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1、会计学 1田间试验 曲线回归n n 曲线回归(curvilinear regression)或非线性回归(non-linear regression)：两个变数间呈现曲线关系的回归。n n 曲线回归分析或非线性回归分析：以最小二乘法分析曲线关系资料在数量变化上的特征和规律的方法。第1 页/共36 页n n 曲线回归分析方法的主要内容有：n n 确定两个 确定两个 变 变 数 数 间 间 数量 数量 变 变 化的某种特定的 化的某种特定的 规则 规则 或 或规 规 律；律；n n 估 估 计 计 表示 表示 该 该 种曲 种曲 线 线 关系特点的一些重要参数，关系特点的一些重要参数，如回 如回
2、归 归 参数、极大 参数、极大 值 值、极小、极小 值 值 和 和 渐 渐 近 近 值 值 等；等；n n 为 为 生 生 产预测 产预测 或 或 试验 试验 控制 控制 进 进 行内插，或在 行内插，或在 论 论 据充 据充足 足 时 时 作出理 作出理 论 论 上的外推。上的外推。第2 页/共36 页第一节曲线的类型与特点n n一、指数函数曲线一、指数函数曲线n n二、对数函数曲线二、对数函数曲线n n三、幂函数曲线三、幂函数曲线n n四、双曲函数曲线四、双曲函数曲线n n五、五、SS型曲线型曲线第3 页/共36 页一、指数函数曲线 一、指数函数曲线n n 指数函数方程有两种形式：指数函数
3、方程有两种形式：图 图11.1 11.1 方程 方程 的图象 的图象第4 页/共36 页n n 二、对数函数曲线n n 对数函数方程的一般表达式为：对数函数方程的一般表达式为：图 图11.2 11.2 方程 方程=a a+b b ln lnx x 的图象 的图象第5 页/共36 页n n 三、幂函数曲线n n 幂 幂 函数曲 函数曲 线 线 指 指y y 是 是x x 某次 某次 幂 幂 的函数曲 的函数曲 线 线，其方程，其方程 为 为：图 图11.3 11.3 方程 方程 的图象 的图象 第6 页/共36 页n n 四、双曲函数曲线n n 双曲函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程 双曲
4、函数因其属于变形双曲线而得名，其曲线方程一般有以下 一般有以下3 3 种形式：种形式：图 图11.4 11.4 方程 方程 的图象 的图象第7 页/共36 页n n 五、S型曲线n n S S 型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，故又称生长曲线。故又称生长曲线。n n Logistic Logistic 曲 曲 线 线 方程 方程 为 为：第8 页/共36 页第二节曲线方程的配置n n 一、曲线回归分析的一般程序n n 二、指数曲线方程 的配置n n 三、幂函数曲线方程的配置n n 四、Logistic曲线方程的配置第9 页/共36 页一、曲线回
5、归分析的一般程序 一、曲线回归分析的一般程序n n 曲 曲 线 线 方程配置 方程配置(curve fitting)(curve fitting)：是指 是指 对 对 两个 两个 变 变 数 数 资 资 料 料进 进 行曲 行曲 线 线 回 回 归 归 分析，分析，获 获 得一个 得一个 显 显 著的曲 著的曲 线 线 方程的 方程的 过 过程。程。n n 由 由 试验 试验 数据配置曲 数据配置曲 线 线 回 回 归 归 方程，一般包括以下 方程，一般包括以下3 3 个 个基本步 基本步 骤 骤：第10 页/共36 页n n 1 1 根据 根据 变 变 数 数X X 与 与Y Y 之 之 间
6、 间 的确切关系，的确切关系，选择 选择 适当的 适当的曲 曲 线类 线类 型。型。n n 2 2 对选 对选 定的曲 定的曲 线类 线类 型，在 型，在 线 线 性化后按最小二乘法 性化后按最小二乘法原理配置直 原理配置直 线 线 回 回 归 归 方程，并作 方程，并作 显 显 著性 著性 测验 测验。n n 3 3 将直 将直 线 线 回 回 归 归 方程 方程 转换 转换 成相 成相 应 应 的曲 的曲 线 线 回 回 归 归 方程，方程，并 并 对 对 有关 有关 统计 统计 参数作出推断。参数作出推断。第11 页/共36 页表 表11.1 11.1 常用曲线回归方程的直线化方法 常用
7、曲线回归方程的直线化方法第12 页/共36 页n n 应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下 应用上述程序配置曲线方程时，应注意以下3 3 点：点：n n(1)(1)若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，若同一资料有多种不同类型的曲线方程配置，需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 需通过判断来选择。统计标准是离回归平方和 最小的当选。最小的当选。n n(2)(2)若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多 若转换无法找出显著的直线化方程，可采用多项式逼近，项式逼近，n n(3)(3)当一些方程无法 当一些方程无法 进 进 行直 行直 线 线 化 化 转换 转换，可采用最小，可采用最小二乘法
8、 二乘法 拟 拟 合。合。第13 页/共36 页二、指数曲线方程二、指数曲线方程 的配置的配置n n(11(11 1)1)n n 两 两 边 边 取 取 对 对 数 数：(11(11 2)2)n n 令 令，可得直线回归方程 可得直线回归方程：(11(11 3)3)n n 若 若 与 与x x 的线性相关系数 的线性相关系数：(11(11 4)4)第14 页/共36 页n n 显著，就可进一步计算回归统计数：显著，就可进一步计算回归统计数：(11(11 5)5)n n 三、幂函数曲线方程 的配置(11(11 6)6)第15 页/共36 页n n 当 当 y y 和 和 x x 都大于 都大于0
9、 0 时可线性化为 时可线性化为：(117)(117)n n 若令 若令，即有线性回归方程：，即有线性回归方程：(118)(118)n n 若 若 线性相关系数：线性相关系数：(119)(119)第16 页/共36 页n n 显著，回归统计数：显著，回归统计数：n n(11(11 10)10)n n 四、四、Logistic曲线方程的配置n n（a a、b b、k k 均 均0 0）(11(11 11)11)第17 页/共36 页n n K K 可由两种方法估 可由两种方法估 计 计：n n 如果 如果y y 是累积频率，则显然 是累积频率，则显然k k=100%=100%；n n 如果 如果
10、y y 是生长量或繁殖量，则可取 是生长量或繁殖量，则可取3 3 对观察值 对观察值（x x1 1，y y1 1）、（）、（x x2 2，y y2 2）、和（）、和（x x3 3，y y3 3），代入），代入(11(11 11)11)得：得：第18 页/共36 页n n 若令 若令，解得：，解得：移项，取自然对数得：移项，取自然对数得：(1113)(1112)第19 页/共36 页n n 令 令，可得直，可得直 线 线 回 回 归 归 方程 方程：(11(11 14)14)n n 和 和 x x 的相关系数 的相关系数：(11(11 15)15)n n 回归统计数 回归统计数 a a 和 和
11、b b 由下式估计：由下式估计：第20 页/共36 页(1116)第21 页/共36 页第三节多项式回归n n 一、多项式回归方程一、多项式回归方程n n 二、多项式回归的假设测二、多项式回归的假设测验验第22 页/共36 页一、多项式回归方程一、多项式回归方程n n(一 一)多项式回归方程式n n 多 多 项 项 式回 式回 归 归(polynomial regression)(polynomial regression)：当两个：当两个 变 变 数 数间 间 的曲 的曲 线 线 关系很 关系很 难 难 确定 确定 时 时，可以使用多，可以使用多 项 项 式去逼近。式去逼近。n n 二次多项
12、式，其方程为：二次多项式，其方程为：(11(11 17)17)第23 页/共36 页n n 三次多项式的方程式为：三次多项式的方程式为：(11(11 18)18)第24 页/共36 页n n 多项式方程的一般形式为：多项式方程的一般形式为：(11(11 19)19)n n(二 二)多项式方程次数的初步确定 多项式方程次数的初步确定n n 多 多 项 项 式回 式回 归 归 方程取的次数：散点所表 方程取的次数：散点所表 现 现 的曲 的曲 线趋 线趋势 势 的峰数谷数。若散点波 的峰数谷数。若散点波 动较 动较 大或峰谷两 大或峰谷两侧 侧 不 不 对 对 称，可再高一次。称，可再高一次。第2
13、5 页/共36 页n n(三 三)多项式回归统计数的计算 多项式回归统计数的计算n n 可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归 可采用类似于多元线性回归的方法求解多项式回归的统计数。的统计数。n n 令，(11(11 19)19)可 可化为：化为：(11(11 20)20)第26 页/共36 页n n 可采用矩阵方法求解。即由 可采用矩阵方法求解。即由和第27 页/共36 页n n 求得 求得、和 和()()-1-1，并由 并由 b b=()=()-1-1()()获得相应的多项式回归统计数 获得相应的多项式回归统计数。n n(四 四)多项式回归方程的估计标准误n n y y 的总平方和
14、的总平方和 SS SSy y 可分解为回归和离回归两部分：可分解为回归和离回归两部分：SSy=Uk+Qk(1121)第28 页/共36 页 n n k k 次多 次多 项 项 式的离回 式的离回 归标 归标 准 准 误 误 可定 可定 义为 义为：n n 即是多项式回归方程的估计标准误。即是多项式回归方程的估计标准误。(1122)(1123)第29 页/共36 页n n 二、多项式回归的假设测验n n 多 多 项 项 式回 式回 归 归 的 的 假 假 设测验 设测验 包括三 包括三 项 项 内容 内容：n n 总 总 的多 的多 项 项 式回 式回 归 归 关系是否成立？关系是否成立？n n
15、 能否以 能否以k k-1-1 次多 次多 项 项 式代替 式代替k k 次多 次多 项 项 式，即是否有必 式，即是否有必要配到 要配到k k 次式？次式？n n 在一个 在一个k k 次多 次多 项 项 式中，式中，X X 的一次分量 的一次分量 项 项、二次分、二次分量 量 项 项、k k-1-1 次分量 次分量 项 项 能否被略去 能否被略去(相 相 应 应 的自由度 的自由度和平方和并入 和平方和并入 误 误 差 差)？第30 页/共36 页n n(一 一)多项式回归关系的假设测验 多项式回归关系的假设测验n n 多 多 项 项 式回 式回 归 归(U Uk k)由 由X X 的各次
16、分量 的各次分量 项 项 的不同所引起，的不同所引起，具有：具有：。n n 离回 离回 归 归(Q Qk k)：与：与X X 的不同无，具有 的不同无，具有。n n 可测验多项式回归关系的真实性。可测验多项式回归关系的真实性。(1124)第31 页/共36 页n n 相关指数：相关指数：，k k 次多 次多 项 项 式的回 式的回 归 归 平方 平方 和占 和占Y Y 总 总 平方和的比率的平方根 平方和的比率的平方根 值 值，可用来表示，可用来表示Y Y 与 与X X 的多 的多 项 项 式的相关密切程度。式的相关密切程度。n n 决定系数：在 决定系数：在Y Y 的 的 总变 总变 异中，
17、可由 异中，可由X X 的 的k k 次多 次多 项 项 式 式说 说 明的部分所占的比率。明的部分所占的比率。(1125)第32 页/共36 页n n(二 二)k k 次多项式必要性的假设测验 次多项式必要性的假设测验n n 若 若k k 次多 次多 项 项 式的 式的k k 次 次 项 项 不 不 显 显 著，可由（著，可由（k-k-1 1）次方程）次方程描述 描述Y Y 与 与X X 的曲 的曲 线 线 关系。关系。n n 有必要测验多项式增加一次所用去的 有必要测验多项式增加一次所用去的1 1 个自由度，个自由度，对于离回归平方和的减少 对于离回归平方和的减少(或回归平方和的增加 或回归平方和的增加)是 是否 否“合算 合算”。因此由：。因此由：第33 页/共36 页(11(11 27)27)n n 可 可 测验 测验k k 次多 次多 项 项 式的适合性。式的适合性。n n(三)各次分量项的假设测验n n 偏回归平方和：偏回归平方和：(1128)第34 页/共36 页n n 此 此 具有 具有，故由：，故由：可 可 测验 测验i i 次分量是否 次分量是否 显 显 著。著。(1129)第35 页/共36 页