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1、 龙源期刊网 反馈控制实现系统混沌同步作者：赵丹青来源：电脑知识与技术2009 年第 04 期摘要：该文对 Lorenz 混沌系统的同步问题进行了理论分析，并进行线性反馈控制设计，基于 Lyapunov 函数提出了反馈控制同步规则，仿真结果证实了规则的可行性及有效性。关键词： Lorenz 混沌系统；线性反馈；同步中图分类号：O415 文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2009)04-0950-04A Feedback Approach to the Control and Synchronization of Lorenz SystemZHAO Dan-qing(Center o
2、f Computing and Experimenting, SCUFN, Wuhan 430074, China)Abstract: In this paper the synchronization problem of Lorenz chaotic system is studied.TwoLinear feedback control rules are derived based on Lyapunov functions. Simulation results show theeffectiveness of these rules.Key words: lorenz chaoti
3、c system; linear feedback; synchronization1 引言混沌现象是当前非线性科学及其交叉领域的一个重要课程和热点。由于混沌信号具有复杂的、不可预测及对初始条件及其系统参数变化的高度敏感性的行为特性，而且有实现同步的可能性，因此在通信领域中具有广阔的应用前景。混沌同步是实现混沌通信的关键。近年来，混沌同步控制方法不断涌现，出现了各种实现混沌信号同步控制的机理和方法1-4。Lorenz 系统是一种典型的混沌系统，具有混沌系统的很多特征，它主要由三个非线性微分方程组成。 （1）在（1）式中，x，y，z 是状态变量，0，0，0 是参数。当 =10，=28，=8/3
4、时呈现混沌态（其混沌行为如图 1 所示）。本文以 Lorenz 系统为例，针对混沌同步问题进行分析，利用反馈控制的思想，提出了两种同步控制规则，并进行了仿真验证。 龙源期刊网 2 混沌同步的定义及反馈控制思想2.1 混沌同步的定义考虑如下两个非线性动力系统：其中 x,yRn 分别为系统的状态变量，F，F：R+Rn-Rn 为非线性映射，U：R+RnRn-Rn 为同步控制量，R+为非负实数集。如果存在：成立，则系统（1b）和系统（1a）同步，称系统（1a）为驱动系统，系统（1b）为响应系统，D(t0)为同步区域。2.2 反馈控制思想考虑非线性自治系统=f(x),式中 选取 Lyapunov 函数
5、V0,如果存在反馈控制 =g(x)，使0，等号当且仅当 xi=0 时成立，那么原非自治系统零解渐近稳定。本文利用这一思想提出和证明了 Lorenz 系统线性反馈实现同步的两种控制规则。3 线性反馈实现同步3.1 反馈控制规则设 Lorenz 系统（1）为驱动系统，响应系统为： （2）则由式（1），式（2）得受控误差系统为： （3）设受控响应系统与驱动系统间的状态误差为ex=-x,ey=-y，ez=-z 则受控误差系统可写为：（4）显然，若误差系统（4）的零解渐近稳定，则（1），（2）系统同步。选取正定 Lyapunov 函数为则 ，将（4）式代入得： 龙源期刊网 （5）为分析问题的简单化，希望
6、在计算过程中不出现eyez 项，则可设控制规则为： （6）其中 k1, k2, k3,k4,k5,k6,k7均为反馈系数，将（6）代入到（5）中得：其中，e=exeyezT,要使（4）式零解渐近稳定，要求负定，即要求 P 正定，则要求下面三个不等式成立： （7）由于 z，y 皆为状态变量，其变化规律具有不确定性，因此参数k2,k5,k3,k7 也具有不确定性，此处不防令 k2+k5=1+，k3=k7=0，则控制规则（6）简化为： （8）且不等式组（7）简化为： （9）由于混沌轨迹相平面的有界性，设 Mly|y|, Mlz|z|,常数 Mly 和 Mlz 总是存在的。故不等式组（9）成立的充分条
7、件为： （10）为了便于讨论，设定 k6=-+1,则不等式组(10)又可简化为： （11）由 1+k10,，可知，1+k40，由 0,Mlz0,故 1+Mlz0令 （12）令 （13） 龙源期刊网 综上，可得到一组线性反馈控制规则：（14）3.2 反馈控制规则设 Mly|y|, Mlz|z|，则采用线性反馈控制：可以实现系统（1）和系统（2）的同步，其中：。证明：将控制规则代入误差系统（4），得到：（15）选取正定 Lyapunov 函数则 ，将（3）式代入得：其中，e=exeyezT, 。要使式（15）零解渐近稳定，则要求下面 3 个不等式成立： （16）由于 Mly|y|, Mlz|z|,
8、且根据混沌轨迹相平面的有界性，常数 Mly 和 Mlz 总是存在的。故不等式组（16）成立的充分条件为：（17）联立得到： 时，P 正定，式（15）零解渐近稳定，Lorenz 系统（1）和（2）达到同步，定理得证。4 仿真验证4.1 对于反馈控制规则的仿真对于控制规则，选取 =10，=28，=8/3，驱动系统初值取(0.2,0.4,-0.3)，响应系统初值取(-0.1,0.2,0.1)。利用四阶龙格库塔算法在 MATLAB 上进行仿真，得到两同步系统之间的误差变化曲线如图 2。 龙源期刊网 4.2 对于反馈控制规则的仿真对于控制规则，选取 =10，=28，=8/3，驱动系统初值取(0.5,10
9、,10)，响应系统初值取(10.5,20,38)。利用四阶龙格库塔算法在 MATLAB 上进行仿真，得到两同步系统之间的误差变化曲线如图 3。图 2 图 35 结语本文基于反馈控制思想，利用 Lyapunov 函数推导出 Lorenz 混沌系统的两种控制规则，实现了两个 Lorenz 混沌系统的同步，并使用 Matlab 软件做数值仿真，验证了规则的正确性。参考文献：1 陶朝海,陆君安,吕金虎.统一混沌系统的反馈同步J.物理学报,2002,51(7):1497-1501.2 陶朝海,陆君安,陈士华.Lorenz 混沌系统的错位自适应控制J.系统工程与电子技术,2004,26(1):81-82.3 王燕舞,关治洪,王华.自适应控制实现混沌同步J.系统工程与电子技术,2004,26(2):219-221.4 王燕舞,关治洪,王华.基于单变量耦合控制的混沌同步研究J.信息与控制,2003,32(2):185-188.