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1、最新人教版高中数学知识点总结最新人教版高中数学知识点总结Sets and Concepts最新人教版高中数学知识点总结-第1页最新人教版高中数学知识点总结-第1页高中数学知识点总结高中数学知识点总结第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念一：集合的含义与表示一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元
2、素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：（1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。a、列举法：将集合中的元素一一列举出来a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大最新人教版高中数学知识点总结-第2页最新人教版高中数学知识点总结-第2页括号内表示集合。xR|x-32,x|x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无
3、限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6 6、集合间的基本关系、集合间的基本关系（1 1）.“包含”关系（）.“包含”关系（1 1）子集）子集定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：A B（或 B）最新人教版高中数学知识点总结-第3页最新人教版高中数学知识点总结-第3页注意：A B有两种
4、可能（1）A 是 B 的一部分；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA（2 2）.“包含”关系（）.“包含”关系（2 2）真子集）真子集如果集合A B，但存在元素 xB 且 xA，则集合 A 是集合 B 的真子集如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或BA)读作 A 真含与 B（3 3）“相等”关系：）“相等”关系：A=BA=B“元素相同则两集合相等”如果 AB同时 BA 那么 A=B（4 4）.不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子
5、集，空集是任何非空集合的真子集。（5 5）集合的性质）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB,BC,那么 AC如果 AB 且 BC，那么 AC有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集7 7、集合的运算、集合的运算最新人教版高中数学知识点总结-第4页最新人教版高中数学知识点总结-第4页运算类型定义交集并集补集由所有属于 A 且属于 由所有属于集合 A 或全集：一般，若一个集合汉语我B 的元素所组成的集 属于集合 B 的元素所们所研究问题中这几道的所有合,叫做 A,B 的交 组成的集合，叫做元素，我们就称这个集合为全集记作AB（读作 A,B 的并集记作：A集，记作：
6、UA 交 B），即AB（读 作 A 并设 S 是一个集合，A 是 S 的一B=x|xA，且 xB B），即 AB=x|x个子集，由 S 中所有不属于 AA，或 xB)的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作CSA，CSA=x|xS,且 xA韦恩图示ABABSA图1图 2(CuA)(CuB)=Cu(AUB)(CuA)U(CuB)=Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=性性质质A A=AA=A B=BAA U A=AA U=AA U B=B U AA BA A BBA U BA U BB二、函数的概念二、函数的概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的
7、对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合最新人教版高中数学知识点总结-第5页最新人教版高中数学知识点总结-第5页A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域2函数的三要素：定义域、值域、对应法则3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的
8、自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称最新人教版高中数学知识点总结-第6页最新人教版高中数学知识点总结-第6页变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x 2）上减下加只对 y 3）函数 y=f(x
9、)关于 X 轴对称得函数 y=-f(x)4）函数 y=f(x)关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x)关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得函数 y=|f(x)|7）函数 y=f(x)先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)三、函数的基本性质三、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3
10、）换元法：4)拼凑法：最新人教版高中数学知识点总结-第7页最新人教版高中数学知识点总结-第7页2 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一
11、致(两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5、值域（先考虑其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类最新人教版高中数学知识点总结-第8页最新人教版高中数学知识点总结-第8页似求 Y 的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数（1）在定义域
12、的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集（4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数7映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一
13、个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针最新人教版高中数学知识点总结-第9页最新人教版高中数学知识点总结-第9页对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数8 8、函数的单调性、函数的单调性(局部性质局部性质)及最值及最值（1 1）、增减函数）、增减函数（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D称为 y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间 D 上的任意两个
14、自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种（2 2）、）、图象的特点图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3 3）、函数单调区间与单调性的判定方法）、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x11，且nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次
15、方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的 n 次方根用符号表示。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号表示，负的 n 的次方根用符号表示。正的 n 次方根与负的n 次方根可以合并成（a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作n0 0。当n是 奇 数 时，nnan a，当n是 偶 数 时，a(a 0)an|a|a(a 0)式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。3、分数指数幂正数的分数指数幂的amnnam(a 0,m,n N*,n 1)，amn1amn1nam(a 0,m,nN*
16、,n 1)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质rrrs（1）aa a(a 0,r,sR)；最新人教版高中数学知识点总结-第14页最新人教版高中数学知识点总结-第14页rsrs(a)a（2）rrs(ab)a a（3）(a 0,r,sR)；(a 0,r,sR)5、无理数指数幂a一般的，无理数指数幂 a（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。（二）、指数函数的性质及其特点（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R
17、注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、指数函数的图象和性质a10a1 时，若 X1X2,则有 f(X1)15x都不是对数函数，而只能称其为对50a1110101定义域 x0值域为 R在 R 上递增函数图象都过定点（1，0）三、幂函数三、幂函数定义域 x0值域为 R在 R 上递减函数图象都过定点（1，0）1、幂函数定义：一般地，形如y x(aR)的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳最新人教版高中数学知识点总结-第17页最新人教版高中数学知识点总结-第17页（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在
18、区间0,)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当0 1时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章第三章 函数的应用函数的应用方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：（1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与最新人教版高中数学知识点总结-第18页最新人教版高中数学知识点总结-第18页轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点最新人教版高中数学知识点总结-第19页最新人教版高中数学知识点总结-第19页