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1、九年级上册九年级上册数数学知识点总结归纳学知识点总结归纳第二十一章第二十二章第二十三章第二十四章第二十五章1一元二次方程二次函数旋转圆概率初步第二十一章第二十一章一元二次方程一元二次方程知识点知识点 1 1：一元二次方程的概念：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax bx+c=0(a0）。注意：注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。2知识点知识点 2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）=b（b0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次
2、方程的方法。X+a=2bx1=-a+bx2=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：axbx+c=0(k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将2常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）=b 的形式；如果 b0 就可以用两边开平方来求2出方程的解；如果 b0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左右，上下”方法二：y ax
3、bx c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y ax bx c变成22y ax2bx c m（或y ax2bx c m）y ax bx c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y ax bx c变成22y a(x m)2b(x m)c（或y a(x m)2b(x m)c）四、二次函数y ax h k与y ax2bx c的比较2从解析式上看，y ax h k与y ax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前2b 4ac b2b4acb2者，即y ax，其中h ，k 2a4a2a4a2五、二次函数y ax2bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c化为顶点式y
4、a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c、与x轴的交点x1，0（若与x轴c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，0，x2，的交点0，没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2bxc的性质b4ac b2b1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为，2a4a2a当x bbb时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最小2a2a2a4acb2值4ab4ac b2bb2.当a 0时，
5、抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点坐标为，时，y随当x 2a4a2a2a4acb2bbx的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y有最大值4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2bx c（a，b，c为常数，a 0）；2.顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0）；3.两根式（两点式）：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式
6、的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a 0 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，当b 0时，当b 0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a
7、 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，当b 0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴x “左同右异”总结：3.常数项cb在y轴左边则ab 0，在y轴的右侧则ab 0，概括的说就是2a 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了
8、抛物线与y轴交点的位置总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析
9、式是y ax2bx c；y ax h k关于x轴对称后，得到的解析式是y ax hk；222.关于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h k关于y轴对称后，得到的解析式是y ax h k；223.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c；y ax h k关于原点对称后，得到的解析式是y ax hk；224.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）b2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y ax h k关于顶点对称后，得到的解析式是y ax h k22n对称5.关于点m
10、，y ax h k关于点m，n对称后，得到的解析式是y ax h 2m 2nk22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c 0是二次函数y ax2bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：0，Bx2，0(x1
11、x2)，其中的x1，x2是一元二次 当 b24ac 0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24ac方程ax bx c 0a 0的两根这两点间的距离AB x2 x1.a2 当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 02.抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判
12、断二次函数y ax2bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根 0 0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的
13、值恒为正一元二次方程无实数根.图像参考：y=2x2y=x2y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2y=2 x2+2y=3 x2y=3(x-2)2y=3(x+4)2y=2 x2y=2 x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m 2)x m m 2的图像经过原点，则m的值是222 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同
14、一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx bx 1的图像大致是（）2 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0-1 x A B C D3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3已知抛物线y ax2bx c（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的
15、纵坐标是2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1（1）二次函数y ax2bx c的图像如图 1，则点M(b,)在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个ca (1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，
16、c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方 下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1 个 B.2 个 C.3 个 D4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax+bx+c 的对称轴是直线22x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)例 4、如图（单位：m），等腰三角形ABC 以 2 米/秒的速度沿直线
17、 L 向正方形移动，直到AB 与 CD 重合设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=125x+x-22（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系B(x2,0)两点(x1x2)，例 6.已知：二次函数 y=ax-(b+1)x-3a 的图象经
18、过点 P(4，10)，交 x 轴于A(x1,0)，2交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由例 7、“已知函数y 12，x bx c的图象经过点 A（c，2）2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的
19、条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。用二次函数解决最值问题例 1某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量
20、 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 2.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的
21、手间距为4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶 已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章第二十三章旋转旋转一、旋转一、旋转 1、定义把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。二、中心对称二、中心对称 1、定义把一个图形绕着某一个点旋转 18
22、0，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特征（3 分）1、关于原点对称的点的特征两个点
23、关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于 x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点P（x，y）关于x 轴的对称点为P（x，-y）3、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于 y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P（x，y）关于 y 轴的对称点为P（-x，y）第二十四章第二十四章圆圆一、知识回顾一、知识回顾圆的周长圆的周长：C=2r 或 C=d、圆的面积、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：圆环面积计算方法：S=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知
24、识要点二、知识要点一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这
25、条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点C在圆内；2、点在圆上d r点B在圆上；3、点在圆外d r点A在圆外；三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；ArBdCdOrdd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d Rr；外切（图 2）有一个交点d Rr；相交（图 3）有两个交点Rr d Rr；内切（图 4）有一个交点d Rr；
26、内含（图 5）无交点d Rr；dR图1rRdr图2dR图3rd五、垂径定理五、垂径定理图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3个结论，即：AB是直径AB CDCE DE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
27、。即：在O中，ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOB DOE；AB DE；OC OF；弧BA弧BD七、圆周角定理七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角AOB 2ACB2、圆
28、周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角C DBOADCBOACACBODEFCOADOBCBED推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O中，AB是直径或C 90C 90AB是直径BOAC推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中，OC OAOBABC是直角三角形或C 90BOCA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接
29、四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形C BAD 180BD 180DAE C九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN OA且MN过半径OA外端MN是O的切线OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理
30、十、切线长定理MAN切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PA PBPO平分BPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PAPB PCPDCBOPADOPAB（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB CD，CE AEBE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线PA
31、PCPB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPB PDPE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。即：O1、O2相交于A、B两点O1O2垂直平分ABO1BAO222CBOEDA与 圆 交ADPCOBE十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；（2）外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。十四、圆内正多边形
32、的计算十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OBBOADACO2BO1COD:BD:OB 1:3:2；（2）正四边形DAC同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA 1:3:2.EOBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：l nR；1802OSAnR1lR（2）扇形面积公式：S 3602n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：2、圆柱：（1）A 圆柱侧面展开图2S表 S侧
33、2S底=2rh2rlB扇形面积ADD1母线长B底面圆周长CB1C1B 圆柱的体积：V r h（2）A 圆锥侧面展开图2S表 S侧 S底=Rr r2B 圆锥的体积：V O12r h3CrRAB第二十五章第二十五章概率初步概率初步一、一、概率的概念某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.3、概
34、率的计算一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件 A 包含其中的 m中结果，那么事件 A 发生的概率为（1）列表法求概率当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。（2）树状图法求概率当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。4、利用频率估计概率利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。