)=g (x),得岂:产此方程组无解，因此，f (x)与g (x)不存在“S”点.(2)函 数/(%)=&-1 ,g(x)=l n x,1.1贝！J /(x)=lax，g
15、(x)=.x设 X o为 f (x)与 g (x)的 S 点，由 f Qxo)=g(无)且 f,(A o)=g(X o),得9 -.OXQ-1 =In X01，即2 x()=oT=l n%,(*)2ax=1得 In%o =-工，即 /=e 2,则 a=L =.2 2(标)2 2当时，x 0=e*满足方程组(*),即与为F(x)与g(x)的“S”点.因此，a的值为.2(3)对任意a0,设力(幻=/一3%2 _ 依+。.因为(0)=0,力 =l-3-a+a=-2 v O,且力(x)的图象是不间断的,所 以 存 在(0,1),使得以x 0)=O,令以,则少0.e (l-x0)be、函数 f(x)=-
16、x2+a，g(x)=，x贝Ur(x)=2x ,=由 f(x)=g(x)且 r(x)=g(x),得-x2+a=2 _ e*(l-%)x2 be-x+a=-x-2x =-p即.2x；e (x 1)e (l-x0)x2(*)此时，x。满足方程组(*),即x 0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.因此，对任意a 0,存在力0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+8)内存 在“S点”.20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分 1 6 分.解：(1)由条件知：4 =(-1)4也=2 T
17、.因为|q-2区片对后1,2,3,4均成立，即1 5-1)4一2，,区1对小1,2,3,4均成立，7 S即 M l,1 4小3,342小5,7 43小9,-d -.3 2因此，d的取值范围为耳,|.(2)由条件知：at l=bx+(n l)d,bn=bxqnx-若 存 在&使 得|2-包区(炉2,3,，研1)成立，即|4-(/?l)t/bxqnl hx(7?=2,3,+即当=2,3,2+1时，/满足-b1d -b、.rt-n-1因为q e(l,啦,则 1 0,对=2,3,m+1均成立.H-l n-因此，取户0时，区对”=2,3,，加+1均成立.下面讨论数歹U 至 上 的最大值和数歹I J 二
18、的最小值(“=2,3,2+1).n-n-当 机时，4 -2 _ 广-2=-4 -,0-+2=(4 -广,)T +2,n n-1 n(n-1)九(九 一1)当 l 0 .因此，当24 4加+1时，数列 之二马单调递增，n-1故数歹i j 近二2 的最大值为必2.n-l m设 x)=2 l-x),当 X 0 时，/-(%)=(n 2-1 -x l n 2)2A 所以/(x)单调递减，从而/(X)f(O)=1.q 1当2K L时，*=幽0 4 2：()=/(工)4,则称&,%）是 排 列 强 i”的一个逆序，排 列 工 i”的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对 1,2,3 的一个排列2 3 1,
19、只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记工(Q 为 1,2,/?的所有排列中逆序数为A的全部排列的个数.(1)求力(2),力的值；(2)求力(“25)的表达式(用表示).数学n（附加题）参考答案2 1.【选做题】A.选修41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分1 0 分.证明：连结宓 因为用 与圆。相切，所以优工产。.又 因 为陷26，00=2,所以 OP=dPC+OC?=4.又因为吩2,从而6为R t a 7斜边的中点，所 以 止 2.B.选修42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.满分 1
20、0 分.解：（1）因为 A=2 det（A）=2 x2-l x3=l *0,所以/可逆，从而*=/2 -3-.-1 2（2）设/（x,力，则E:巴=用,所 以 卜 =4书3 ,因此，点尸的坐标为（3,-1）.C.选修4一4：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分1 0 分.解：因为曲线C 的极坐标方程为/?=4cos，所以曲线C 的圆心为（2,0）,直径为4的圆.因为直线/的极坐标方程为p s i n（-，）=2,则直线/过力（4,0）,倾斜角为四,所以/为直线/与圆。的一个交点.设另一个交点为6,则N如庐.连结。8,因为小为直径，从 而/侬1=巴，2
21、所以 A 8 =4 c os工=2 6.6因此，直线/被曲线。截得的弦长为2 g.D.选修4 5：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.满分1 0分.证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2 +z 2)(+22+22)N(x +2y +2z)2.因为 x +2y +2 z=6,所以炉+y 2+z?24 ,当且仅当巳=2 =三时，不等式取等号，此时X =2,y=i,Z=i,1 2 2 3 3 3所以Y+V+z Z的最小值为4.22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分1 0分.解：如图，在正三棱柱力叱45
22、 G中，设/c,4G的中点分别为。，0,则如A.OC,00doC,00、工OB,以 O B,O C,O O J为基底，建立空间直角坐标系O-xyz.因为 尻/4=2,所以 A(0,-1,0),8(6,0,0),C(0,1,0),4(0,-1,2),即6,0,2),G(0,1,2).(1)因为尸为4A的中点，所以尸(4，-3,2),从而 BP=(-与，一32),ACi=(0,2,2),故|c os（B P,A C）|=B P A Ct|-1 +4|3 V 1 0|8 P|.|A C J -后 x 2 近-20因此，异面直线征与/G所成角的余弦值为观.20(2)因为0为父的中点，所以0孝1,0),
23、因 止 匕 A Q =(三，10),A G =(0,2,2),C G =(0,0,2).设Z F (x,y,z)为平面力。G的一个法向量，则 A Q.=0,即 争+|y =o,A C,n=0,2y+2z=0.不妨取”=(石,-1,1),设直线C G与平面N Q G所成角为6,贝！J s i n 6=|c os/c C p n)|=,/|C C,|n|V 5x 2 5所以直线CC与平面AQQ所成角的正弦值为4 .23.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分1 0分.解：(1)记r(必c)为排列a加的逆序数，对1,2,3的所有排列，有武 1 23)=
24、0,r(1 3 2)=l,T(21 3)=1,r(23 1)=2,4 3 1 2)=2,4 3 21)=3 ,所以力(0)=1,力(1)=力=2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,力(2)=力(2)+&1)+。(0)=5.(2)对一般的 2 4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：1 2，所以(0)=1 .逆序数为1的排列只能是将排列1 2中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(l)=w-l.为计算M(2),当1,2,，的排列及其逆序数确定后，将加1添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，Z,+1(2)=4(2)+Z,(l)+4(0)=力+n.当“2 5时，rr n 2=(1)+5 2)+4+力(2)=-,因此，时，(2)=-一-2.