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1、第三节 资金的等值计算一、年 金n n 年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，即如果每次收付的金额相等，则这样的系列收付款项便称为年金，通常记作“A”。n n 年金的形式多种多样，如保险费、折旧、租金、等额分期收付款以及零存整取或整存零取储蓄等等，都存在年金问题。1、年金的终值与现值n n 年金终值是指一定时期内每期等额发生款项的复利终值的累加和。n n 年金现值是指一定时期内每期等额发生款项的复利现值的累加和。2、年金的分类n n 年金按其每次收付发生的时点不同分为：普通年金、先付年金、递延年金和永续年金。二、普通年金后付年金n n 普通年金是指一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称
2、后付年金。如图所示：1 2 3 4 5 A A A A A1、普通年金终值n n 由年金终值的定义可知，普通年金终值的计算公式为：F=A(1+i)n-1/i 其中(1+i)n-1/i，通常称为年金终值系数，记作（F/A，i，n）,可以直接查阅“1元年金终值系数表”。n n【例1】某企业准备在今后6年内，每年年末从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金？F=50000(F/A,6%,6)=50000 6.975=348750（元）n n【例2】某企业准备在6年后建造某一福利设施，届时需要资金348750元，若年利
3、率为6%，则该企业从现在开始每年年末应存入多少钱？答 案 很明显，此例是已知年金终值F，倒求年金A，是年金终值的逆运算。348750=A(F/A,6%,6)A=348750/(F/A,6%,6)=348750/6.975=50000(元)【例题3】n n 某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5年后付120万元，另一方案是从现在起每年末付20元，连续5年，若目前的银行存款利率是7%，应如何付款？2、普通年金现值n n 由年金现值的定义可知，普通年金现值的计算公式为：P=A 1-(1+i)-n/i 其中1-(1+i)-n/i，称为年金现值系数，记作（P/A，i，n），可以直接查阅“1元年金现值系数
4、表”来获取。n n【例1】某企业准备在今后的8年内，每年年末发放奖金70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱？答 案P=70000(P/A,12%,8)=70000 4.968=347760(元)n n【例2】某企业现在存入银行347760元，准备在今后的8年内等额取出，用于发放职工奖金，若年利率为12%，问每年年末可取出多少钱？答 案347760=A(P/A,12%,8)A=347760/(P/A,12%,8)=347760/4.968=70000（元）n n 很明显，此例是已知年金现值，倒求年金A，是年金现值的逆运算。【例题3】n n 某人拟购房，开发商提出两种方
5、案，一是现在一次性付80万元，另一方案是从现在起每年末付20万元，连续支付5年，若目前的银行利率是7%，应如何付款？总结（以10万元为例）项 项 目 目 终值 终值 现值 现值 关系 关系一次性款 一次性款 项 项（10 10 万元）万元）（1+i 1+i）n n10 10 复利 复利 终值 终值系数 系数（F/P F/P，i i，n n）（1+i 1+i）-n-n10 10 复利 复利 现值 现值系数 系数（P/F P/F，i i，n n）互 互 为 为 倒数 倒数普通年金 普通年金（10 10 万元）万元）10 10 年金 年金 终值 终值 系数 系数（F/A F/A，i i，n n）（倒
6、数：（倒数：偿债 偿债基金系数）基金系数）10 10 年金 年金 现值 现值 系数 系数（P/A P/A，i i，n n）（倒数：投（倒数：投 资 资回收系数）回收系数）3、年金A的确定n n【例1】拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为10%，每年需要存入多少元?n n【例2】假设以10%的利率借款20 000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的?4.系数间的关系名 名 称 称 系数之 系数之 间 间 的关系 的关系复利 复利 终值 终值 系数与复利 系数与复利 现 现值 值 系数 系数互 互 为 为 倒数 倒
7、数普通年金 普通年金 终值 终值 系数与 系数与 偿 偿债 债 基金系数 基金系数互 互 为 为 倒数 倒数普通年金 普通年金 现值 现值 系数与投 系数与投资 资 回收系数 回收系数互 互 为 为 倒数 倒数【例题1】n n 在利率和计算期相同的条件下，以下公式中，正确的是（）。n n A.普通年金终值系数普通年金现值系数=1n n B.普通年金终值系数偿债基金系数=1n n C.普通年金终值系数投资回收系数=1n n D.普通年金终值系数预付年金现值系数=1三、先付年金n n 先付年金是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称即付年金或预付年金。如图所示：A A A A A（先付年金）
8、（先付年金）A A A A A（后付年金）（后付年金）（1）先付年金终值n n比较可以看出，先付年金与后付年金的付款次数相比较可以看出，先付年金与后付年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，先付年金终值比后付同，但由于其付款时点不同，先付年金终值比后付年金终值年金终值多计算一期利息多计算一期利息。因此，在普通年金终值。因此，在普通年金终值的基础上乘上（的基础上乘上（1+i1+i）就是先付年金的终值。）就是先付年金的终值。A A A A A（先付年金）（先付年金）A A A A A（后付年金）（后付年金）n n 因此，先付年金的终值计算公式：S=A(1+i)n-1/i（1+i）=A(1+i)n
9、+1-1/i-1 其中(1+i)n+1-1/i-1 称为先付年金终值系数，记作（F/A，i，n+1）-1,可以直接查阅“1元年金终值系数表”来获取.方法2：n n 年金额预付年金终值系数=A（F/A，i，n1）-1 n n【例1】某企业准备在今后6年内，每年年初从利润留成中提取50000元存入银行，计划6年后，将这笔存款用于建造某一福利设施，若年利率为6%，问6年后共可以积累多少资金？答 案 S=50000(S/A,6%,6)(1+6%)=50000 6.975 1.06=369675（元）S=50000(S/A,6%,6+1)-1=50000（8.3938-1）=369690（元）（2）先付
10、年金现值n n 比较可以看出，先付年金与后付年金的付款次数相同，但由于其付款时点不同，后付年金现值比先付年金现值多折现一期。因此，在后付年金现值的基础上乘上（1+i）就是先付年金的现值。A A A A A（先付年金）（先付年金）A A A A A（后付年金）（后付年金）n n 因此，先付年金的现值计算公式：P=A 1-(1+i)-n/i（1+i）=A 1-(1+i)-（n）/i n n 其中1-(1+i)-（n）/i 称为先付年金现值系数，记作（/A，i，n1）1,可以直接查阅“1元年金终值系数表”来获取方法2：n n 预付年金现值=年金额预付年金现值系数=A（P/A，i，n-1）+1 n n
11、【例2】某企业准备在今后的8年内，每年年初从银行取出70000元，若年利率为12%，问该企业现在需向银行一次存入多少钱？答 案P=70000(P/A,12%,8)(1+12%)=70000 4.968 1.12=389491.2(元)P=70000(P/A,12%,8-1)+1=70000(4.5638+1)=389466（3）系数间的关系n n 预付年金终值系数与普通年金终值系数n n（1）期数加1，系数减1n n（2）预付年金终值系数=普通年金终值系数（1+i）n n 预付年金现值系数与普通年金现值系数n n（1）期数减1，系数加1n n（2）预付年金现值系数=普通年金现值系数（1+i）【
12、例题1多项选择题】n n下列关于资金时间价值系数关系的表述中，下列关于资金时间价值系数关系的表述中，正确的有正确的有()()。n nAA普通年金现值系数普通年金现值系数投资回收系数投资回收系数=1=1n nBB普通年金终值系数普通年金终值系数偿债基金系数偿债基金系数=1=1n nCC普通年金现值系数普通年金现值系数(1+(1+折现率折现率)=)=预付年预付年金现值系数金现值系数n nDD普通年金终值系数普通年金终值系数(1+(1+折现率折现率)=)=预付年预付年金终值系数金终值系数【例题2单项选择题】n n 已知（F/A，10%，9）=13.579，（F/A，10%，11）=18.531。则1
13、0年，10%的预付年金终值系数为（）。n n A.17.531 B.15.937 C.14.579 D.12.579【例题3计算分析题】n n 某人拟购房，开发商提出两种方案，一是5年后一次性付120万元，另一方案是从现在起每年年初付20万元，连续5年，若目前的银行存款利率是7%，应如何付款？四、递延年金n n 递延年金是指第一次收付款发生时间不在第一期期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项。A A An n 递延年金是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。一般用m表示递延期数，用n表示年金实际发生的期数（1）递延年金终值n n 递延年金终值的大小，与递延期限
14、无关，所以，计算方法跟普通年金计算方法一样。注意期限！A A An n F递=A（F/A,i,n)n n 结论：只与连续收支期（n）有关，与递延期（m）无关。（2）递延年金现值n n 则递延年金现值的计算方法有两种：a.分步折现法；b.相减法a.分步折现法：先折现到递延期 Pm=A（P/A，i，n）然后再折现到第一期 F=Pm P=F（P/F，i，m）b.相减法先求出（m+n）期的年金现值 Pn+m=A(P/A,i,n+m)把实际未折现的递延期的年金减去 P=Pn+m-pm=A(P/A,i,n+m)-A(P/A,i,m)例1 n n 某人拟在年初存入一笔资金，以便能从第六年末起每年取出1000
15、元，至第十年末取完。若银行存款利率为10%，此人应在现在一次存入银行多少钱？答 案 P=1000(P/A,10%,10)1000(P/A,10%,5)=1000 6.145 1000 3.791=2354（元）或P=1000(P/A,10%,5)(P/S,10%,5)=1000 3.791 0.621=2354（元）例题2单项选择题n n 有一项年金，前3年无流入，后5年每年年初流入500万元，假设年利率为10%，其现值为（）万元。n n A.1994.59 B.1565.68n n C.1813.48 D.1423.21例题3多项选择题n n 递延年金具有如下特点（）。n n A.年金的第一
16、次支付发生在若干期之后n n B.没有终值n n C.年金的现值与递延期无关n n D.年金的终值与递延期无关n n E.现值系数是普通年金系数的倒数五、永续年金n n 永续年金是无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。如图：如图：A A A A（1）终值和现值n n 没有由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。（2）现值的计算n n 通过普通年金现值计算可推导出永续年金现值的计算公式为：普通年金现值：P=A 1-(1+i)-n/i 当n趋于无穷大时：P=A/i例题1：n n 某项永久性奖学金，每年计划颁发50000元奖金。若年复利率
17、为8%，该奖学金的本金应为多少元？例题2n n 某人现在采用存本取息的方式存入银行一笔钱，希望今后无限期地每年年末能从银行取出1000元，若年利率为10%，则他现在应存入多少钱？P=A/I P=1000/10%=10000（元）（3）非标准永续年金：n n 例如：拟购买一支股票，预期公司最近两年不发股利，从第三年开始每年支付0.5元股利，若资金成本率为10%，则预期股利现值合计为多少？n n偿债基金是指偿债基金是指为了使年金终值达到既定金额每年末应支付的年金数额。六、偿债基金等额分付偿债基金公式n n 式中 式中i/(1+i)i/(1+i)n n-1-1为 为等额分付偿债基金 等额分付偿债基金
18、系数，记 系数，记为（为（A/F i,n)A/F i,n)n n 某公司5年后需一次性还一笔200万元的借款，存款利率为10%，从现在起企业每年等额存入银行多少偿债基金？例1：n n 解：A=200（A/F 10，5）万元 n n=200*0.1638万元n n=32.75万元七、投资回收基金n n 投资回收基金是指为了使年金现值达到既定金额每年末应支付的年金数额。等额分付现值计算公式n n n n 式中 式中i(1+i)i(1+i)n n/(1+i)/(1+i)n n-1-1为等额分付现值系数，为等额分付现值系数，记为（记为（A/P i,n)A/P i,n)n n 某工程初期总投资为1000
19、万元，利率为5%，问在10年内要将总投资连本带息收回，每年净收益应为多少？例1：解：解：A=1000A=1000（A/P 5A/P 5，1010）=1000*0.1295=129.5万元n n 现金流量图01 2 3n-1 nA1A1+GA1+2GA1+3GA1+(n-2)GA1+(n-1)G八、特殊变额分付均匀梯度系列公式式中i/1-n/i(A/F i,n)称为梯度系数，记为（A/G i,n)n n 若某人第1年支付一笔10000元的保险金，之后9年内每年少支付1000元，利率为8%。若10年内采用等额支付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保险计划?例1：解：解：A=10000-1000(A/GA=10000-1000(A/G，88，10)10)=10000-1000*3.8712=6128.4元