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1、高等数学第一章第一章函数与极限函数与极限第一节第一节函数函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（）Ua,x|xa 无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为无穷大，则f1x为无穷小；反之，若fx为无则limfxgx 0Ua,x|0 xa xx为无穷大題型計算：lim fxgx（或x ）xx穷小，且fx 0，则f01第二节第二节数列的极限数列的极限数列极限的证明（）題型已知数列xn，证明limxn a证明 N语言1由xna 化簡得n g，N g2即对 0，N g，当n N时，始终有不等式xna 成立
2、，limxn ax1fxM函数fx在x x0的任一去心邻域Ux0,内是有界的；（fxM，函数fx在xD上有界；）2lim gx 0即函数gx是x x0时的无穷小；（limgx 0即函数gx是x 时的无穷小；）xxx03由定理可知lim fxgx 0 xx0（limfxgx 0）x第三节第三节函数的极限函数的极限x x0时函数极限的证明（）題型已知函数fx，证明lim fx Axx0第五节第五节极限运算法则极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px、qx商式的极限运算mm1px a0 x a1x am设：nn1qx b0 x b1xbnn mpxa0则有
3、limn mxqxb0n m0 fx0gx0 0g x0fxlimgx0 0,fx0 0 xx0gx0gx0 fx0 00fx0（特别地，当lim（不定型）时，通常分xx0gx0证明语言1由fx A 化簡得0 xx0 g，g2即对 0，g，当0 x x0时，始终有不等式fx A 成立，lim fx Axx0 x 时函数极限的证明（）題型已知函数fx，证明lim fx Ax证明 X语言1由fx A 化簡得x g，X g2即对 0，X g，当x X时，始终有不等式fx A 成立，lim fx Ax第四节第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数fx无穷小lim fx 0函数fx
4、无穷大lim fx 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）題型求值limx3x32x 9高等数学期末复习资料第1页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第1页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第1页求解示例解：因為x 3，从而可得x 3，所以原式 limx3x3x311 lim lim2x3x3x 9x36x3x3 2x3解：limx2x1x1 2x12 limx2x12x12x122x1x12 lim12x12x12x1x3其中x 3为函数fx2的可去间断点x 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：2 lim12x12x12x12x122
5、 lim12x12x1x12limx12x12x1x1x3x311lim lim解：lim2x3x 9L x3x32x6x29连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那么，lim f x flimxxx0 xx0題型求值：lim求解示例limx3002lim12x12x1 e2x12x122x12x1lim2 e 2x2lim2x1 e1 ex3x3x29第七节第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1U)1Ue 12U 1cosU（乘除可替，加减不行）
6、ln1 x xln1 x題型求值：lim2x0 x 3x求解示例ln1 x xln1 x解：因为x 0,即x 0,所以原式 limx0 x23x1 xln1 x lim1 x x limx 11 limx0 x0 xx 3x0 x 3xx 33第八节第八节函数的连续性函数的连续性函数连续的定义（）xx0 x3x316limx3x29x2966122第六节第六节极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：limx0,sin x1x0 xsin x1，sinx x tanxlimx02xlim1x1x0lim lim1x0sin xx0sin xsin
7、 xlimx0 xxlim fx limfx fx0 xx0间断点的分类（P67）（）跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点）无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）sin(x x0)1）（特别地，limxx0 x x0单调有界收敛准则（P57）（）1第二个重要极限：lim1 exx（一般地，limfxlim fx 0）gxx lim fxlimgx，其中e2xx 0題型设函数fx，应该怎样选x 0a x择数a，使得fx成为在R上的连续函数？求解示例f0 e20 e1 e1f 0 a0 a f0 a2由连续函数定义limfx lim
8、fx f0 ex0 x02x 3題型求值：limx2x 1求解示例x1a e高等数学期末复习资料第2页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第2页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第2页第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质零点定理（）題型 证明：方程fx gxC至少有一个根介于a与b之间证明1（建立辅助函数）函数x fx gxC在闭区间a,b上连续；2ab 0（端点异号）3由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使gC 0（0 1）4这等式说明方程fx gxC在开区间a,b内至少有一个根第二章第二章导数与微分导数与微分第一节第一节导数概念导数概念高等数学中导数的定
9、义及几何意义（P83）（）得 0，即fx的导数求解示例由题可得fx为直接函数，其在定于域D題型求函数f1上单调、可导，且f x 0；f1x 1 fx复合函数的求导法则（）題型设y ln earcsin求解示例解：y 1earcsin1earcsinx21x21x21x2a2，求yx2a2 earcsinx21x a22x2a2arcsineearcsinearcsinex1x 0題型 已知函数fx，在x 0 x 0axb处可导，求a，b求解示例f0 e01 e01 20 f0 e 11，f 0 b f0 af0 e01 2ee1arcsinx21x2a21x ax212222 x a 1x 1
10、2x22xx212 x 12222 x2 x ax2122x21arcsinx21x2a2xx212 x2x2a2x第四节第四节高阶导数高阶导数fnn1n1nd ydy）（或（）xnn1dxdxxf f0 f0 a 12由函数可导定义f 0 f 0 f0b 2a 1,b 2題型求函数y ln1 x的n阶导数求解示例y 111 x，1 x題型求y fx在x a处的切线与法线方程（或：过y fx图像上点a,fa处的切线与法线方程）求解示例1y f x，y|xa f a2切线方程：y fa f axa法线方程：y fa 1xaf a12y 1 x11 x，23y 11 x121 xy (1)n1(n
11、1)！(1 x)nn第五节第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x求导）（）題型试求：方程y x e所给定的曲线C：y第二节第二节函数的和（差）函数的和（差）、积与商的求导法则、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则（）1线性组合（定理一）：(u v)uv特别地，当1时，有(u v)uv2函数积的求导法则（定理二）：(uv)uvuvy yx在点1e,1的切线方程与法线方程y求解示例由y x e两边对x求导yy即y x e化簡得y 1e yy u uvuv3函数商的求导法则（定理三）：2vv第三节第三节反函数和复合函数的求导法则反函数和复合
12、函数的求导法则反函数的求导法则（）111e11e1x 1 e1e切线方程：y 1高等数学期末复习资料第3页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第3页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第3页法线方程：y 1 1ex 1 e参数方程型函数的求导x td2y題型设参数方程，求2dxy t dy dytd2ydx求解示例1.2.2tdxtdx第六节第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节第七节函数的微分函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dy f xdx第三章第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节中值定理中值定
13、理引理（费马引理）（）罗尔定理（）題型 现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得fx 0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区1间0,上可导，并且f x；1 x2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式1ln1 xln10 x0成立，11x，又0,x，化簡得ln1 x111，ln1 x1x x，f 1x即证得：当x 1时，e ex第二节第二节罗比达法则罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A属于两大基本不定型（cos f sin0成立证明1（建立辅助函数）令x fxs
14、inx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,）且满足条件，0 fxf x则进行运算：lim limxagxxagx0,上可导；2又0 f0sin0 0 fsin0即0 03由罗尔定理知（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）B 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0型（转乘为除，构造分式）題型求值：limx ln xx0求解示例0,，使得fcos f sin0成立拉格朗日中值定理（）題型证明不等式：当x 1时，e ex证明1（建立辅助函数）令函数fxe，则对x 1，xx1lnxx解：limxln x limlim lim1x0 x01L x0 x0 x12xxx1 limx 0ax0
15、ln x（一般地，limx ln x 0，其中,R）x0显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间 型（通分构造分式，观察分母）題型求值：lim1,x上可导，并且f x ex；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式1 1x0sin xxexe1x1e成立，x11又e e，e e x1e exe，1求解示例1 1 xsin x xsin x解：lim lim limx0sin xxx0 xsin xx0 x2化簡得e ex，即证得：当x 1时，e ex題型证明不等式：当x 0时，ln1 x x证明1（建立辅助函数）令函数fx ln1 x，则对xxlimL x000 xsin xx21cosx1
16、cosxsin x limlim lim 0 x0 x02xL x02x2000型（对数求极限法）0高等数学期末复习资料第4页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第4页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第4页題型求值：limxx0 x求解示例解：设y xx,两边取对数得：ln y ln xx xln x ln x1x0000(2)(1)(3)0 10通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节第三节泰勒中值定理（不作要求）泰勒中值定理（不作要求）第四节第四节函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和
17、曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间）（）題型试确定函数fx 2x39x212x3的单调区间求解示例1函数fx在其定义域R上连续，且可导2f x 6x 18x12ln xln x对对数取x 0时的极限：limln y limlimx0 x01L x0 1 xx1limln y limx limx 0，从而有lim y limeln y ex0 e01x0 x0 x0 x012x1型（对数求极限法）題型求值：limcosxsin xx01x求解示例解：令y cosxsin x,两边取对数得ln y lncosxsin x,xlncosxsin x对ln y求x 0时的极限，limln y lim
18、x0 x0 x00lncosxsin xcosxsin x10lim lim1,从而可得L x0 x0cosxsin x10 x1xx11,x2 22 令f x 6x1x2 0，解得：3（三行表）x,110极大值1,220极小值2,f xfxlim y=limeln y ex0 x0 x0limln y e1 e0型（对数求极限法）題型求值：lim求解示例4函数fx的单调递增区间为,1,2,；单调递减区间为1,2題型证明：当x 0时，e x1证明1（构建辅助函数）设xe x1，（x 0）xx 1x0 xtanx 1 解：令y x 1,两边取对数得ln y tan xln,x 1 对ln y求x
19、 0时的极限，limln y limtan xlnx0 x0 xln x limlimx01Lx01tan xtan x02sin2xsin x02sin xcosx limlim lim 0,x0L x0 x0 xx1tanx2x e 1 0，（x 0）xx0 03既证：当x 0时，e x1題型证明：当x 0时，ln1 x x证明1（构建辅助函数）设xln1 xx，（x 0）xln x1x limx0sec2xtan2x11 0，（x 0）1 xx002x3既证：当x 0时，ln1 x x连续函数凹凸性（）題型 试讨论函数y 13x x的单调性、极值、凹凸性及拐点证明23从而可得lim y=
20、limeln y ex0 x0 x0limln y e01运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）高等数学期末复习资料第5页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第5页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第5页2y 3x 6x 3xx21y 6x6 6x1x1 0,x2 2y 3xx2 02令解得：x 1y 6x1 0求解示例1函数fx在其定义域1,3上连续，且可导f x 3x232令f x 3x1x10，解得：x1 1,x213（三行表）3（四行表）x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yy(1,3)51234函数y 13x x单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增
21、区间为(,0),(2,)；23函数y 13x x的极小值在x 0时取到，为f01，极大值在x 2时取到，为f25；函数y 13x x在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)上凸；函数y 13x x的拐点坐标为1,32323x10极小值1,110极大值1,3f xfx4又f1 2,f1 2,f3 18fxmax f1 2,fxmin f3 18第六节第六节函数图形的描绘（不作要求）函数图形的描绘（不作要求）第七节第七节曲率（不作要求）曲率（不作要求）第八节第八节方程的近似解（不作要求）方程的近似解（不作要求）第四章第四章不定积分不定积分第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的
22、概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数Fx的导函数为Fx，即当自变量xI时，有Fx fx或第五节第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数fx的定义域为D，如果xM的某个邻域UxM D，使得对xUxM，都适合不等式fx fxM，我们则称函数fx在点xM,fxM处有极大值fxM；令xMxM1,xM 2,xM3,.,xMn则函数fx在闭区间a,b上的最大值M满足：dFx fxdx成立，则称Fx为fx的一个原函数原函数存在定理：（）如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数Fx使得Fx fx，也就是说：连
23、续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项M maxfa,xM1,xM 2,xM3,.,xMn,fb；设函数fx的定义域为D，如果xm的某个邻域C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，即表示为：（fxdx FxCUxm D，使得对xUxm，都适合不等式fx fxm，我们则称函数fx在点xm,fxm处有极小值为积分表达式，x则称为积分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称fxm；令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn则函数fx在闭区间a,b上的最小值m满足：k fxk gxdx k
24、fxdxkgxdx1212第二节第二节换元积分法换元积分法第一类换元法（凑微分）（）（dy f xdx的逆向应用）m minfa,xm1,xm2,xm3,.,xmn,fb；題型求函数fx3xx在1,3上的最值3xxdx f xd xf 高等数学期末复习资料第6页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第6页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第6页題型求求解示例1解：2a x2dx 1a2 x2dx1 x 1a2第三节第三节分部积分法分部积分法分部积分法（）设函数u fx，v gx具有连续导数，则其x x 1darctanCa x aa1a2dx 1a1分部积分公式可表示为：udv uv
25、 vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法計算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（vdx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu展开尾项vdu vudx，判断a若vudx是容易求解的不定积分，则直接計算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b若vudx依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C題型求exx2dx題型求1dx2x1求解示例1111解：dx d 2x1 2x122x1
26、2 2x1d2x12x1C第二类换元法（去根式）（）（dy f xdx的正向应用）对于一次根式（a 0,bR）：t2baxb：令t axb，于是x，a则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a 0）：a2 x2：令x atant（2t 2），求解示例x22x2x2xx2解：e x dx x e dx x de x e e dxx于是t arctan，则原式可化为asect；a对于根号下平方差的形式（a 0）：aa2 x2：令x asint（x2ex2xexdx x2ex2xdex x2ex2xex2exdx x2ex2xex2exC題型求exsin xdx2t 2），x于是t arcsin，则原
27、式可化为acost；abx2a2：令x asect（0 t 2），求解示例xxxx解：e sin xdx e dcos x e cos xcos xd e excos xexcos xdx excos xexdsin x excos xexsin xsin xdexxxxx即：e sin xdx e cosxe sin xsin xdea于是t arccos，则原式可化为atant；x1dx（一次根式）題型求2x1求解示例11t 2x1解：dx 2x1x12t212ttdt dt t C 2x1Cdxtdt excos xexsin xexsin xdxe sin xdx x1xesin xc
28、osxC2題型求求解示例a2 x2dx（三角换元）22第四节第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数（）a2解：acos tdt a x dx 222xasint(t)22xtarcsinadxacostPxpx a0 xma1xm1 am设：nn1Qxqxb0 x b1x bn1cos2tdt对于有理函数a21a2t sin2tC t sintcostC222Px，当Px的次数小于Qx的QxPx是真分式；当Px的次数Qx次数时，有理函数高等数学期末复习资料第7页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第7页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第7页Px大于Qx的次数时，有理函
29、数是假分式Qx有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）第五章第五章定积分极其应用定积分极其应用第一节第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的定义（）Px将有理函数的分母Qx分拆成两个没有Qx公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式xa；而另一个多项式可以表示为2二次质因式x pxq，（p 4q 0）；2fxfxdx lima0ii1bni I（fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，xka称为积分下限，则称为积分变量，b称为积分上限，la,b称为积分区间）定积分的性质（）即：QxQ1xQ2xn n一般地：mxn mx，则参数a mmc 2b2ax bxc ax xaa
30、bc则参数p,q aaPx则设有理函数fxdx fudufxdx 0kfxdx kfxdxaaaabbbbaa（线性性质）k1fxk2gxdx k1afxdxk2agxdxa（积分区间的可加性）bbbQx的分拆和式为：bafxdx fxdxfxdxaccbPxPP2x1xQxxakx2 pxql其中若函数fx在积分区间a,b上满足fx 0，则fxdx 0；ab（推论一）kP1xxaP2xx2AkA1A2.kxaxa2xal若函数fx、函数gx在积分区间a,b上满足fx gx，则（推论二）ba pxqM x N1M2x N221x pxqx2 pxq2lfxdx gxdx；aabbfxdx fx
31、dxab.Mlx Nlx2 pxq积分中值定理（不作要求）第二节第二节微积分基本公式微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数Fx是连续函数fx在区间MlM1M2,.,参数A1,A2,.,Ak,由待定系N1N2Nl数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解a,b上的一个原函数，则fxdx Fb Faabx2dx（构造法）題型求x1求解示例变限积分的导数公式（）（上上导下下导）dxftdt f xx f xxx dx題型求limx0 x1xx11dx x11 dxx2dx x1x1x111xdxdxdx x2 xlnx1Cx12第五节第五节积分表的使用（不作要求）积分表的使用（不
32、作要求）1cosxetdtx22求解示例d1t2edtedtcosx解：limcosx2limdxx0L x0 x2x1t200 高等数学期末复习资料第8页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第8页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第8页 limx000e0e1cos2xsin x2xsin xecos limx02x2x偶倍奇零（）设fxCa,a，则有以下结论成立：若fx fx，则a2dsin xecos xlimdxL x02xcos2xafxdx 2fxdx0aa若fx fx，则afxdx 0 limx0cosxecos2xsin xe22sin xcosx第四节第四节定积分
33、在几何上的应用（暂时不作要求）定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节第六节反常积分（不作要求）反常积分（不作要求）21limecos xsin xcosx2sin xcosx2x011e122e第三节第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法（）（第一换元法）f xxdx af xd x21題型求dx02x1bb如：不定积分公式a11 x2dx arctanxC的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：xtantt1122dx tarc
34、tanx1 x21tan2ttantdt11122dt cos tdt dt22sec t cos tcos tt C arctanxC11x如此，不定积分公式2dx arctanC也就很2a xaa求解示例解：211211dx d2x1ln 2x1002x1202x121ln5ln5ln1222（第二换元法）设函数fxCa,b，函数x t满足：a,，使得 a,b；b在区间,或,上，f t,t连续则：fxdx f ttdta4x2dx題型求02x1求解示例2t3t21t 2x10,x4x2322解：22dxx0,t102x1dx 1tx4,t3b容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。13t2313211tdt t 3dt t33x21t21231522 933（分部积分法）3uxvxuxdvx ababuxvxdx uxvxvxuxdxababvxduxab高等数学期末复习资料第9页（共9页）(完整版)大一高数复习资料(免费)-第9页(完整版)大一高数复习资料(免费)-第9页