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1、湍流模型及其在CFD 中的应用病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反过来影响湍流？一个例子病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生
2、理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内
3、环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程一、湍流及其数学描述1、湍流流动的特征 流体实验表明，当Reynolds 数小于某一临界值时，流动是平滑的，相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。当 Reynolds 数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界条件保持不变，流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生
4、理过程湍流流动的两个例子Larger Structures Smaller Structures病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡（turbulent eddies），简称涡（eddy）。n 从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随机的。n 大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起低频脉动的原因；n 小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流场尺
5、度的千分之一量级，是引起高频脉动的原因。湍流涡的特点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程涡的生成与耗散n 大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。n 最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机械能就耗散为流体的热能。n 同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡又不断产生，构成了湍流运动。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是均匀的、各向同性的，可以用经典的
6、统计理论进行分析。n 但实际上，湍流是不均匀的。湍流是流体力学中的难题病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程湍流的作用n 由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量，它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由于湍流流动引起的一种附加剪切应力 影响动量的输运过程。n 湍流的存在使传热和传质通量提高。n 由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的强化。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且
7、在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直接影响当地的湍流度。n 当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉动量与当地的湍流有密切的关系。n 强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地的湍流结构。外界因素对湍流的影响病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2、湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S 方程对于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量在
8、x、y 和z 方向的分量分别为u、v 和w，写出湍流瞬时控制方程如下：(1)(2a)(2b)(2c)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程定义时均量为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动，二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和进一步探讨。现在，引入Reynolds 平均法，任一变量 的时间平均定义为：(3)这里，上标“”代表对时间的平均值。如果用上标“、”代表脉动值，物理量的瞬时值、时均值 及脉动值之间的关系如下：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破
9、坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程时均量与脉动量的关系(4)现在用平均值和脉动值之和代替流动变量，即：(5)将（5）代入瞬时状态下的连续性方程（1）和动量方程（2），并对时间取平均，得到湍流时均流动的控制方程如下：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程湍流时均流动的控制方程(6)(7a)(7b)(7c)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程时均输运方程的统一形式(8)病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环
10、境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 以上是假设流体密度为常数；n 但是在实际流动中，密度可能是变化的。n Bradshaw 等指出，细微的密度变动并不对流动造成明显的影响n 在此，忽略密度脉动的影响，但考虑平均密度的变化，写出可压湍流平均流动的控制方程如下n 注意，为方便起见，除脉动值的时均值外，下式中去掉了表示时均值的上划线符号“”，如 用 表示密度脉动的影响病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程时均形式的连续方程时均形式的N-S 方程，又称 Reynolds 时均N-S 方程（简称RAN
11、S）（9）（10）湍流输运方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程标量 的时均输运方程（11）湍流输运方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程张量形式的时均输运方程（12）（13）（14）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程二、湍流的数值模拟方法简介1、三维湍流数值模拟方法的分类n 湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。n 所谓直接数值模拟方法是指
12、求解瞬时湍流控制方程。n 非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提到的时均性质的 Reynolds 方法就是其中的一种典型方法。n 根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds 平均法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2、直接数值模拟（DNS）简介n 直接数值模拟方法就是直接用瞬时的N-S 方程对湍
13、流进行计算，其最大的好处是无需对湍流流动做任何简化或近似，理论上能得到相对准确的计算结果。n 但是，DNS 要求网格划分的非常细，对计算机内存空间及计算速度要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3、大涡模拟（LES）简介由于就目前的计算能力而言，能够采用的计算网格的最小尺度仍然比最小涡的尺度要大许多。因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S 方程直接计算出来，对于小尺度涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成了大涡模拟法（
14、LES）。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程LES 方法的基本思想用 瞬 时 的N-S 方 程 直 接 模 拟 湍 流 中 的 大 尺 度 涡，不直 接 模 拟 小 尺 度 的 涡，而 小 涡 对 大 涡 的 影 响 通 过 近 似 的模型来考虑。LES 方 法 对 计 算 机 内 存 及CPU 速 度 要 求 仍 然 很 高，但是低于DNS 法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程4、Reynolds 平均法（RANS）简介n 虽然瞬时N-S
15、方程可以描述湍流，但是N-S 方程的非线性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化，是整体效果。n Reynolds 平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S 方程，而是想办法求解时均化的Reynolds 方程，这样不仅可以避免DNS 方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用要求。n Reynolds 平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Reynolds 时均法分类根据Reynolds 应力作出的假定或处理的方式
16、不同，目前常用的湍流模型有两类：Reynolds 应力模型和涡粘模型。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1）Reynolds 应力模型Reynolds 应力模型包括Reynolds 应力方程模型 代数应力方程模型2）涡粘模型在涡粘模型中，不直接处理Reynolds 应力项，而是引入湍流粘度（turbulent viscosity），或称湍流系数（eddy viscosity），然后把湍流应力表示成湍流粘度的函数，这个计算的关键在于确定这种湍流粘度。Reynolds 时均法分类病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内
17、环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型n 最早的湍流数学模型，一百多年前提出的n 针对二维边界层问题n 把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切应力，模仿层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（15）这里，为湍流粘度，为时均速度，是“Kronecker delta”符号（），k 为湍流动能（turbulent kinetic energy）：（16）Reynolds 应力与平均速度梯度的关系病原体侵入机体，消弱机体防御
18、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Boussinesq 形式n 在各向同性的前提下模仿层流输运，引入标量的各向同性湍流粘性（涡粘性）系数概念病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 湍流动力粘度t和湍流运动粘度t与层流中的 和 不同，后者是物性参数，由物质的分子决定的，而前者由流动特性所决定，依赖于流场中各点的湍流状态n Boussinesq 并没有直接建立起求解t和t的公式，但从式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一种值湍流粘度的特点（15）病原体侵入机体，消弱机体防御
19、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Reynolds 时均方程组通用形式n 通用变量 对各方程分别为1，vi，Ys，cpT 等，e/为输运系数，为湍流Prandtl 数或Schimidt 数，e t(+t)为有效粘性系数，t或t称为湍流粘性或涡流粘性系数，S为各方程源项。n 在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq 形式，湍流模型或湍流封闭的任务可归结为寻求t或t的表达式或者其输运方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n Boussinesq 建立起式（15）后，关
20、键问题变成如何求得t值，引导出各种求t的数学模型。n 这些模型分为两大类：n 早期提出的代数方程模型只能解释某些简单的流动模型普朗特于1925年提出的混合长度模型和冯卡门于1930年提出的相似律假设模型n 微分方程模型数学模型病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程零方程模型 一方程模型两方程模型 所谓的涡粘模型，就是把t 与湍流时均参数联系起来的关系式。依据确定t的微分方程的数量的多少，涡粘模型包括：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 目前两方程模
21、型在工程中使用最为广泛，最基本的两方程模型就是标准k-模型，即分别引入关于湍流动能k 和湍流耗散率 的方程。此外，还有各种改进的k-模型，其中比较著名的是RNG k-模型和Realizable k-模型。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程零方程模型所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是用代数关系式，把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds 方程组成方程组，把方程组中的Reynolds 应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。（12）（13）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环
22、境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程混合长度模型的出发点 零方程中最著名的是Prandtl 提出的混合长度模型（mixing length model）。该模型由两个类比的简单物理设想出发的。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1)层流粘性与湍流粘性的类比2)时均运动与脉动的量纲对比混合长度模型的出发点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由以上两个类比，混合长度模型的湍流封闭代数表达式（边界层问题中）病原体侵入机体，消弱
23、机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 直接用平均量梯度代数表达式来模拟Reynolds 时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。混合长度模型的特点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程例子：对边界层流动病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 对自由射流有：平面淹没射流圆淹没射流其中x 为沿流动方向，b为射流宽度。lm与横向距离y或r 无关 对充分发展管流有其中R 为
24、管半径，y为距管壁距离例子：自由射流、充分发展管流病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程V on Karman 给出公式 对浮力流动，如为稳定分层（Ri0），则有 其中Ri 称为梯度Richardson 数，为浮力梯度与速度梯度之比，lm0为无浮力时混合长度。17例子：浮力流病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 对不稳定分层（Ri 0），则有 其中2=14 浮力或Ri 越大则lm越小或湍流粘性越小，即浮力消弱湍流 湍流Prandtl 数T或Schmi
25、dt 数Y，由经验来确定例子：浮力流病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 在浮力流中，浮力对T的影响可表达为其中T0为无浮力时的湍流Prandtl 数上式意味着浮力越大（Ri 越大）则T越大或T及DT越小浮力的增大使湍流导热或湍流扩散减弱的程度比使湍流粘性减弱的程度更厉害例子：浮力流病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。
26、缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符 通道内中心线处T按该理论为零 栅网后方均匀流场中的T按该理论为零实际上，均不为零混合长度模型的优缺点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流（上游影响）和扩散（断面上的混合）均为零。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。混合长度模型的优缺点病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性
27、，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程湍流动能方程模型（单方程模型）n 为了使Reynolds 方程组封闭，对其中的关联项 等表征湍流特性的量继续写输运方程，其中的第一个就是Reynolds 应力输运方程n 周培源先生在四十年代提出的n 推导应力输运方程的出发点是瞬态的N-S 方程和时均Reynolds 方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推导方法1n 写出瞬时速度分量vi及vj的N S 方程n 将vj乘以vi的N S 方程与vi 乘以vj的N S 方程相加，得到vi vj的方程n 对上述方程进行Reyn
28、olds 展开，取时平均，得到 的方程n 将时均速度 乘以 的Reynolds 方程与 乘以 的Reynolds 方程相加，得到 的方程n 上述两者相减，便得到 的方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程推导方法2n 将瞬时速度vi的N S 方程与时平均速度 的Reynolds 方程相减，得到 的方程n 用类似办法得到 方程n 将vj乘以vi的方程与vi 乘以vj的方程相加，再取时平均，便得到 的方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程N-S 方程
29、右端浮力项按Boussinesq 近似应为 gi，此处用体膨胀系数 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n ik为粘性应力张量，由广义牛顿定律给出n 瞬时速度分量vj的N-S 方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程vivj的输运方程n 将vj乘以vi的N S 方程与vi 乘以vj的N S方程相加，得到vi vj的方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 对上式进行Reyno
30、lds 展开，即代入 取时平均，并考虑病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程时均速度 乘以 的Reynolds 方程加 乘以 的Reynolds 方程，得到 的输运方程由 的输运方程减去 的输运方程，可得 到Reynolds 应力 输运方程的精确形式注意：其中这些项可以被消去病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程左端第一、第二项分别为随时间变化
31、率及平均运动的对流，右端依次为湍流及分子扩散项、剪力产生项、浮力产生项、粘性耗散项及压力应变项病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Reynolds 应力诸分量中三个法向应力分量之和的一半称为湍流动能，即由上述Reynolds 应力输运方程的一般形式，当取i=j，并忽略其中压力应变项，可得到湍流动能k 的守恒方程的精确形式：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 上式中左端两项分别为湍流动能随时间变化率及平均运动造成的湍流动能对流；右端第一项为各方向脉
32、动，压强脉动及分子运动造成的湍流动能的输运，即湍流动能的湍流扩散再加上其分子扩散；右端第二项为湍流应力与平均速度梯度作用造成的湍流产生，即平均动能和湍能间的转化；右端第三项为浮力造成的湍能产生（或销毁），即湍能与重力位能间的转化，或自然对流对湍流的影响；右端最后一项为湍能的粘性耗散病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 湍流脉动是一种能量，是总体动能（时均动能加脉动动能）的一部分n 服从一般输运定理或守恒定理 有对流、扩散、产生及耗散n 有学者提出由求解湍流特性（包括湍能）的微分方程来确定湍流粘性，规定病原体侵入机体，消
33、弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程n 所谓湍能方程模型或单方程模型封闭法，就是首先用模拟法封闭k 方程，然后再由代数式给定l，从而使Reynolds 时均方程组封闭n k 方程右端的二阶及三阶关联项未知精确形式的k 方程不封闭n 需用模拟假设使三阶关联项降阶，并使二阶关联项表达为平均量的函数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 基本思路受分子输运及混合长度模型的启发，用梯度模拟 取应力正比于速度梯度，质量流正比于浓度梯度，热流正比于温度梯度 扩散项 剪力产生项 浮
34、力产生项病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对耗散项由量纲分析，取而因此有耗散项：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程模拟后的k方程其中已经广为应用的k 方程，l 仍需由经验式给定病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程边界层中湍能方程及其简化无浮力的平面二维边界层流动，k 方程可化为如果忽略非定常项、对流及扩散，取局部平衡关系，即令产生项等于耗散项，则有病原体侵入机体，消弱机体
35、防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程由定义可知则可以写或由此得到 或上两个式子就是混合长度模型的表达式混合长度模型是单方程模型的极端情况，或其简化形式（忽视对流与扩散）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对单方程模型的评价n 单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能经历效应（对流）及混合效应（扩散）n 但是要用单方程模型封闭，必须预先给定l 的代数表达式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程标准
36、k-两方程模型标准k-模型是在上面介绍的单方程模型的基础上，新引入一个关于湍流耗散率 的方程后形成的。该模型是目前使用最广泛的湍流模型。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程k 双方程模型n 湍流由各种不同尺寸的涡团所构成n 大涡团是脉动能量的主要携带者 含能涡团n 小涡团为耗散涡团n 湍流涡团尺度是可以输运的量n 各种涡团的输运及其间相互作用，涡团尺度在流场中也有对流、扩散、产生（小涡团的耗散生产大涡团）及耗散（大涡团拉伸成小涡团）病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不
37、同程度的病理生理过程 湍流尺度l 的输运方程 推广言之，对湍流粘性T=c k1/2l Spalding 和Launder 曾总结出一个广义的第二参量z=kmln，一般形式的z 方程：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程不同学者推荐的不同的z符号z=kmln提出者 双方程f k1/2/l俄国学者k-f k3/2/l周培源Harlow-Nukayamak-l lRodi,Spaldingk-lkl kl Ng,Spalding k-klw k/l2Spalding k-w其中k-双方程模型的应用及经受的检验最为普遍病原体侵入
38、机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程标准k-模型的定义在关于湍动能k 的方程的基础上，再引入一个关于湍动耗散率 的方程，便形成了k-两方程模型，称为标准k-模型（standard k-model）。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate）的 被定义为：（19）湍动粘度 可表示成k 和 的函数，即：其中，C为经验常数。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程原始的 方程 与推导k 方程类似 设湍流各向同性，忽略某些各向异性部
39、分，得到 输运方程的原始形式，或有条件地称为 的精确方程 左端第一，第二项分别为时间变化率及对流，右端第一、第二、第三、第四项分别为湍流扩散、分子扩散、产生项（涡旋拉伸）及粘性耗散项病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程封闭后的 方程n 对扩散项采用梯度模拟n 由一般概念出发，设 的产生和耗散正比于k的产生和耗散n 由量纲分析n 方程的源项可模拟为n 方程病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程在标准k-模型中，k 和 是两个基本未知量，与之相对应的输运
40、方程为：（20）（21）其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2 和C3 为经验常数，k和分别是与湍动能k 和耗散率对应的Prandtl 数，Sk和S是用户定义的源项。标准k-模型病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项，由下式计算：（22）Gb是由于浮力引起的湍动能k 的产生项，对于不可压流体，Gb=0。对于可压流体，有：（23）标准k-模型中的有关公式病原体侵入机体，消弱机体防御
41、机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程Prt是湍动Prandtl 数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i 方向的分量，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：（24）YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：（25）其中，Mt是湍流Mach 数，标准k-模型中的有关公式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 在标准的k-模型中，根据Launder 等的推荐值及后来的实验验证，模型常数 的取值为：（26）对于可压缩
42、流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3=0。标准k-模型中的系数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程根据以上分析，当流体为不可压，且不考虑用户自定义源项时，（27）（28）这时，标准k-模型变为：病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程采用标准k-模型求解流动及换热问题时，控制方程包括连续性方程、动量方程、能量方程、k 方程、方程与式（20）。若不考虑热交换的单纯流场计算问题，则
43、不需要包含能量方程。如考虑传质或者有化学变化的情况，则应再加入组分方程。这些方程都可以表示为下面通用形式：（29）若用散度符号，上式记为：（30）标准k-模型的控制方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程方程 扩散系数 源项S连续 1 0 0 x-动量uy-动量vz-动量w湍动能 k耗散率 能量 TS按实际问题而定标准k-模型的控制方程组病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程在将各变量的控制方程都写成式（30）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求
44、解方法可以得到统一，不同变量的区别仅在于扩散系数、广义源项及初值、边界条件这三方面。标准k-模型的解法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程1）模型中的有关系数，主要根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。在数值计算的过程中，针对特定的问题，参考相关文献，寻求更合理的取值。标准k-模型的适用性病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程2）上述k-模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，是一种针对高Re
45、数的湍流计算模型，而当Re 数较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对Re 数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re 数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法和低Re 数的k-模型。标准k-模型的适用性病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程3）标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强旋流、
46、弯曲壁面流动或弯曲流线流动时，会产生一定失真。原因是在标准k-模型中，对于Reynolds 应力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是各向异性的，t应该是各向异性的张量。标准k-模型的适用性病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程在RNG k-模型中，通过在大尺度运动和修正后的粘度项体现小尺度的影响，而使这些小尺度运动有系统地从控制方程中去除。所得到的k 方程和 方程，与标准k-模型非常相似：（31）（32）RNG k-模型病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的
47、相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程其中，（33）RNG k-模型中的系数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程RNG k-模型主要变化是：1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋流流动情况；2）在 方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样，RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。从而，RNG k-模型可以更好处理高应变率及流线弯曲程度较大的流动。RNG k-模型与标准k-模型的比较病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相
48、对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 需要注意的是，RNG k-模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高Re 数的湍流计算模型，而对近壁区内的流动及Re 数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法或低Re 数的k-模型来模拟。此外，需要说明一点，在FLUENT 手册中，将RNG k-模型所引入的反映主流的时均应变率Eij的一项，归入了 方程中的C2 系数中，且表达式多了一个系数C，而不像这里归入C1 系数。这两种处理方式实质上是一样的。RNG k-模型病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 标准k-
49、模型对时均应变率特别大的情况，有可能导致负的正压力。为使流动符合湍流的物理定律，需要对正应力进行某种数学约束。为保证这种约束的实现，认为湍流粘度计算式中的系数C不应是常数，而应与应变率联系起来。从而，提出了Realizable k-模型。这里，Realizable 有“可实现”的意思。Realizble k-模型病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（34）（35）其中，（36）Realizble k-模型形式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程式中
50、，与 C按下式计算：（37）（38）Realizble k-模型中的系数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程（39）其中，Realizble k-模型中的系数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程 上面的 是从角速度k为参考系中观察到的时均转动速率张量，显然对无旋转的流场，上式中 计算式根号中的第二项为零，这一项是专门用以表示旋转影响的，也是本模型的特点之一。Realizble k-模型中的系数病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳