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1、年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！2019浙江省绍兴市中考数学真题及答案一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1（4分）5的绝对值是（）A5B5CD2（4分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为（）A12.6107B1.26108C1.26109D0.12610103（4分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）ABCD4（4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级
2、男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x160160x170170x180x180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A0.85B0.57C0.42D0.155（4分）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得170，2100，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A5B10C30D706（4分）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A1B0C3D47（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y（x+5）（x3）经变换后得到抛物线y（x+3）（x5），则这个变换可以是（）A向左平移2个单位B向右平移2
3、个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位8（4分）如图，ABC内接于O，B65，C70若BC2，则的长为（）ABC2D29（4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A先变大后变小B先变小后变大C一直变大D保持不变10（4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）ABCD二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）因式分解：x21 12（5分）不
4、等式3x24的解为 13（5分）我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将19这九个数字填入33的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图的幻方中，字母m所表示的数是 14（5分）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，PAD30，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则ADE的度数为 15（5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y（常数是0，x0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是 16（5分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E
5、，F分别为AB，AD的中点用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是 三、解答题（本大题共8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17（8分）（1）计算：4sin60+（2）0（）2（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？18（8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程当0x15
6、0时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程（2）当150x200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量19（8分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法20（8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上（1）转动连杆BC，CD，使BCD成平角，ABC1
7、50，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使BCD165，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：1.41，1.73）21（10分）在屏幕上有如下内容：如图，ABC内接于O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答（1）在屏幕内容中添加条件D30，求AD的长请你解答（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD1，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是A30，连结OC，就可以证明ACB与DCO全等参考此对话，在屏幕内容
8、中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答22（12分）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90，C135，E90，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由23（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直
9、线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长24（14分）如图，矩形ABCD中，ABa，BCb，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记kMN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE60，MPEF3PE时，求a：b的值2019年浙江省绍兴市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本
10、大题有10小题，每小题4分，共40分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1（4分）5的绝对值是（）A5B5CD【分析】根据绝对值的性质求解【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|5|5故选：A【点评】此题主要考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是02（4分）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中数字126000000用科学记数法可表示为（）A12.6107B1.26108C1.26109D0.1261010【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，
11、n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：数字126000000科学记数法可表示为1.26108元故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3（4分）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）ABCD【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案【解答】解：从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，故选：A
12、【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图4（4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：组别（cm）x160160x170170x180x180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A0.85B0.57C0.42D0.15【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15故选：D【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复
13、实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确5（4分）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得170，2100，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A5B10C30D70【分析】根据对顶角相等求出3，根据三角形内角和定理计算，得到答案【解答】解：32100，木条a，b所在直线所夹的锐角1801007010，故选：B【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180是解题的关键6（4分）若三点（
14、1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A1B0C3D4【分析】利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a，10）代入解析式即可；【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为ykx+b，y3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a3；故选：C【点评】本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键7（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y（x+5）（x3）经变换后得到抛物线y（x+3）（x5），则这个变换可以是（）A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐
15、标找变换规律【解答】解：y（x+5）（x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16）y（x+3）（x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16）所以将抛物线y（x+5）（x3）向右平移2个单位长度得到抛物线y（x+3）（x5），故选：B【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减8（4分）如图，ABC内接于O，B65，C70若BC2，则的长为（）ABC2D2【分析】连接OB，OC首先证明OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题【解答】解：连接OB，OCA180ABCACB180657045，BOC90，BC2，OBOC2，的长为，故选：A【点评】本题
16、考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9（4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A先变大后变小B先变小后变大C一直变大D保持不变【分析】由BCEFCD，根据相似三角形的对应边成比例，可得CFCECDBC，即可得矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等【解答】解：正方形ABCD和矩形ECFG中，DCBFCE90，FB90，DCFECB，BCEFCD，CFCECBCD，矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等故选：D【点评】此题考查了正方形的
17、性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，由相似三角形得出比例线段是解题的关键10（4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）ABCD【分析】设DEx，则AD8x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CFBG于F，由CDEBCF的比例线段求得结果即可【解答】解：过点C作CFBG于F，如图所示：设DEx，则AD8x，根据题意得：（8x+8）33336，解得：x4，DE4，E90，由勾股定理得：CD，BCEDCF90，
18、DCEBCF，DECBFC90，CDEBCF，即，CF故选：A【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11（5分）因式分解：x21（x+1）（x1）【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（x+1）（x1）故答案为：（x+1）（x1）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键12（5分）不等式3x24的解为x2【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可【解答】解：移项得，3x4+2，合并同类项得，3x6，把
19、x的系数化为1得，x2故答案为：x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键13（5分）我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将19这九个数字填入33的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等如图的幻方中，字母m所表示的数是4【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可【解答】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，第一列第三个数为：15258，m15834故答案为：4【点评】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解
20、题的关键14（5分）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，PAD30，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则ADE的度数为15或45【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADAE，DAE90，BAM180903060，ADAB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，ADE45，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，EAEM，AEM为等边三角
21、形，EAM60，DAE36012090150，ADAE，ADE15，故答案为：15或45【点评】本题考查的是正方形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键15（5分）如图，矩形ABCD的顶点A，C都在曲线y（常数是0，x0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是yx【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式【解答】解：D（5，3），A（，3），C（5，），B（，），设直线BD的解析式为ymx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，直线BD的解
22、析式为yx故答案为yx【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk也考查了矩形的性质16（5分）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+26+2；图2的周长为1+4+1+410；图3的周长为3+5+8+2故四边形M
23、NPQ的周长是6+2或10或8+2故答案为：6+2或10或8+2【点评】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况三、解答题（本大题共8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17（8分）（1）计算：4sin60+（2）0（）2（2）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？【分析】（1）根据实数运算法则解答；（2）利用题意得到x2+14x+1，利用因式分解法解方程即可【解答】解：（1）原式4+1423；（2）x2
24、+14x+1，x24x0，x（x4）0，x10，x24【点评】考查了实数的运算，因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）18（8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程当0x150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程（2）当150x200时，求y关
25、于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；（2）设ykx+b（k0），把点（150，35），（200，10）代入，得，y0.5x+110，当x180时，y0.5180+11020，答：当150x200时，函数表达式为y0.
26、5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义19（8分）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法【分析】（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训
27、共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可【解答】解：（1）这5期的集训共有：5+7+10+14+2056（天），小聪5次测试的平均成绩是：（11.88+11.76+11.61+11.53+11.62）511.68（秒），答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；（2）从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，如图中第4期与前面两期相比；从测试成绩看，两人的最好成绩是都是在第4期出现，建议集训时间定为14天【点评】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题
28、的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答20（8分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上（1）转动连杆BC，CD，使BCD成平角，ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使BCD165，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：1.41，1.73）【分析】（1）如图2中，作BODE于O解直角三角形求出OD即可解决问题（2）作DFl于F，CPDF于P，BGDF于G，CHBG于H则四边形PCHG是矩形，求出D
29、F，再求出DFDE即可解决问题【解答】解：（1）如图2中，作BODE于OOEABOEBAE90，四边形ABOE是矩形，OBA90，DBO1509060，ODBDsin6020（cm），DFOD+OEOD+AB20+539.6（cm）（2）作DFl于F，CPDF于P，BGDF于G，CHBG于H则四边形PCHG是矩形，CBH60，CHB90，BCH30，BCD165，DCP45，CHBCsin6010（cm），DPCDsin4510（cm），DFDP+PG+GFDP+CH+AB（10+10+5）（cm），下降高度：DEDF20+51010510103.2（cm）【点评】本题考查解直角三角形的应用，
30、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题21（10分）在屏幕上有如下内容：如图，ABC内接于O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答（1）在屏幕内容中添加条件D30，求AD的长请你解答（2）以下是小明、小聪的对话：小明：我加的条件是BD1，就可以求出AD的长小聪：你这样太简单了，我加的是A30，连结OC，就可以证明ACB与DCO全等参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OCD90，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD2，然后计算OA+OD
31、即可；（2）添加DCB30，求AC的长，利用圆周角定理得到ACB90，再证明ADCB30，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长【解答】解：（1）连接OC，如图，CD为切线，OCCD，OCD90，D30，OD2OC2，ADAO+OD1+23；（2）添加DCB30，求AC的长，解：AB为直径，ACB90，ACO+OCB90，OCB+DCB90，ACODCB，ACOA，ADCB30，在RtACB中，BCAB1，ACBC【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理22（12分）有一块形状如图的五边形余
32、料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90，C135，E90，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由【分析】（1）若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CFAE于F，得出S1ABBC6530；若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EFAB交CD于F，FGAB于G，过点C作CHFG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出CHF为等腰三角形，得出AEFG6，HGBC5，BGCHFH，
33、求出BGCHFHFGHG1，AGABBG5，得出S2AEAG6530；（2）在CD上取点F，过点F作FMAB于M，FNAE于N，过点C作CGFM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出CGF为等腰三角形，得出MGBC5，BMCG，FGDG，设AMx，则BM6x，FMGM+FGGM+CGBC+BM11x，得出SAMFMx（11x）x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果【解答】解：（1）若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CFAE于F，S1ABBC6530；若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EFAB交CD于F，FGAB于G，过点C作CHFG于H，则
34、四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，C135，FCH45，CHF为等腰直角三角形，AEFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6530；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FMAB于M，FNAE于N，过点C作CGFM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，C135，FCG45，CGF为等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，FGDG，设AMx，则BM6x，FMGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAMFMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，当x5.5时，S的最大值为30.25【点评】本题考查了矩形
35、的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键23（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD30，DM10（1）在旋转过程中，当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时AD2C135，CD260，求BD2的长【分析】（1）分两种情形分别求解即可显然
36、MAD不能为直角当AMD为直角时，根据AM2AD2DM2，计算即可，当ADM90时，根据AM2AD2+DM2，计算即可（2）连接CD首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2CD1即可【解答】解：（1）AMAD+DM40，或AMADDM20显然MAD不能为直角当AMD为直角时，AM2AD2DM2302102800，AM20或（20舍弃）当ADM90时，AM2AD2+DM2302+1021000，AM10或（10舍弃）综上所述，满足条件的AM的值为20或10（2）如图2中，连接CD由题意：D1AD290，AD1AD230，AD2D145，D1D230，AD2C135，CD2D1
37、90，CD130，BACA1AD290，BACCAD2D2AD1CAD2，BAD1CAD2，ABAC，AD2AD1，BAD2CAD1（SAS），BD2CD130【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型24（14分）如图，矩形ABCD中，ABa，BCb，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记kMN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶
38、点，MPE60，MPEF3PE时，求a：b的值【分析】（1）作EHBC于H，MQCD于Q，设EF交MN于点O证明FHEMQN（ASA），即可解决问题（2）由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连接FN，ME由k3，MPEF3PE，推出3，推出2，由PNFPME，推出2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，接下来分两种情形如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合如图3中，当点N与C重合，分别求解即可【解答】解：（1）如图1中，作EHBC于H，MQCD于Q，设EF交
39、MN于点O四边形ABCD是正方形，FHAB，MQBC，ABCB，EHMQ，EFMN，EON90，ECN90，MNQ+CEO180，FEH+CEO180FEHMNQ，EHFMQN90，FHEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，FPNEPM，PNFPME，2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合作FHBD于HMPEFPH60，PH2m，FH2m，DH10m，如图3中，当点N与C重合，作EHMN于H则PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，综上所述，a：b的值为或【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题