《2023届湖南省长沙市第一中学高三模拟考试（一）数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届湖南省长沙市第一中学高三模拟考试（一）数学试题含答案.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、长沙市一中长沙市一中 2023 模拟试卷（一）数学模拟试卷（一）数学一一 单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.1.已知集合2R4,39xAxxBx，则（）A.ABBB.AB RC.ABAD.ABA【答案】C【解析】【分析】求出集合,A B，再由交集和并集的定义即可得出答案.【详解】因为2R422,392xAxxxxBxx x，所以ABA，ABB.故选：C.2.设2iR,iaaz，则“1a”是“5z”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分
2、条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】由题意得22i2iiaza，所以222(2)4zaa，因为5z，所以245a，解得1a 或1a ，故“1a”是“5z”的充分不必要条件.故选：A3.天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展10 世纪的科学家比鲁尼的著作马苏德规律一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形 ABCD 测得一座山的高GTh（如图），再于山顶 T 处悬一直径为 SP 且可以转动的圆环（如图），从山顶 T 处观测地平线上的一点 I，
3、测得OTI由此可以算得地球的半径r（）A.sin1 sinhB.cos1 sinhC.sin1 coshD.cos1 cosh【答案】A【解析】【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.【详解】由图可知，OITI,故sinOIrOTrh，解得sin1 sinhr，故选：A4.已知函数()f x的局部图象如图所示，则()f x的解析式可以是（）A.1()sin2xf xexB.1|()cos2xf xexC.()ln|sin2f xxxD.()ln|cos2f xxx【答案】D【解析】【分析】利用排除法，根据奇偶性和 f x在0,1x时的函数值正负可排除.【详解】由图可得 f x
4、的图象关于y轴对称，即 f x为偶函数，其中 A 选项，11()sinsin22xxfxexexf x ，故 f x为奇函数，与图象不符，故排除 A；C 选项，()ln|sinln|sin22fxxxxxf x ，故 f x为奇函数，与图象不符，故排除 C；B 选项，当0,1x时，10 xe，cos02x，则 0f x，与图象不符，故排除 B.故选：D.5.已知3sincos65，则cos 23（）A.725B.725C.2425D.2425【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换公式求解.【详解】313sincossincoscos,6225所以313sincos225，所以3sin,65
5、297cos 2cos212sin12,3662525 故选:B.6.已知函数 sin(12)6f xx，若存在12,Rx x，当122xx时，120f xf x，则函数 f x的最小正周期为（）A.23B.43C.2D.4【答案】B【解析】【分析】由题意可得出22Tk，结合12，可得32，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案.【详解】因为存在12,Rx x，当122xx时，120f xf x，所以2,Z2Tkkk，即,Z2kk，又因为12，则3k，所以32，所以函数 f x的最小正周期为：24332T，故选：B.7.设,A B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且2OA .若存在,Rm
6、 n，使得mABOA 与nABOB 垂直，且 2mABOAnABOB ，则AB 的最小值为（）A.1B.3C.2D.2 3【答案】D【解析】【分析】构造向量，利用向量垂直和 2mABOAnABOB ，结合基本不等式得出a b的最大值 2，结合图形可得答案.【详解】如图，,A B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且2OA ，由题意得：ABOBOA ，令1aOAmABOAm OAmOB ，则,A A B三点共线,1bOBnABOBn OBnOA ，则,B A B三点共线,故有,A A B B共线，由题意mABOA 与nABOB 垂直，2mABOAnABOB ，知OAOBuuu ruuu r，且
7、2abB A 为定值，在A OB中，224|2aba b，当且仅当ab时，a b取最大值 2，此时A OB面积最大，则O到AB的距离最远，而2OA ，故当且仅当ab，即,A B关于y轴对称时，AB 最小，此时O到AB的距离为112B A ，所以222132AB，故2 3AB ，即AB 的最小值为2 3.故选：D.8.如图，已知锐二面角l 的大小为1，A，B，Ml，Nl，AMl，BNl，C，D 为 AB，MN 的中点，若AMMNBN，记 AN，CD 与半平面所成角分别为2，3，则（）A.122，132B.122，132C.122，132D.122，132【答案】A【解析】【分析】根据面面角的定义
8、求得1AMG，根据线面角的定义找到2ANH，3FMG，通过比较12,的正弦值比较两角的大小，接着根据12,2的范围判断12,2的大小，根据线段长度的大小关系求得13,2的大小关系.【详解】分别过点M和点B作BN，MN的平行线相交于点G，因为BNl，所以MGl,所以1AMG，过A点作AHMG，连接NH，所以2ANH，取31,2，AMMNAH,22sin2AHAN,此时1222；排除 CD.取线段AG中点为点F，又 C，D 为 AB，MN 的中点，所以CF与DM平行且相等，所以/CDMF，所以 CD 与半平面所成角为3FMG，显然31，又因为AMMG，所以132；排除 B.故选：A.【点睛】(1)
9、求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角二二 多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9.
10、在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为 2，众数为 3；乙地：平均数为 2，方差为 3；丙地：平均数为 3，极差为 5；丁地：平均数为 5，众数为 6则一定没有发生大规模群体感染的是（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】BC【解析】【分析】A.举例判断；B.假设出现一次大于 7，设108x，利用方差运算判断；C.假设出现了 8 人，则一定有出现 3 人情况判断；D.举例判断.【详解】对于甲地，如 0，0，1，1，1
11、，3，3，3，3，8，故错误；对于乙地，若出现一次大于 7，设108x，则22222129101222210Sxxxx，222129122236310 xxx，矛盾，故正确；对于丙地，若出现了 8 人，则一定有出现 3 人情况，这样平均数就不可能是 3，丙地不可能有超过 7 人的情况，故正确对于丁地，无法判断是否有超过 7 人的情况，如 2，2，3，5，6，6，6，6，6，8，平均数为 5，众数为 6，故错误；故选：BC10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线2222:10,0 xyCabab的离心率为52，且双曲线 C 的左焦点在直线50 xy上，A，B 分别是双曲线 C 的左，右顶点
12、，点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为1k，2k，则下列说法正确的是（）A.双曲线 C 的渐近线方程为2yx B.双曲线 C 的方程为2214xyC.12k k为定值14D.存在点 P，使得121kk【答案】BC【解析】【分析】【详解】因为双曲线 C 的左焦点(,0)c在直线50 xy上，所以5c，又离心率为52cea，所以2a，故2221bca，所以双曲线方程为2214xy，故双曲线的渐近线方程为20 xy，故 A 错误；B 正确；由题意可得(2,0),(2,0)AB，设 P(m,n)，可得2214mn，即有22144nm，所以212212244nn
13、nk kmmm，故 C 正确；因为点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0kk，则121212212kkkk，当且仅当12kk时，等号成立，由 A，B 为左右顶点，可得12kk，所以121kk，故 D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，直线的斜率，属于中档题.11.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，12,O O为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则下列各选项正确的是（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF的体积的取值范围为320,3C.平面DEF截得球的
14、截面面积最小值为45D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PEPF的取值范围为22 5,4 3【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断 A；利用12CDEFE OCDVV建立函数关系判断B；求出球心 O 到平面 DEF 距离的最大值判断 C；令点 P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为 Q，设QFE，利用勾股定理建立函数关系，求出值域可判断 D.【详解】对于 A，球的体积为343233rV，圆柱的体积2(2)16Vrr，则球与圆柱的体积之比为2:3，A 正确；对于 B，设d为点E到平面BCD的距离，0dr，而平面BCD经过线段EF的中点1O，四面体 CDE
15、F 的体积11221163224 433233C DEFE O DCO DCdVVSdd ，所以四面体CDEF的体积的取值范围为320,3，B 正确；对于 C，过O作1OHDO于H，如图，而122OODO，则21211sinDOOHDOOOODO，又221(2)2 5DOrr，于是25OH，设截面圆的半径为1r，球心O到平面DEF的距离为1d，则125d，又222111444455rrdd，则平面 DEF 截球的截面圆面积21165Sr，C 错误；对于 D，令经过点 P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为 Q，连接,QE QF，当Q与,E F都不重合时，设QFE，则4cos,4sinQFQE，当
16、Q与,E F之一重合时，上式也成立，因此4cos,4sinQFQE，0,)2，则2222222(14sin14cos)PEPFPQQEPQQF，令2214sin14cost，则2262 54sin 2t，而02，即0sin21，因此262 512t，解得152 3t，所以PEPF的取值范围为22 5,4 3，D 正确.故选：ABD.12.定义：对于定义在区间I上的函数 f x和正数01，若存在正数M，使得不等式1212fxfxM xx对任意12,x xI恒成立，则称函数 f x在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A.函数 f xx在1,上满足12阶李普希兹条件.B.若函数 ln
17、fxxx在1,e上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为 2.C.若函数 f x在,a b上满足01Mkk的一阶李普希兹条件，且方程 f xx在区间,a b上有解0 x，则0 x是方程 f xx在区间,a b上的唯一解.D.若函数 f x在0,1上满足1M 的一阶李普希兹条件，且 01ff，则存在满足条件的函数 f x，存在12,0,1x x，使得1223fxfx.【答案】ABC【解析】【分析】根据李普希兹条件的概念直接可以判断 AB 选项，再利用反证法判断 C 选项，通过分类讨论可判断 D 选项.【详解】A 选项：不妨设12xx，1212f xf xxx，即 12121211122212121
18、f xf xxxxxxxxxxx，故1M，对12,1,x x，均有121212f xf xM xx，A 选项正确；B 选项：不妨设12xx，lnf xxx在1,e单调递增，1212f xf xf xf x，1212f xf xM xx，即 1212f xf xM xx，即 1122f xMxf xMx对12xx，12,1,ex x 恒成立，即 f xMx在1,e上单调递减，0fxM对1,ex 恒成立，所以1 lnMx 对1,ex 恒成立，即2M，即M的最小值为2，B 选项正确；C 选项：假设方程 f xx在区间,a b上有两个解0 x，t，则 000f xf tk xtxt，这与 00ttf
19、xfx矛盾，故只有唯一解，C 选项正确；D 选项：不妨设12xx，当1212xx时，121212f xf xxx，当1212xx时，1212121212110101012f xf xf xfff xf xff xfxxxx ，故对12,0,1x x，1212f xf x，不存在12,x x使1223fxfx，D 选项错误；故选：ABC.三三 填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知圆22:(4)16Mxy，过点2,0N的直线l与圆M交于,A B两点，D是AB的中点，则D点的轨迹方程为_.【答案】2231xy【解析】【分析】由圆的垂径
20、定理可得MDDN，结合向量垂直的条件：数量积为 0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.【详解】圆22:(4)16Mxy，所以圆心为4,0M，半径为 4，设,D x y，由线段 AB 的中点为 D，可得MDDN，即有(4,)(2,)420MD NDxyxyxxy y ，即2231xy，所以点D的轨迹是以3,0为圆心，1 为半径的圆；故答案为：2231xy.14.“以直代曲”是微积分中最基本最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线lnyx在点1,0处的切线方程为_，利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算20e所得结果为_（结果用分数表示）.【答案】.1yx.2
21、120【解析】【分析】求出导函数得切线斜率，由点斜式得切线方程，由题意知ln1xx，则2020lnee1，即2021e20，即可得出答案【详解】由已知lnyx，1yx，所以在点1,0处的切线斜率为1k，则在点1,0处的切线方程为1yx，由题意知，ln1xx，所以2020lnee1，即112020lnee1，所以112020121elne112020 ，即2021e20.故答案为：1yx；212015.已知12,F F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，20AB AF ，且212AFABAF .若坐标原点O到直线AB的距离为 3，则椭圆C的标准方程为_
22、.【答案】2211612xy【解析】【分析】由题设可得2ac，直线AB的方程为330bxcybc，点线距离公式表示O到直线AB的距离，又222abc联立解得22,a b即可得出答案.【详解】由20AB AF 可得290BAF，由212AFABAF 可得112BFFF，则12AFF是等边三角形，设122F Fc，则2ac，直线AB的方程为13xycb，即330bxcybc，O到直线AB的距离为22339bcbc，又222abc，联立，解得216a，212b，故椭圆C方程为2211612xy.故答案为：2211612xy16.已知实数a，b，c满足1eeln3a ccbab，（其中e为自然对数的底
23、数），则abc 的最小值是_.【答案】2ln2#ln4【解析】【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出,a b c的关系，再利用导数求出函数的最值作答.【详解】1ln1eeln3eeln3a cca cb cbabab ，令函数()e1xf xx，求导得()e1xfx，当0 x 时，()0fx，当0 x 时，()0fx，因此函数()f x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，则()(0)0f xf，即Rx，e1xx，于是ln1e1,eln1 1a cb cacbc ，即ln1eeln3a cb cab，当且仅当0,ln10acbc，即1,ecac b 时取等号，依题意，1
24、,ecac b，1e2cabcc，令1e(2)xxg x，求导得1e2()xg x，当1 ln2x 时，()0g x，当1ln2x 时，()0g x，从而函数()g x在(,1ln2)上单调递减，在(1ln2,)上单调递增，min()(1ln2)2ln2g xg，所以abc 的最小值是2ln2.故答案为：2ln2.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.在数列 na
25、中，11a ，*12362,Nnnaannn.（1）求证：数列3nan为等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设nnban，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析；23nnan；（2）122(1)nn n【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，由等比数列的通项公式化简，可得数列 na的通项公式；（2）由分组求和法化简求解即可【小问 1 详解】*12362,Nnnaannn，当2n时，11111333263133332233nnnnnnanananannnana，数列3nan是首项为132a，公比为2的等比数列，32nnan，23nnan；【小问 2 详解】2322nnn
26、nnbanannn数列 nb的前n项和 12312.222426.22nnnTbbbn1212 1 22222.2246.222(1)1 22nnnnnnn n18.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足1tan12tanaCbB.（1）求C的大小；（2）若ABC的面积为10 3，且2CDDA ，求BD的最小值.【答案】（1）3C（2）4 153【解析】【分析】（1）由正弦定理、同角三角函数的商数关系和两角和正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由三角函数的面积关系可得40ab，由2CDDA ，得23CDb，再由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【小问 1 详解】因为
27、1tan12tanaCbB，利用正弦定理得：sinsin1 sincos1sin2cos sin2cos sinBCACBBCBCB，由于ACB，所以sinsinBCA，即sinsinsin2cos sinAABCB，即2sincos sinsinsinACBAB，由0,sin0,0,sin022AABB，故1cos,02CC且2C，故3C.【小问 2 详解】由于ABC的面积为10 3，所以113sin10 3222abCab，解得：40ab，由2CDDA ，得23CDb，在BCD中，由余弦定理得：222224242222802cos293933333BDababCababababab，故4
28、153BD，当且仅当2,3ab即4 15,2 153ab，BD的最小值为4 153.19.如图 1，四边形ABCD为直角梯形，/ADBC，ADAB，60BCD，2 3AB，3BC，E为线段CD上一点，满足BCCE，F为BE的中点，现将梯形沿BE折叠（如图 2），使平面BCE 平面ABED.（1）求证：平面ACE 平面BCE；（2）能否在线段AB上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P是线段AB的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34.【解析】【分析】（1）在直角梯形
29、ABCD中，根据3BEBC，60BCD，得BCE为等边三角形，再由余弦定理求得AE，满足222AEBEAB，得到AEBE，再根据平面BCE 平面ABED，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34，且APABuuu ruuu r，0,1，求得平面PCF的一个法向量，再利用线面角公式223342 33 2141cos,CA n 求解.【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，3BEBC，60BCD，因此BCE为等边三角形，从而3BE，又2 3AB，由余弦定理得：21292 2 33cos303AE ，222AEBEAB，
30、即AEBE，且折叠后AE与BE位置关系不变，又平面BCE 平面ABED，且平面BCE 平面ABEDBE.AE平面BCE，AE 平面ACE，平面ACE 平面BCE.（2）BCE为等边三角形，F为BE的中点，CFBE，又平面BCE 平面ABED，且平面BCE 平面ABEDBE，CF 平面ABED，取AB的中点G，连结FG，则/FGAE，从而FGBE，以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,02A，3 30,0,2C，则33 33,22CA，假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34，且APABuuu ruuu r，0,1，30,02B，3,3,0AB ，故3,3,
31、0AP ，33 33 1,21,22CPCAAP ，又3 30,0,2FC，该平面PCF的法向量为,nx y z，33 33 121002203 302xyzn CPn FCz ，令21y得3 21,21,0n，223342 33 2141cos,CA n ，解得12或76（舍），综上可知，存在点P是线段AB的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上.已知以F为圆心，()FA FAp为半径的圆F
32、交l于,P Q两点，若90,PFQAPQ的面积为2.（1）求p的值；（2）过点A的直线m交抛物线C于点B（异于点A），交x轴于点M，过点B作直线m的垂线交拋物线C于点D，若点A的横坐标为正实数t，直线DM和抛物线C相切于点D，求正实数t的取值范围.【答案】（1）1p（2）4,3【解析】【分析】（1）根据题意，可得 FS=PS=QS=p，再设 A 到准线 l 的距离为 d，即可求得 d=FA=FQ=2p，进而通过面积即可求解.(2)设2221212,222xxtA tB xD x,因为ABBD,所以2114xxxt,求直线 m 的方程得11Mxtxxt，由切线 DM,令0y，得22Mxx，综上，
33、即可求解.【小问 1 详解】设准线 l 与 y 轴交于 S,因为90PFQ,由对称性可知:FS=PS=QS=p,设 A 到准线 l 的距离为 d,则 d=FA=FQ=2p，1122222APQSPQ dpp，解得：1p.【小问 2 详解】由（1）设2221212,222xxtA tB xD x，从而2222121121,22xtxxABxtBDxxuuu ruuu r因为ABBD,所以2222121121.04xtxxAB BDxtxxuuu r uuu r又121,xt xx，所以12104xtxx，又10 xt，得2114xxxt，221111122ABxtkxtxt，所以直线 m 的方程
34、为21122tyxtxt，令0y，得11Mxtxxt，由直线 DM 与抛物线 C 相切于点 D,则切线方程为22222xyxxx由切线过点 M,令0y，得22Mxx，由得111124xtxxtxt，即211340 xtx，又存在1x满足上式,则23160t，又0t，则43t，又221|12222ttFAp，得1t.综上,正实数 t 的取值范围为4,321.国球是指在一个国家内广泛开展，并在国际上居于领先地位的球类运动，中国的国球是乒乓球，乒乓球起源于英国的 19 世纪末.长沙市某社区为了丰富社区老人的退休生活，每年的重阳节定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该社区的李大爷和张大爷进入决赛争
35、夺冠军，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并赢得冠军.根据以往李大爷和张大爷的比赛胜负数据分析，李大爷和张大爷实力相当，每局获胜的可能性相同，每局比赛相互独立.（1）求张大爷获得乒乓球比赛冠军的概率；（2）冠亚军决赛结束后，社区组委会决定进行趣味性和观赏性极强的“花式乒乓球”对抗赛，“花式乒乓球”对抗赛由刘大爷和周大爷进行比赛，比赛采用三局两胜制，即选手率先获得两局胜利时，比赛结束并赢得冠军.刘大爷和周大爷在一局比赛获胜的概率分别为2 1,3 3，且每局比赛相互独立.比赛开始前，工作人员拿来两盒新球，分别为“装有 2 个白球与 1 个黄球”的白盒与“装有 1 个白球与 2
36、个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丟弃，裁判按照如下规则取球：每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球，记两位大爷决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析；4727E；【解析】【分析】（1）张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为3,4,5，求出其对应的概率，由分类加法计数原理即可得出答案.（2）求出随机变量的可能取值及其对应概率，由数学期望公式求解即可得出答案；【小问 1 详解】记张大爷获得乒乓球比赛冠军共进行的局数为随机变量，则的可能取值为3,4,
37、5，记事件A：“张大爷获得乒乓球比赛冠军”，则 345P APPP3222223411111111CC22222222.【小问 2 详解】设刘大爷和周大爷“花式兵兵球”对抗赛进行了X局比赛，易知2X 或3X，则222152339P X，故43129P XP X，记iW表示第i局从白盒中抽取的白色球.iW表示第i局从白盒中抽取的黄色球，iX表示第i局从黄盒中抽取的黄色球，iX表示第i局从黄盒中抽取的白色球，随机变量的所有可能取值为1,2,3；12123123123123PP XP WWP XP WW WP WW XP W X W5214212111111932932323338513，12121
38、23123223PP XP WWP W XP XP WW XP W X X521114212121329323393233328112123323PP XP W XP XP W X X5 124 121149 339 33281，则的分布列为：123P358132811481 3532144712381818127E 22.已知函数 11eln4xf xax x a.（参考数据，e2.718,ln20.693）（1）证明：11 lnf xax；（2）若 32f xx，求实数a的取值的集合.【答案】（1）见解析（2）1a【解析】【分析】（1）设 1 lnxf xax，对 x求导，得到 x的单调性
39、，证明 max1x即可证明 11 lnf xax；（2）设 23g xf xx，对 g x求导，讨论1a，1a 和114a时，max0g x是否成立，即可求出实数a的取值的集合.【小问 1 详解】设 11 lneln1 lnxxf xaxaxxax，则 11，11eln1xaxaxx，设 11eln1xau xxaxx，则 2 12e11xxa xuxx，设 2 1e1xv xx，212exv xxx，当02x时，0v x，函数 v x单调递增，当2x 时，0v x，函数 v x单调递减，所以当0 x 时，421ev xv，因为当01x，10v xv且14a，此时 2 12e110 xxa x
40、uxx，当1x 时，221112e24v xvax，此时也有 0ux，所以当0 x 时，xu x单调递减，当01x时，10 xu xu，x单调递增，当1x 时，10 xu xu，x单调递减，所以当14a 时，11x，所以 11 lnf xax，故原不等式得证.【小问 2 详解】设 123eln23xg xf xxaxxx，则 10g，1eln12xgxax，令 110ga，可得1a，令 12eln1xh xax，其中0 x，1111eexxaxh xaxx，令 1exxp xa，其中0 x，则 11exxp x，当01x时，0p x，此时函数 p x单调递增，当1x 时，0p x，此时函数 p
41、 x单调递减，所以 max11p xpa，当1a 时，10p xp，则 10h xp xx，且 h x不恒为 0，所以函数 gx在区间0,上单调递减，所以当01x时，10gxg，则 g x单调递增，当1x 时，10gxg，则 g x单调递减.所以 10g xg，即 32f xx.当1a 时，110p xpa，则 10h xp xx，所以函数 gx在区间0,上单调递减，因为 11e1110,2e0egag，此时存在11,1ex，使得10gx，且当 1,1,0 xxgx，g x单调递减，所以 110g xg，不合题意；当114a时，max110p xpa，因为ln1 ln1 ln1,1 lnln0
42、eaaapaaaa，由于函数 p x在区间1,上单调递减，故存在21 lnxa，使得当21,xx时，0p x，此时，10h xp xx，则函数 gx在区间21,x上单调递增，故当21,xx时，110gxga，g x单调递增，所以 210g xg，不满足题意.综上所述，若 32f xx，则 1a.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.