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1、高中数学1 13 33 3 函数的最大（小）值与导数（函数的最大（小）值与导数（1 1 课时）课时）【学情分析】【学情分析】：这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法【教学目标】【教学目标】：（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤【教学重点】【教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法【教学难点】【教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大
2、值和极小值的区别与联系熟练计算函数最值的步骤【教学过程设计】【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图设函数 f(x)在点 x0附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 f(x0)，x0是极大值点，则复习复习对 x0附近的所有的点，都有f(x)_f(x0)引入引入设函数 f(x)在点 x0附近有定义，f(x0)是函数 f(x)的一个极小值 f(x0)，x0是极小值点，则对 x0附近的所有的点，都有f(x)_f(x0)回顾以前所学关于最值的概念，形成对比认识：函数最大值的概念：设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的_，都有 f(x)_M（2）存在_
3、，使得_则称 M 为函数 y=f(x)的最_值概念概念函数最小值的概念：对比对比设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的_，都有 f(x)_M（2）存在_，使得_则称 M 为函数 y=f(x)的最_值思考：你觉得极值与最值的区别在哪里？观察右图闭区间a,b上函数f(x)的图象，你能找出x x它的极大值、极小值吗？a a x12 2知识的巩固让学生发现极值与最值的概念区别，y yx x3 3x x4 4b bx图中f(x1)、f(x3)是极大值，f(x2)、f(x4)是极小值你能找出函数y f(x)在区间a,b上的最大、最小值吗？容易得出：函数f(x)在a,b
4、上的最大值是f(b)，最小值是f(x2)高中数学高中数学观察下面函数在区间 a,b 上的图象,回答：（1）函数在a,b上有极大值或极小值吗?在哪一点取得极大值或极小值?（2）函数在a,b上有最大值或最小值吗?如果有,最大值或最小值分别是什么?y yy=g(x)x x4 4x x5 5b by=f(x)a ax1x x2 2x x3 3x（1）函数的极大（小）值一定是函数的最大（小）值，极大（小）值点就是最大（小）值点概念（2）函数的最大（小）值一定是函数的极大（小）值，最大（小）值点就是极大（小）辨析值点练习（3）函数 y=f(x)在 x=a 处取得极值是函数 y=f(x)在 x=a 处取得最
5、值的_（充要性）对极值与最值概念的深化理解（1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的（2）函数的最值是描述函数在整个定义域上的整体性质，函数的极值是描述函数在某个局部的性质（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（1）在闭区间上函数最值的存在性：通过观察一系列函数在闭区间上的函数图像，并指出函数的最值及相应的最值点：一般性总结：闭区间上的函数最值问题在闭区间在闭区间a,b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a,b上必有最大值与最小值上必有最大值与最小值（连续函数的闭区间定理数学分析）（2）在闭区
6、间上函数最值点的分析：既然在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最值，那么最值点会是哪些点呢？通过上述图像的观察，可以发现最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点最值点可能是闭区间的端点，函数的极值点有无其他可能？没有反证法可说明判断正误：（1）在开区间(a,b)内连续的函数f(x)一定有最大值与最小值需要注意的地方（2）函数f(x)在闭区间a,b上一定有最大值与最小值（3）函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件说明：高中数学通过练习深化他们对函数取极值与最值的区别点评提高本节的主要内容及主 要 结论，也是求函数最值的理论根据
7、和方法指引（1）F；（2）F；（3）T高中数学开区 间(a,b)内的可导 函数不一定 有最值，若 有唯一的极 值，则此极 值必是函数的最值例例 1 1（课本例（课本例 5 5）求fx13x 4x4在0,3的最大值与最小值3解：解：由例 4 可知，在0,3上，当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)4，又由于f0 4，f313134因此，函数fxx 4x4在0,3的最大值是 4，最小值是3313上述结论可以从函数fxx 4x4在0,3上的图象得到直观验证3例例 2 2求函数y x42x25在区间2,2上的最大值与最小值解：先求导数，得y/4x34x令y/0 即4x 4x 0解得x1 1
8、,x2 0,x31/导数y的正负以及f(2)，f(2)如下表3Xy例题精讲/-2（-2,-1）-1（-1,0）1304005（0,1）104（1,2）213y从上表知，当x 2时，函数有最大值 13，当x 1时，函数有最小值 4x2axb例例 3 3已知f(x)log3,x(0,+).是否存在实数a、b,使f(x)同x时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）f(x)的最小值是 1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由.x2 ax b解：设 g(x)=xf(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数g(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上
9、是增函数.b1 0g(1)0a 1解得a b1 3g(1)3b 1经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件.求闭区间上连续函数最值的设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在(a,b)内的极值；高中数学高中数学方法与步将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值骤总结课后练习：1、函数f(x)2x33x212x5在区间0,3上的最大值和最小值分别为（）A5，-15B5，-4C-4，-15D5，-16答案答案 D2、函数y x44x 3在区间2,3上的最小值为（）A72B36C12D
10、0答案答案 Dy 4x34,令y 0,4x34 0,x 1,当x 1时,y 0;当x 1时,y 03、函数y ln xx的最大值为（）Ae1B210eCeD3答答案案 A 令y(ln x)xln xxx21ln xx2 0,x e，当x e时，y 0；当x e时，yf(e)1e，在定义域内只有一个极值，所以y1极大值maxe4、函数f(x)xcos xsin x在0,2上的最大值是_最小值是_答案答案5、函数y x2cos x在区间0,2上的最大值是答案答案63y 12sin x 0,x 6，比较0,6,2处的函数值，得ymax636、求函数f(x)x33x29xa（1）求函数y f(x)的单调递减区间（2）函数y f(x)在区间2,2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值答案：f(x)3x26x9 3(x3)(x1)0,1，3,为减区间高中数学y0，高中数学1,3为增区间f(2)83492 a 22 af(2)8349(2)a 2 a所以f(2)83492 a 22 a 20a=-2,所以最小值为f(1)1319(2)2 16高中数学