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1、4.3.3余角和补角乌鲁木齐市第二中学乌鲁木齐市第二中学 雷晓英雷晓英一、情景引入一、情景引入最杰出的建筑师蜜蜂数学史话（一）（一）18世纪法国天文学家马拉尔弟经过实际测量后指出世纪法国天文学家马拉尔弟经过实际测量后指出蜂房底部菱形的两角分别是蜂房底部菱形的两角分别是 和和（二）人们猜想：认为用这样的角度来建造蜂房，在相同（二）人们猜想：认为用这样的角度来建造蜂房，在相同 的容积下最节省材料的容积下最节省材料（三）瑞士数学家克尼希通过数值计算推得：根据蜂房（三）瑞士数学家克尼希通过数值计算推得：根据蜂房 的构造法要使表面积最省料，其底部四边形的的构造法要使表面积最省料，其底部四边形的 两个角应
2、为两个角应为 和和 和，和，和马拉尔弟实际测量的数值有和马拉尔弟实际测量的数值有 之差！之差！（四）（四）1743年，美国数学家马克劳林得到更惊人的结果年，美国数学家马克劳林得到更惊人的结果得出四边形的两角度数与实际测量的值一致得出四边形的两角度数与实际测量的值一致 观察，菱形底部的这两个角具备怎样的数量关系呢？观察，菱形底部的这两个角具备怎样的数量关系呢？10902870032 1 1、两个角的和等于、两个角的和等于180180（平角），就说这两个角（平角），就说这两个角互为互为补角补角，简称互补，即其中一个角是另一个的，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。补角。几何语言表示为：几何语言表
3、示为：如果如果1+2=1801+2=180，那么，那么1 1与与2 2互为补角互为补角二由景而想，感受新知二由景而想，感受新知2121 1=180 2ABC思考：这是我们常用的一块三角板，思考：这是我们常用的一块三角板，问问A和和 B具有怎样的数量关系呢？具有怎样的数量关系呢？得到：得到：A B90 如图如图AOD=90 1+2=900AD2 2、两个角的和等于、两个角的和等于9090（直角），就说这两个（直角），就说这两个角互为角互为余角余角，简称互余，即其中一个角是另一个，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。角的余角。12几何语言表示为：几何语言表示为：如果如果1+2=901+2=90
4、，那么，那么1 1与与2 2互为余角互为余角 1=90 212（1 1 1 1）互余、互补是两个角的关系；）互余、互补是两个角的关系；）互余、互补是两个角的关系；）互余、互补是两个角的关系；1的余角是的余角是2，反之：，反之：2 的余角是的余角是1；1的补角是的补角是2，反之：，反之：2 的补角是的补角是1；（2 2 2 2）与他们的和（数值）有关，与位置无关；）与他们的和（数值）有关，与位置无关；）与他们的和（数值）有关，与位置无关；）与他们的和（数值）有关，与位置无关；（3 3 3 3）一个角为）一个角为）一个角为）一个角为X X X X0 0 0 0，则他的余角为，则他的余角为，则他的余
5、角为，则他的余角为 则他的补角为则他的补角为则他的补角为则他的补角为 1 1 1 1、2 2 2 2互为余角互为余角互为余角互为余角 1+2=901+2=901+2=901+2=901 1 1 1、2 2 2 2互为补角互为补角互为补角互为补角 1+2=1801+2=1801+2=1801+2=180（90-X90-X）0 0（180-X180-X）0 0特别说明：特别说明：练习：图中给出的各角，哪些互为余角？哪些互为练习：图中给出的各角，哪些互为余角？哪些互为补角？补角？10o30o60o80o100o120o150o170o活学活用活学活用.加深理解加深理解一个角是一个角是7039，求它的
6、余角和补角，求它的余角和补角 已知一个角的补角是这个角的余角的已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，倍，求这个角的度数。求这个角的度数。根据题意得：答：这个角为解：计算：一只闹钟，两点整的时候，一只闹钟，两点整的时候，时针与分针所夹的角时针与分针所夹的角是多少度？是多少度？若时针与分针所夹的角恰好是若时针与分针所夹的角恰好是的余角，的余角，此时刚好是整点，问应是几点整？此时刚好是整点，问应是几点整？此时所形成的两个余角之间具备怎样的大小此时所形成的两个余角之间具备怎样的大小关系？关系？结论：结论：同角的余角相等同角的余角相等 如图如图1 1 1 1 与与与与2 2 2 2互余，互余，互余，互余
7、，与与与与互余互余互余互余 ，如，如，如，如果果果果1 1 1 1那么那么那么那么2 2 2 2与与与与相等吗？为什么相等吗？为什么相等吗？为什么相等吗？为什么？余角的性质余角的性质等角的余角相等答；相等理由如下 1 1 与与2 2互余，互余，1+2=90，即 2=2=90 1；3 3与与4 4互余互余，90，即 90：=901=90 3即:2=4 1234一只闹钟，四点整的时候，时针与一只闹钟，四点整的时候，时针与分针所夹的角分针所夹的角是多少度？是多少度？若时针与分针所夹的角恰好是若时针与分针所夹的角恰好是的补角，的补角，此时刚好是整点，问应是几点整？此时刚好是整点，问应是几点整？此时所形
8、成的两个补角之间具备怎样的大小此时所形成的两个补角之间具备怎样的大小关系？关系？结论：同角的补角相等结论：同角的补角相等如果如果1与与2互补，互补，3与与4互补，互补，13，那，那么么2与与4有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？解解解解:1 1 与与2 2互补，互补，=180 3 3 与与4 4互补，互补，4=180 3又又 1 13,3,180 1=180 3，即即1 12 23 34 4补角的性质补角的性质等角的补角相等等角的补角相等1、同角或等角的余角相等。、同角或等角的余角相等。2、同角或等角的补角相等。、同角或等角的补角相等。探索规律，归纳性质探索规律，归纳性质下列图形中，有哪几
9、对互余、互补的角？下列图形中，有哪几对互余、互补的角？图中哪几对角是相等的角图中哪几对角是相等的角(直角除外直角除外)？为什？为什么么?余角、补角的概念：余角、补角的概念：余角、补角的性质：余角、补角的性质：（1）和为和为90的两个角称互为余角；的两个角称互为余角；（2）和为和为180的两个角称互为补角；的两个角称互为补角；（1）同角或等角的余角相等；同角或等角的余角相等；（2）同角或等角的补角相等；同角或等角的补角相等；今天我们学了什么？今天我们学了什么？四、小结四、小结（1）一个角的补角是它的余角）一个角的补角是它的余角4倍，求这个角倍，求这个角（2）画出（）中的这个角）画出（）中的这个角AOB（3）想办法画一个角，使它等于）想办法画一个角，使它等于AOB五、作业五、作业