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1、精选优质文档-倾情为你奉上第二十六章二次函数（一）解题技巧1. 情景引入某工厂一种产品现在的年产量是20万件, 计划今后两年增加产量, 如果每年都比上一年的产量增加x倍, 那么两年后的产量y随计划所定的x值而确定, y与x之间的关系应怎么表示?2. 知识提要(1) 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c(a, b, c是常数, a0)的函数;(2) 二次函数的图象;(3) 二次函数平移、开口方向、对称轴、顶点坐标.一般地, 我们可以用配方法将抛物线y=ax2+bx+c(a0)转化成y=a(x+)2+, a0时, 开口向上, a0时, 开口向下, 对称轴是x=, 顶点坐标是(, )
2、;(4) 用函数观点看一元二次方程;(5) 实际问题与二次函数3. 案例分析【案例1】如果函数y=(m2)x是二次函数, 求常数m的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m2+m4=2, 且m20解: y=(m2)x是二次函数m2+m4=2, 即m2+m6=0 解这个一元二次方程, 得m1=3, m22当m=3时, m2=50, 符合题意当m=2时, m20, 不合题意.常数m的值为3. 【方法点评】涉及二次函数的问题, 按照先看变量x项的次数, 再看变量最高次项系数的步骤去分析.【案例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x22x+1
3、, 求b和c.【思路点拨】本题原函数解析式中的一次项系数b, 常数项c是待定的. 解题关键是需先求抛物线的顶点坐标, 根据两个抛物线的平移情况, 可确定其顶点坐标.解: y=x22x+1=(x1)2,抛物线y=x22x+1的顶点是B(1, 0), 根据题意知: 把抛物线向下平移3个单位,再向右平移2个单位, 就得到抛物线y=x2+bx+c, 这时由顶点B(1, 0)平移到A(3, 3)处, 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点是(3, 3).y=x2+bx+c=(x3)23=x26x+6.b=6, c=6.【方法点评】本题根据抛物线的顶点的移动变化确定函数解析式, 从图象顶点的变化直观地找到解题
4、思路, 体现了数形结合的基本思想, 这是一个基本的解题途径, 也是一条行之有效的坦途.【案例3】已知二次函数y=x2+2x+1. (1) 写出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2) 当x为何值时, y随x的增大而减小? 当x为何值时, y随x的增大而增大? (3) 该函数是有最大值还是最小值? 此时x的值为多少?【思路点拨】利用公式法求顶点坐标和对称轴.解: (1) 0, 函数图像开口向上. 2, 1.函数图象的对称轴是直线x=2, 顶点坐标是(2, 1). (2) 由(1) 可知: 当x2时, y随x的增大而减小; 当x2时, y随x的增大而增大. (3) 由0知, 该函数有最小值.
5、由(1)可知当x2时, 函数有最小值1.【方法点评】(1) 求二次函数图象的对称轴、顶点坐标可用配方法和公式法两种方法, 本例运用公式法.(2) 讨论二次函数的性质时, 可先求出其图象对称轴和顶点坐标, 并明确图明的开口方向. 再画出草图, 然后根据草图说明性质, 也可不画草图, 直接说明.【案例4】如图, 二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P, 与y轴交点为Q, 过点Q的直线y=2x+m与x轴交于点A, 与这个二次函数的图象交于另一点B. 若SBPQ3SAPQ, 求这个二次函数的解析式.【思路点拨】要求二次函数y=x2+bx+c的解析式, 就是要求b、c的值. 考虑到直线与
6、抛物线交于Q、B, Q点坐标为(0, c), 可过B作BCx轴于C, 由SBPQ3SAPQ可得SAPB4SAPQ. 于是BC4OQ4c. 联立两个解析式不难表示出B的坐标, 由BC4c便可得到一个关于b、c的关系式. 又由抛物线的顶点在x轴上, 则可得到另一个关于b、c的关系式, 两式联立便可求b、c的值.解: 二次函数y=x2+bx+c与y轴的交点Q的坐标为(0, c)又 直线y=2x+m过点Q,m=c联立得又ABP与APQ有相同的一边AP, 过B点作BCx轴于点C.BC=4OQ.又OQc, 故BC4c.即42b+c=4c.又因y=x2+bx+c与x轴只有一个交点b24c=0 联立解得b1=
7、, b2=4.经检验当b1=时与题意不合, 舍去.b=4, c=4.二次函数的解析式为y=x24x+4.【案例5】阅读下列材料, 探究问题.已知正方形的周长为4a, 面积为S. (1) 求S与a的函数关系式; (2) 画出它的图象, 求出S6cm2时, 正方形的周长; (4) 根据函数图象, 求出a取何值时, S.解: (1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积为Sa2.(2) 列表a3210123S9410149画出图象如图所示(3) 当S=6cm2时, a=cm,故正方形的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且此函数在其取值范围内, S随a的增大而增大.当a或a
8、时, S.请你就上述材料谈谈你的感受, 并与同伴交流从中获利的启迪.【思路点拨】上述问题是二次函数y=x2的实际应用题. 在解题过程中, 由于忽视了对自变量a的取值范围的讨论, 致使整个过程发生错误. 作为几何量, 边长a应是个正数, 即a0, 所以图象只是抛物线S=a2的一部分, 且不包括最低点(0, 0).正确解法如下:(1) 正方形的周长为4a, 其边长为a.正方形的面积Sa2(a0).(2) 列表:a123S149画出图象如图所示.(3) 当S6cm2, a=cm(acm不合题意, 舍去). 故正方形的周长为4cm.(4) 当a=cm时, S=cm2, 且函数在取值范围内S随a的增大而
9、增大, 当acm时, Scm2.【方法点评】上述问题是一个实际应用题, 所以注意自变量a的取值范围, 运用图象来解决问题.（二）探究题1. 抛物线y=x2+x+6与x轴交于A、B两点, 与y轴相交于C点. (1) 求ABC的面积; (2) 已知E点(0, 3), 在第一象限的抛物线上取点D, 连接DE, 使DE被x轴平分,. 试判定四边形ACDE的形状, 并证明你的结论.2. 有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰PQR, PQPR5cm, QR8cm, 点B、C、Q、R在同一条直线l上, 当C、Q两点重合时, 等腰PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动, ts后正方形AB
10、CD与等腰PQR重合部分的面积为Scm2. 解答下列问题: (1) 当t=3s时, 求S的值; (2) 当t5s时, 求S的值; (3) 当5st8s时, 求S与t的函数关系式, 并求出S的最大值.3. 如图, 有一座抛物线形拱桥, 在正常水位时水面AB的宽为20m, 水位上升3m时, 水面CD的宽是10m. (1) 建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式; (2) 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地, 已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计). 货车正以每小时40km的速度开往乙地, 当行驶1h时, 忽然接到紧急通知; 前方连降暴雨, 造成水位以每小时0.25m的
11、速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处, 当水位达到桥拱最高点O时, 禁止车辆通行). 试问: 如果货车按原来速度行驶, 能否安全通过此桥? 若能, 请说明理由, 若不能, 要使货车安全通过此桥, 速度应超过每小时多少千米?4. 某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时, 身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件). 在跳某个规定动作时, 正常情况下, 该运动员在空中的最高处距水面10m, 入水处距池边的距离为4m, 同时, 运动员在距水面高度为5m以前, 必须完成规定的翻腾动作, 并调整好入水姿势, 否则就会出现失误. (1) 求这条
12、抛物线的解析式; (2) 在某次试跳中, 测得运动员在空中的运动路线是(1) 中的抛物线, 且运动员在空中调整好入水姿势时, 距池边的水平距离为3m, 问此次跳水会不会失误? 并通过计算说明理由.综合训练一、选择题(每小题3分, 满分30分)1. 已知函数y=3x1; y=3x21; y=3x3+2x2; y=2x22x+1. 其中二次函数的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 抛物线y=x2+6x+8与y轴的交点坐标是A. (0, 8)B. (0, 8)C. (0, 6)D. (2, 0), (4, 0)3. 二次函数y=x22x+2的顶点坐标, 对称轴分别是A. (1, 3), x=
13、1B. (1, 3), x=1C. (1, 3), x=1D. (1, 3), x=14. 将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2(x4)21A. 向左平移4个单位, 再向上平移1个单位B. 向左平移4个单位, 再向下平移1个单位C. 向右平移4个单位, 再向上平移1个单位D. 向右平移4个单位, 再向下平移1个单位5. 已知二次函数y=x2+mx+n的对称轴为x=1, 在其图象上有三个点(3, y1), (2,y2), (4, y3), 则A. y1y2y3B. y2y1y3C. y3y1y2D. y3y2y16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论: a+b+
14、c0; ab+c0; abc0; b=2a. 其中正确的结论有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7. 为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题, 国家决定对某药品分两次降价. 若设平均每次降价的百分率为x, 该药品的原价是m元, 降价后的价格是y元, 则y与x的函数关系式是A. y=2m(1x)B. y=2m(1+x)C. y=m(1x)2D. y=m(1+x)28. 根据下列表格的对应值:x3.233.243.253.26ax2+bx+c0.060.020.030.07判断方程ax2+bx+c0(a0, a、b、c为常数)一个解x的范围是A. 3x3.23B. 3.23x3.24C. 3
15、.24x3.25D. 3.25x3.269. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则在下列各不等式中, 成立的个数是abc0a+b+c0a+cb aA. 1B. 2C. 3D. 410. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题: 当c=0时, 函数的图象经过原点; 当c0且函数的图象开口向下时, 方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根; 函数图象最高点的纵坐标是; 当b=0时, 函数的图象关于y轴对称. 其中正确命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题(每小题3分, 满分18分)11. 若y=(m+1)x是二次函数, 则m= .12. 写出一个图象开
16、口向下, 对称轴为x=1的一条抛物线的解析式.13. 二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1, 2), 则b= , c= .14. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点, 那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是.15. 抛物线y=x26x+c顶点在x轴上, 则c= .16. 已知二次函数y=x22x3, 则函数值y0时, 对应x取值范围是.三、解答题(本题满分72分)17. 分别求出满足条件的二次函数解析式, 并写出开口方向, 对称轴和顶点坐标. (1) 图象经过(3, 0), (1, 0), (0, 2); (2) 顶点坐标(1, 2), 过(0, 4).18. 已
17、知抛物线y=x22x3与x轴交于A、B两点(A在B左侧), 交y轴于c, 求ABC的面积.19. 已知抛物线y=x2+x. (1) 用配方法求出它们的顶点坐标和对称轴; (2) 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 求线段AB的长.20. 某旅社有100张床位, 每床每晚收费10元时, 床位可全部租出. 若每床每晚收费提高2元, 则减少10张床位租出, 若每床每晚收费再提高2元, 则再减少10张床位租出, 以每次提高2元的这种方法变化下去. 为了投资少而获利大, 则应确定每床每晚应提高多少元?21. 心理学家发现, 学生对概念的接受能力y与提出概念所用时间x(分)之间满足函数关系: y=0.1
18、x2+2.6x+43(0x30). y值越大, 表示接受能力越强. (1) x在什么范围内, 学生的接受能力逐步增强? x在什么范围内, 学生的接受能力逐步降低? (2) 第10分钟时, 学生的接受能力是多少? (3) 第几分钟时, 学生的接受能力最强?22. b为何值时, 一次函数y=5x+b与二次函数y=x2+3x+5的图象有一个交点, 有两个交点, 无交点.23. 如图所示, 已知抛物线y=x2ax+a+2与x轴交于A、B两点, 与y轴交于点D(0, 8), 直线DC平行于x轴, 交抛物线于另一点C. 动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发, 沿CD运动, 同时, 点Q以每秒1个单位长
19、度的速度从点A出发, 沿AB运动, 连接PQ、CB. 设点P的运动时间为t秒. (1) 求a的值; (2) 当t为何值时, PQ平行于y轴; (3) 当四边形PQBC的面积等于14时, 求t的值.24. 如图所示, 在直角坐标系中, RtAOB的顶点坐标分别为A(0, 2), O(0, 0), B(4, 0), AOB绕O点按逆时针方向旋转90得到COD.(1) 求C、D两点的坐标;(2) 求经过C、D、B三点的抛物线的解析式;(3) 设(2) 中抛物线的顶点为P, AB的中点为M, 试判断PMB是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形? 并说明理由.探究题答案1. 解: (1) 当y=0时,
20、x2+x+6=0, 即x1=3, x2=4, A(3, 0), B(4, 0). 当x=0时, y=6, C(0, 6)SABC=ABDC=(4+3)6=21.(2) 四边形ACDE是平行四边形.理由: 设DE交x轴于点P, 作DMx轴, M是垂足.首先证: EPODPM, 则DMEO3, 点D的纵坐标是3.D在y=x2+x+6的图象上,3=x2+x+6, x=2(舍去)或x=3.D(3, 3). AC=, ED=, AE=3, CD=3.AC=DE, AE=DC.四边形ACDE是平行四边形.2. 解: (1) 作PEQR, E为垂足, 如图所示. PQ=PR,QE=RE=QR=4. PE=.
21、当t=3s时, QC=3cm, 设PQ与DC交于点G.PEDCm, QCGQEP.SQEP=43=6, S=6=(cm)2.(2) 当t=5s时, CR3cm, 如图设PR与DC交于G.由RCGREP, 可求出SRCG(m2).S=12=(cm2).(3) 当5st8s时,. QB=t5, RC=8t, 设PQ交AB于点H, 如图,由QBHQEP, 得SQBH(t5)2, 由RCGREP, 得SRCG(8t)2,S=12(t5)2(8t)2. 即S 当t=6. 5s时, S最大, S的最大值为cm2.3. (1) 解: 设抛物线的解析式为y=ax2, 桥拱最高点O到水面CD的距离为h m, 则
22、D(5, h), B(10, h3).解得抛物线的解析式为y=x2. (2) 水位由CD处涨到点O的时间为: 10.25=4(h), 货车按原来速度行驶的路程为: 401+404200280, 货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提到到x km/h, 当4x+401=280时, x=60. 要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.4. 解: (1) 在给定的直角坐标系下, 设最高点为A, 入水点为B, 抛物线的解析式为: y=ax2+bx+c. 由题意知, O、B两点的坐标依次为(0, 0), (2, 10), 且顶点A的纵坐标为, 所以解得或抛物线的对称轴在y轴右侧,
23、0,又抛物线开口向下,a0.b0, a=, b=, c=0,抛物线的解析式为: y=.(2) 当运动员在空中距池边的水平距离为3m时, 即x=32=时,y=.此时运动员距水面的高为: 105.因此, 此次试跳会出现失误.综合练习答案一、选择题题号12345678910答案BACDCCCCCC二、填空题11. 312. 如y=(x1)2 13. 4, 0 14. 有两个相等的实数根15. 916. 1x3三、解答题17.(1) y=x2x+2, 开口向上, 对称轴x1. 顶点坐标(1, ); (2) y=2x24x+4, 开口向上, 对称轴x=1, 顶点坐标(1, 2).18. 619. (1)
24、 顶点坐标(1, 3), 对称轴x=1; (2) AB4.20. 解: 设该旅社每床每晚提高x元, 旅社获利y元, 则有y=(100x10)(10+x)=5(x5)2+1125,当x=5时, y最大, 但x应为偶数, 所以x=4或6.21. 解: (1) y=0.1x2+2.6x+43=0.1(x13)2+59.9, 所以当0x13时, 学生的接受能力逐步增强.当13x30时, 学生的接受能力逐步下降.(2) 当x=10时, y=0.1(1013)2+59.9=59.第10min时, 学生的接受能力为59.(3) x=13时, y取得最大值, 所以在第13min时, 学生的接受能力最强.22.
25、 解: 由方程组, 得x22x+5b=0又b24ac=(2)241(5b)=4(b4). 当b=4时, b24ac=0, 有一个交点; 当 b4时, b24ac0, 有两个交点; 当 b4时, b24ac0, 无交点.23. 解: (1) D(0, 8)在抛物线上, a+2=8, a=6.(2) 当a=6时, 抛物线解析式为y=x26x+8.当y=8时, x26x=0. x1=0, x2=6.C(6, 8). 当y=0时, x26x+8=0.x1=2, x2=4. A(2, 0), B(4, 0).CP=2t, AQ=t, P(62t, 8), Q(2+t, 0).由62t=2+t, 得t=.(3) SPQBC(42t+2t)8=4t+8.由4t+8=14, 得t=.当t=秒时, 四边形PQBC的面积为14.24. (1) 由旋转的性质可知: OC=OA=2, ODOB2 C、D两点的坐标分别为(2, 0)、D(0, 4) (2) 设求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c根据题意, 得y=x2+x+4 (3) 答: PMB是钝角三角形 如果PH是抛物线y=x2+x+4的对称轴, 求得M、P点的坐标分别为M(2, 1), P(1, )点M在PH的右侧. PHB=90, 190.PMB1, PMB90.PMB为钝角三角形.专心-专注-专业