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1、多元微积分基础1第1页，本讲稿共21页硕士研究生入学统考数学试卷分为四种：工学：数学一、数学二经济学和管理学：数学三、数学四l 数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计l 数学二：高等数学，线性代数l 数学三：微积分，线性代数，概率论与数理统计l 数学四：微积分，线性代数，概率论数学一内容比例：高等数学 约56%线性代数 约22%概率论与数理统计 约22%2第2页，本讲稿共21页第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第三节 全微分及其应用第四节 多元复合函数的求导法第五节 隐函数的求导公式第六节 微分法在几何上的应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极
2、值及其求法3第3页，本讲稿共21页第一节 多元函数的基本概念一区域 一区域称为点 的 去心邻域.若不需要强调邻域半径 用 表示点的邻域。1.邻域:即称为点的 邻域。设 为 面上一定点,4第4页，本讲稿共21页2区域开集：若点集的点都是内点,则称点集为开集.边界：边界点的全体称为 的边界.是平面上一点，若存在设 是平面上一个点集,称点 为点集 的内点。内点：显然内点 例如 是开集。的边界是圆周：和边界点：称 为的边界点.若点的任一邻域内既有属于 的点,也有不属于 的点,5第5页，本讲稿共21页连通：设是开集，若对 内任意两点，都可用包含于 内的折线连结起来,则称 是连通的。区域或开区域：连通的开
3、集称为区域或开区域.为区域或开区域开区域连同它的边界一起，闭区域：称为闭区域。为闭区域。及D D 不连通 不连通开区域开区域闭区域闭区域6第6页，本讲稿共21页3.维空间有界的闭区域。例如,无界的开区域。有界点集与无界点集：对于点集 若使得与某一定点 间的距离 则称 为有界点集，否则称为无界点集。有界的开区域。无界的闭区域。数轴上：点 实数平面上：点空间中：点7第7页，本讲稿共21页设 为取定的一个自然数，的全体为 维空间。称 元有序数组 维空间：数 称为该点的第 个坐标维空间记为称为 维空间中的一个点。维空间中的两点 及间的距离为设 维空间中点集 则为点 的邻域。相应的可以定义点集的内点、边
4、界点、区域等概念。8第8页，本讲稿共21页二多元函数的概念 二多元函数的概念 例如：圆柱体的体积 长方体的体积类似可定义三元、四元函数，二元以上的函数称为多元函数 记为定义 设 是平面上一点集，若对 内每一点 变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称 是变量的二元函数（或点 的函数），点集 为其定义域 为其自变量，也称为因变量数集称为该函数的值域。（或）9第9页，本讲稿共21页例求下列函数的定义域：解(1)()()10第10页，本讲稿共21页二元函数的几何意义：在几何上表示空间曲面.如,平面;上半球面;旋转抛物面;上半锥面;11第11页，本讲稿共21页三多元函数的极限 三多元函数的极限 定义
5、2若对 当时,恒有 成立.记作 或 设函数 在区域 内有定义,是 的内点或边界点。则称常数 当时的极限,为 二元函数的极限称为二重极限。注：1、2二元函数的极限概念可以推广到 元函数（自己推）。12第12页，本讲稿共21页例2设 求证 证 对当 时,恒有 成立,所以 取要使 分析 分析:只要证 对 使得 当 时,成立,13第13页，本讲稿共21页例3证明 证对成立.取所以 当 时,14第14页，本讲稿共21页例4.讨论 是否存在?解极限值与 有关，当点 沿直线 时，趋于点 所以 不存在 二重极限的存在，时，函数值都接近于 注：反之，当 以不同方式趋于 时，函数值 趋于不同的值，则函数的极限不存
6、在。以任何方式趋于 是指 15第15页，本讲稿共21页例求极限 解例6求极限 解注：注：多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都可以应用于多元函数的极限运算。16第16页，本讲稿共21页四多元函数的连续性 四多元函数的连续性 若函数 在点 处不连续，则称点 为 的间断点 则称函数 若函数 内每一点连续，在区域 在 内连续，或称 内的连续函数。是 定义 若 则称函数 在点 处连续 设函数 在区域 内有定义,是 的内点或边界点,且 间断点(1)无定义的点 17第17页，本讲稿共21页例如，函数 间断点为：所以，点 是函数的间断点。再如，函数（孤立点）（函数无定义的点）(
7、极限不存在)（曲线）18第18页，本讲稿共21页在有界闭区域上多元连续函数具有性质：性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域 上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值。性质（介值定理）在有界闭区域 上的连续函数，一定能够 取得介于最大值和最小值之间的任何数值。多元初等函数（能用一个式子表示的函数）在其定义区域 内连续。设函数 为多元初等函数，其定义域为 且 E为一区域或闭区域，则 说明：说明：定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。19第19页，本讲稿共21页例7求下列极限：解20第20页，本讲稿共21页小结：1.平面点集：邻域、内点、开集、边界点、连通、区域（开区域）、闭区域、有界点集、无界点集、2.多元函数的定义、二元函数的定义 3.二重极限的定义，计算 4.二元函数的连续性定义、间断点 5.有界闭区域上多元连续函数的性质 维空间21第21页，本讲稿共21页