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1、利用“!#$%#”律对胶东地区金矿资源潜力估计申维，&（中国地质大学 国土资源与高新技术研究中心，北京#()；&中国科学院 地球化学研究所，贵州 贵阳*#&）摘要：利用幂函数分布在高端截尾（+!,-.-+/01.23/）条件下具有分形性质，即尺度不变的特征，证明了统计量!具有分形性质，即它与尺度参数 无关。在总体的随机变量#服从幂函数分布条件下，从“!#$%#”律的概率形式推出“!#$%#”律的分形形式；“(#$&#”律是“!#$%#”律的一种特殊分形形式。当$4 5，%4#&#时，!4#(#；将“!#$%#”律应用于山东胶东地区金矿床储量数据，得到了该地区大中小型金矿床的“!#$%#”律表达
2、式和相应的百分数。比较理论计算的结果与样本观察值计算的结果大小，可预测该地区可能存在 个或&个大型金矿床。关键词：分形；帕累托（61-,.3）律；幂函数分布；金矿床中图分类号：65&(文献标识码：7文章编号：#*&)&（&#）#8#85)#8收稿日期：&9；修订日期：&#*:基金项目：国家自然科学基金项目（89(:)#&:；8#:c）；中国科学院重大项目（;&9*=8）；国土资源部科技项目（=:2?-,A3 61-,.3（(8(9&)）发现，在一般情况下，占全部人口较小比例的人占据了整个社会财富的大部分。帕累托（61-,.3）原理可以应用于其它方面，如大型超大型矿床拥有绝大部分的储
3、量。帕累托（61-,.3）律是描述一个国家居民收入分布的经验关系。在意大利&#B的人口拥有(#B的社会财富。从这个原理，可推出启发式“&#$(#”律。“&#$(#”律在管理科学中有许多应用实例。例如，&#B的消费者占(#B的销售额；&#B的组成部分占(#B的成本或费用。C-3D,?2&将“&#$(#”律推广到一般的“!#$%#”律，在总体的随机变量服从帕累托（61-,.3）分布条件下，对“!#$%#”律进行分形研究，并应用于油田资源中。他认为最大几个油田的储量对全部油田的储量有决定性的影响。本文利用幂函数分布在高端截尾（+!,-.-+/01.23/）条件下具有分形性质，证明了统计量!&具有分形
4、性质，即它与尺度参数 无关。在总体的随机变量#服从幂函数分布条件下从“!#$%#”律的概率形式推出“!#$%#”律的分形形式；通过分析，山东胶东地区金矿床储量总体分布服从帕累托分布，可以得到该地区大中小型金矿床的“!#$%#”律表达式和相应的百分数。比较理论计算的结果与样本观察值计算的结果大小，可预测该地区可能存在 个或&个大型金矿床。“!#$%#”律的统计形式，概率形式和分形形式!“#!$%&!$”律的统计形式设总体随机变量为#，它的&个子样的随机变量为#，#&，#&，它们的观察值分别为，&，&，将这些观察值按由小到大排列：（）!（&）!（&），其中（）(E2/，&，&，（&）(E1F，&，
5、&。它们总和为)(&*(（*）(&*(*。令)(&*(（+%）&,（*），)&(%&*(（*）其中 表示 的最大整数部分，%（#!%!）是最大几个观察值的个数在全部观察值的个数&中所占的比例，%&（#!%&!）是最小几个观察值的个数在全部观察值的个数&中所占的比例。)表示最大&G （G%）&个观察值的和，)&表示最小%&第(卷第 8 期&#年#月地学前缘（中国地质大学，北京）H1-.I J02,/0,K-3/.2,-L（CI2/1 M/2D,-L2.N 3 O,3L02,/0,L，=,2P2/Q）3?(R38#S0.&#!个观察值的和。定义统计量!，。!#$!%$#!&#（!(!）!)!*（&
6、）!&#!*（&）#(!&#（!(!）!)!+（&）%(!&#!*（&）%!（!）#$%$#!(!&#!*（&）!&#!*（&）#(!(!&#!*（&）%(!&#!*（&）%!（）从上面式子可以看出，!是最大!#（!#(!）!个观察值的和在全部观察值的和（即$）中所占的比例，是最小(!个观察值的和在全部观察值的和（即$）中所占的比例。!#“$!%&!%”律的概率形式设总体随机变量为+，它的分布为,（*），则统计量!与 可以分别写成下列形式：!#(!-（+.+/*(!）-（+）（$(!）（%）#(-（+.+0*(）-（+）（$(!）（&）其中-（+）是随机变量+的数学期望，-（+.+/*(!）是
7、在+/*(!条件下随机变量+的条件数学期望，-（+.+0*(）是在+0*(条件下随机变量+的条件数学期望，(!#1（+/*(!），*(!称为上(!分位数，(#1（+0*(），*(称为下(分位数。如果随机变量是连续型的，则 1（+*）(1（+*）。!(“$!%&!%”律的分形形式如果总体随机变量+服从幂函数分布%（)*+,-.,/01234*1 5463.47034*1），则,（*）#1（+*）#（*%2）33/$0*2（8）其中 2 称为尺度参数，3 称为形状参数或指数，则它的数学期望为-（+）#32（3)!）!3/$（9）我们证明了幂函数分布在高端截尾（0)-.3.012:,34*1）条件下
8、具有分形性质&，即1（+*.+2）#（*%2）33/$0*22（;）取 2#*(，可得-（+.+0*(）#3*(3)!3/$（）由（&），（9）和（!%3（$(!）（!）从（!）式中可以看出，统计量 与尺度参数 2 无关，即具有分形性质。与不仅具有幂指数关系，而且是分数。因此，统计量!是分形。令 4#-（+），由（9）可得 3#42 4（!%）因此，（!）式可改写为(2%4（$(!）（!&）?.*-AA4认为：如果总体随机变量+服从帕累托分布，则统计量!与尺度参数 2 无关，即具有分形性质。设帕累托分布%（B:.-3*5463.47034*1）为5（*）#1（+*）#!（*%2）33/$*#2
9、/$（!9）其中 2 称为尺度参数，3 称为形状参数或指数。则它的数学期望为-（+）#32（3 !）!3/!（!;）帕累托分布在低端截尾（A*+-.3.012:34*1）条件下具有分形性质8，9，即1（+*.+#2）#!（*%2）33/$3/$*#2/2/$（!）取 2(*(!，可得-（+C+D*(!）(3*(!3#!3 D$（!=）由（%），（!;）和（!=）式，可知!#(!-（+.+/*(!）-（+）#(!3*(!%（3 !）32%（3 !）#(!*(!2（$）由（!9）式，可知!申维 E地学前缘（F:.3G H24-12-I.*134-.6）$!，（&）!#（$%&!）（&!）()（!）
10、&!(!*)!（）由（#）和（）式，可知+!(!*)!（#!）（$）从（$）式中可以看出，统计量+!与尺度参数 无关，即具有分形性质。+!与不仅具有幂指数关系，而且是分数。因此，统计量+!是分形。令,-（$），由（!%），可得),(（&）因此，（$）式可改写为+!*,!（#!）（(）!)“#$*%$”律、“%$*#$”律及其相应的百分数在（$）式中，取)!.!+，从统计量+!可推出“#*,#”律和相应的百分数。+!-!*!.!+!#.!$,!（#!）。当!#.#时，+!（#.#）#.!$,#.,#。此结果表明：占全部人口#.高收入的人拥有社 会 财 富 的,#.。当!#.!#时，+!（#.!#
11、）#.!$,#.%$。当!#.$#时，+!（#.$#）#.!$,#.,(。在（!）式中，取)#.!+!，从统计量+可推出“,#*#”律和相应的百分数。+!/!*#.!+!%.!（#!），当!#.,#时，+（#.,#）%.!#.#。此结果表明：占全部人口,#.中低收入的人只拥有社会财富的#.。当!#.%#时，+（#.%#）%.!#.#%+。当!#.0#时，+（#.0#）%.!#.&%,。应用实例山东胶东地区是中国著名的金矿化集中区和重要的黄金产地，其黄金储量占全国黄金储量的#.，占山东全省黄金储量,#.。至!00+年底已探明金矿,!处，提交 1 级以上储量共 0&$0!23。其中超大型金矿(处，
12、储量分别为,&,($，%!#+，+%#，+#!0+，(+#!23；大型金矿,处，储量分别为&,+&$，&#，&$(+%，&#&%，$&0+，0(!&，,&!(，#；中型金矿#处，储量分别为!,(&$，!%&(+，!%$+(，!(+(+，!(+!，!&!(+，!#,&，0&#，,(#+，,!,%，%+,!，%$(%，%#(，+%+，(+$0，(+!+，(,%，(&,0，(&#，(,#23；小型金矿&,处，它们的储量总和为!%,（数据来源：山东省胶东地区大中型金矿成矿规律及找矿方向的研究科研报告，山东省地质矿产勘查局，!00%年）。令总体随机变量$为金矿床的储量。考虑,!个大、中、
13、小型金矿床（即子样与观察值），其储量总和/,!0 !&（0）,!0 !&0 0&$0!23，此时 1 ,!。如果取!#.!+，则 （!(!）12!#.,&3,!2!+0，最大!$个金矿床（即大型超大型金矿床）储量的和/!,!0 +0&（0）+%0(,23，统计量+!/!*/+%0(,*0&$0!#.+%。这表明大型、超大型金矿床储量占整个储量的+%.左右，而大型、超大型金矿床个数占整个矿床个数的!+.左右。如果取!#.#+，则 （!(!）12!#.0&3,!2!%，最大(个金矿床（即超大型金矿床）储量的和/!,!0%&（0）$,&$+23，统计量+!/!*/$,&$+*0&$0!#.$+。这表
14、明超大型金矿床储量占整个储量的$+.左右，而超大型金矿床个数占整个矿床个数的+.左右。如果取!#.!#，则 （!(!）12!#.0#3,!2!%$，最大0个金矿床（即超大型金矿床和部分大型金矿床）储量的和/!,!0%$&（0）(!(#0$23，统 计 量+!/!*/(!(#0$*0&$0!#.(&。如果取!#.#，则 （!(!）12!#.,#3,!2!+(，最大!%个金矿床（即超大型金矿床和部分大型金矿床）储量的和/!,!0 +(+0+0%,23，统计量+!/!*/+0+0%,*0&$0!#.%&。我们根据,!个大、中、小型金矿床及其储量值，可得到样本的平均值,0&$0!*,!#!+&,和尺度
15、参数 ,#$。由（&）式，可得),(!+&,*（!+&,(,#$）#!.$!%。由（$）式，可推出山东胶东地区大、中、小型金矿床的“4!#*5!#”律表达式和相应的百分数：+!(!*!.$!%!#.&!（#!）。当!#.#+时，+!（#.#+）#.&!#.(!。此结果表明：占全部金矿床+.超大型金矿床占整个金矿床储量的(!.。当!#.!#时，+!（#.!#）#.&!#.(%。当!#.!+时，+!（#.!+）#.&!#.+&。当!#.#时，+!（#.#）#.&!#.+,。申维*地学前缘（6789:;?8A?9=8B）#!，,（&）!$通过分析，山东胶东地区金矿床储量总体分布服从参数!#$的帕累托
16、分布，比较上面理论计算的结果与样本观察值计算的结果大小，如当#!%&时，%（理论数）大于%#&（经验数），可预测该地区可能存在 个或(个大型金矿床。在数理统计中，金矿床储量可以认为是随机变量，金矿床储量数据实际上是观察值，这些数据在整体上基本服从幂函数分布（参见文献$）。#结论（）幂函数分布在高端截尾（)*+,-,)./0-12.）条件下具有分形性质，即尺度不变的特征，证明了统计量$(具有分形性质，即它与尺度参数%无关。如果总体的随机变量&服从幂函数分布，则从“*%34%”律的概率形式推出“*%34%”律的分形形式，此时参数$仅仅是参数#和形状参数!的乘幂函数。（(）“5%3(%”律是“*%3
17、4%”律的一种特殊分形形式。当!&，#!%(%时，$!%5%。（#）山东胶东地区金矿床储量总体分布服从帕累托分布，通过分析可以得到该地区大、中、小型金矿床的“*%34%”律表达式和相应的百分数。比较理论计算结果与样本观察值计算结果的大小，可预测该地区可能存在 个或(个大型金矿床。“*%34%”律产生的原因在于：地球作为一个耗散形态，在漫长的岁月中经历了多次非均匀非线性的地质作用，地下的岩性物性均显现出很强的非均匀非线性特性。地质环境中非线性过程的相互作用是造成地壳元素与矿化不均匀分布的根本原因，并导致了元素含量与大小矿床分布的分形结构。（6）“*%34%”律不仅应用于一些地质数据（如矿床的数量
18、与储量）的检查和预测，而且可应用于其他方面，例如资源、环境和灾害的评价。参考文献：789:;?AB?:C()*+!,!-*)*,.+!/*0!12 D CA+E F2,G：HCC I)-2.，J#5C(K9LMH:9;C 7N+O+.+,0P1Q+R(%35%P0E)S1.T*,2U0U1P1S-1/V,0/-0PS 0*P1+R-2*+-,2P+)W V1+PR S1Q+X C 34,5*,*6!78*9*14:5;*1，JJ，6（#）：(#Y(6C#XL=A A:，?L7Z BC!5(!.*?(1.5(7:.(4,1Y D CA+E F2,G：X2N.1P+B2.S./，J$%C 6 申维
19、，赵鹏大C 分形统计模型的理论研究及其在地质学中的应用 X C 地质科学，JJ5，#（(）：(#6Y(6#C K=9B7L=H9 K，P0;8:9 C 5!;.!81(,A*.548*:)B*484-2!,/0!5.C A54;*11*1 D C A+E F2,G：P+.)W,+SS，JJC&D;AIH:9L7 C 2,+/0S-S 2V V)-),+*,1/+S，).U10S+R W0,G+-S，0.R“W0,-1.T0P+”W2R+PS X C D4:5,!8 4E F:1(,*11，8.1_+,S1-2VKN1/0T2，J&，#J：(6(Y(C$申维C 分形模型与大型、超大型矿床 X C
20、 中国数学地质，JJ5，J：(Y5C;BBHBBDHA7 L OL:I L9H 9HBL89KHB B=HA+1，(（9*1*!5;C*,.5*4E G#8(*/3*6*;C,($:*1.4 H!,/!,/9*14:5;*1，*51(.2 4E B*41;(*,;*1，F*(I(,-%5#，C(,!；(J,1.(.:.*4E B*4;C*)(1.52，C(,*1*G;!/*)2 4E K;(*,;*1，B:(2!,-%(，N+.!C&，#!%C(%，-N+S-0-1S-1/$1S%C5%7N+a*,+SS12.0.R-N+/2,+S*2.R1.T*+,/+.-Y0T+2V“*%34%”P0E 0,+T2-U-N+T2PR 2,+,+S+,_+R0-0 1.+0S-+,.BN0.R2.TC /2W*0,1.T-N+2,+-1/0P R0-0 E1-N+W*1,1/0P,+S)P-S，1-SN2ES-N0-N+,+/2)PR U+2.+2,-E2 P0,T+YS1Q+R T2PR W1.+,0P R+*2S1-1.+0S-+,.BN0.R2.TC()*+,%-#：V,0/-0P；0,+-2 P0E；*2E+,YV)./-12.R1S-,1U)-12.；T2PR R+*2S1-6申维 3地学前缘（H0,-N B/1+./+,2.-1+,S）(%，5（6）