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1、病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程第4 章 对偶原理o 4.1 线性规划中的对偶理论o 4.2 对偶单纯形法病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程原问题与对偶问题o 线性规划中普遍存在着配对的现象，即对每一个线性规划问题，都存在另一个与之密切联系的线性规划问题，其中之一称为原问题，而另一个成为它的对偶问题。o 对偶问题深刻揭示了每对问题中原问题与对偶问题的内在联系。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，
2、引起不同程度的病理生理过程【例】原问题与对偶问题o 某工厂拟生产甲、乙两种产品，需消耗煤、电、油三种资源。有关数据如表所示：产品资源单耗资源 甲 乙 资源限量煤（t）9 4 360 电（kWh）4 5 200 油（t）3 10 300 单位产品价格（万元）7 12 问题一：试拟订使总收入最大的生产方案。问题二：若厂家不再打算生产甲、乙产品，而是打算将其资源全部卖掉。厂家要求：其收入不低于生产产品时的收入；买方希望：原料价格越低越好。试拟定能够保证卖方收入且使买方支出最小的定价方案。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程问题
3、二：试拟定能够保证卖方收入且使买方支出最小的定价方案。解：设煤、电、油三种资源的定价分别为y1,y2,y3，买方总支出为w。【例】原问题与对偶问题问题一：试拟订使总收入最大的生产方案。解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位，总收入为z。o 下面将会看到，这两个问题互为对偶问题，其中一个称为原问题，则另一问题就是它的对偶问题。资源 甲 乙 数量煤 9 4 360 电 4 5 200 油3 10 300 单价7 12 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶问题的表述对称形式 原问题 对偶问题o 其中 是 矩阵，是m 维列
4、向量，是n 维行向量，是由原问题的变量组成的n 维列向量，是由对偶问题的变量组成的 m 维行向量。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶问题的表述 非对称形式 对称形式o 原问题：o 对偶问题非对称形式病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶问题的表述（一般形式）原问题对偶问题病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程原问题与对偶问题间的相互转换关系 原问题（或对偶问题）一 一
5、对 应对偶问题（或原问题）min 问题 max 问题有m 个约束条件,n 个变量 有m 个变量,n 个约束条件第i 个约束条件为 关系 第i 个变量0第i 个约束条件为 关系 第i 个变量0第i 个约束条件为等式关系 第i 个变量无非负约束，是自由变量第j 个变量0 第j 个约束条件为 关系第j 个变量0 第j 个约束条件为 关系第j 个变量无非负约束，是自由变量 第j 个约束条件为关系病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶问题的基本性质o 对偶问题的对偶是原问题。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对
6、稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶定理（以对称对偶形式叙述）【定理4.1.1】若 和 分别是(4.1.1)和(4.1.2)的可行解，则。（可得到以下重要推论：）n 若 和 分别是(4.1.1)和(4.1.2)的可行解，且 则 和 分别是(4.1.1)和(4.1.2)的最优解。n 对偶规划(4.1.1)和(4.1.2)有最优解的充要条件是它们同时有可行解。n 若原问题(4.1.1)的目标函数值在可行域上无下界，则对偶问题(4.1.2)无可行解；反之，若对偶问题(4.1.2)的目标函数值在可行域上无上界，则原问题(4.1.1)无可行解。（4.1.1）（4.1.2）病原体侵
7、入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶定理（以对称对偶形式叙述）【定理4.1.2】设原问题或对偶问题中有一个问题存在最优解，则另一个问题也存在最优解，且两个问题的目标函数值相等。【推论】若线性规划(4.1.1)存在一个对应基B 的最优基本可行解，则单纯形乘子 是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问题的一个最优解。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶问题的基本性质o 互补松弛性质（见教材）o 对于
8、对偶规划，当知道一个问题的最优解时，根据互补松弛定理求出另一个问题的最优解。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶可行的基本解o 考虑线性规划问题(4.2.1)o 定义:设 x(0)是(4.2.1)式的一个基本解，它对应的基矩阵为B，记w=cBB-1，若 w 是(4.2.1)式的对偶问题的可行解，即对所有j，成立，则称 x(0)为原问题的对偶可行的基本解。称为方程组的一个基本解病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶单纯形法的基本思想o 从原问题
9、的一个对偶可行的基本解出发，求改进的对偶可行的基本解，当得到的对偶可行的基本解是原问题的可行解时，就达到最优解。o 这里改进的对偶可行的基本解的含义是：根据定义，对每个对偶可行的基本解 都对应一个对偶问题的可行解w=cBB-1，相应的对偶问题的目标函数值为wb=cBB-1b。所谓改进的对偶可行的基本解，是指对于原问题的这个基本解，相应的对偶问题的目标函数值wb 有改进。病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程对偶单纯形法的基本思想o 求改进的对偶可行的基本解的过程，也就是选择离基变量和进基变量，进行主元消去的过程。这与单纯形方法有类似之处。o 与前面介绍的单纯形法的区别在于：在单纯形法的迭代过程中，始终保持右端列(目标函数值除外)非负，即保持原问题的可行性；而在对偶单纯形法中，要保持所有的判别数(对于极小化问题)，即保持对偶可行性。（当然，在每次迭代中不要求右端列各分量均非负，正因为如此，也就不需要引入人工变量。）