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1、复变函数分式线性变换1第1页，本讲稿共52页一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义2第2页，本讲稿共52页(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的3第3页，本讲稿共52页2 分式线性变换的分解4第4页，本讲稿共52页(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移5第5页，本讲稿共52页旋转与伸长(或缩短)变换平移映射6第6页，本讲稿共52页此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换.规定:无穷远点的对称点是圆心O.7第7页，本讲
2、稿共52页.即:8第8页，本讲稿共52页例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.9第9页，本讲稿共52页例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动点适合即上面系数不全为零,10第10页，本讲稿共52页这时(7.3)为有不动点11第11页，本讲稿共52页不动点二 分式线性变换的共形12第12页，本讲稿共52页定义7.3由定义7.3引入两个反演变换13第13页，本讲稿共52页3 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z 平面上是共形的.注 在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.14第14页，本讲稿共52页三 分式线
3、性变换的保交比性1定义7.4注15第15页，本讲稿共52页2 定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明因此16第16页，本讲稿共52页注因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.17第17页，本讲稿共52页3 定理7.9注 三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由18第18页，本讲稿共52页得同理，有因此，有19第19页，本讲稿共52页 由 此，我 们 可 以 解 出 分 式 线 性 函 数。由 此 也 显 然 得 这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有 由 此，我 们 可 以 解 出 分 式 线 性 函 数
4、。由 此 也 显 然 得 这样的分式线性函数也是唯一的。其 次，如 果 已 给 各 点 除 外 都 是 有 限 点。则所求分式线性函数有下列的形式：20第20页，本讲稿共52页例3求将 分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得21第21页，本讲稿共52页四 分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.22第22页，本讲稿共52页1 定理7.10 分 式 线 性 变 换 将 平 面 上 圆 周(或 直 线)变 为 圆周(或直线).注1 在扩充z 平面上,直线可视为过无穷远点的圆周.事实上,(7.1
5、1)可写成注2同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性.23第23页，本讲稿共52页24第24页，本讲稿共52页.25第25页，本讲稿共52页注3 在 扩 充z 平 面 上 给 定 区 域K 及D,其 边 界 是 的 圆 周,则K 可共形变换成D.注4例4试决定在分式线性变换下实轴与上半z平面及单位圆周 的像.解(1)因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面,26第26页，本讲稿共52页(2)扩充z 平面上的圆周由三个点决定,27第27页，本讲稿共52页五 分式线性变换的保对称性1定义7.5注证明“必要性”28第28页，本讲稿共52页则所以“充分
6、性”29第29页，本讲稿共52页.2 定理7.1证明30第30页，本讲稿共52页.31第31页，本讲稿共52页3 分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,32第32页，本讲稿共52页解由定理7.12,例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘33第33页，本讲稿共52页由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得34第34页，本讲稿共52页六 线性变换的应用 由 于 线 性 变 换 具 有 共 形 性,保 交 比 性,保 圆(圆 周)性 和保 对 称 点 性,它 在 处 理 边 界 为 圆 弧 或 直 线 的 区 域 变 换 中,起着重要的作用,下面介绍一些
7、类型.例635第35页，本讲稿共52页事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z 为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解36第36页，本讲稿共52页例7解故37第37页，本讲稿共52页即故 解该方程组得故所的线性变换为38第38页，本讲稿共52页例8解由线线变换的保对称性,39第39页，本讲稿共52页因此这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为40第40页，本讲稿共52页注1 确定变换(7.13)的k,只需再给一对边界对应点.注241第41页，本讲稿共52页例9解由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式42第42页，本讲稿共52页利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为43第43
8、页，本讲稿共52页注1确定变换(7.14)的k,只需再给一对边界对应点.注244第44页，本讲稿共52页例1045第45页，本讲稿共52页解作线线变换复合上述两个变换得整理得46第46页，本讲稿共52页即由得从而所求的变换为47第47页，本讲稿共52页例11解(1)先作伸缩变换(2)再作平移变换48第48页，本讲稿共52页使得于是(4)排列对应点49第49页，本讲稿共52页(5)将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为50第50页，本讲稿共52页51第51页，本讲稿共52页本节结束谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics52第52页，本讲稿共52页