统计学第七章方差分析.pptx

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1、会计学 1统计学第七章方差分析 因此，食品制造商可以对麦片成份及甜味剂类型给予充分的关注以生产更合儿童口味的麦片，而对制作时间不必太介意。方差分析可以用来分析不同因素（如上例中小麦与玉米的比例、甜味剂类型、制作时间）对总体特征是否有显著影响。所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均

2、值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源第1页/共45页 方差分析主要用来对 方差分析主要用来对 多个总体均值是否相等 多个总体均值是否相等 作 作出假设检验 出假设检验。例：例：某饮料制造商生产一种新型饮料，共有 某饮料制造商生产一种新型饮料，共有四种颜色：四种颜色：(1)(1)橘黄、橘黄、(2)(2)粉红、粉红、(3)(3)绿色、绿色、(4)(4)无色。无色。该制造商想知道颜色是否对销售量有显著影 该制造商想知道颜色是否对销售量有显著影响 响，随机抽取了，随机抽取了5 5家超市前一期的销售量（下表）家超市前一期的销售量（下表）进行分析。进行分析。一、方差分析的内容第2页/共

3、45页 下表 四种饮料销售量情况 样本均值 27.32 29.56 26.44 31.46 样本方差 2.67 2.14 3.31 1.66 样本标准差 1.64 1.46 1.82 1.29 四种颜色可以看作是四个总体 四种颜色可以看作是四个总体第3页/共45页其中，其中，i i(I=1,2,3,4)(I=1,2,3,4)表示所有饮料（无色、粉红、橘黄、绿色）表示所有饮料（无色、粉红、橘黄、绿色）销售量之均值。销售量之均值。样本来自于一个相同的总体样本来自于不同的总体 要知道颜色是否对饮料销售有显著影响，就是要知道四种颜色饮料销售量的均值是否有显著差异，即进行下述假设检验：H0:1=2=3=

4、4 H1:四个总体均值不全相等第4页/共45页 1 1、相关术语、相关术语 因素 因素：是一个独立的变量，是方差分析的研究 是一个独立的变量，是方差分析的研究对象 对象（上例中的饮料（上例中的饮料 颜色 颜色）；）；二、方差分析的假设 单因素方差分析：只针对一个因素进行分析；多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。水平：因素中的内容（上例中饮料的四种颜色：无色、粉色、橘黄色、绿色）第5页/共45页2 2、进行方差分析必须满足如、进行方差分析必须满足如下 下 假设 假设（1）每个总体的相应变量（因素）服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 对于因素的每

5、一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布（2）所有总体相应变量（因素）的方差相等2 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同（3）不同观察值（水平）相互独立（每个样本点的取值不影响其他样本点的取值）比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立第6页/共45页1.1.在 在上 上述 述假 假定 定条 条件 件下

6、 下，判 判断 断颜 颜色 色对 对销 销售 售量 量是 是否 否有 有显 显著 著影 影响 响，实 实际 际上 上也 也就 就是 是检 检验 验具 具有 有同 同方 方差 差的四个正态总体的均值是否相等的问题 的四个正态总体的均值是否相等的问题 2.2.如 如果 果四 四个 个总 总体 体的 的均 均值 值相 相等 等，可 可以 以期 期望 望四 四个 个样 样本的均值也会很接近 本的均值也会很接近 四 四个 个样 样本 本的 的均 均值 值越 越接 接近 近，我 我们 们推 推断 断四 四个 个总 总体 体均 均值相等的证据也就越充分 值相等的证据也就越充分 样 样本 本均 均值 值越 越

7、不 不同 同，我 我们 们推 推断 断总 总体 体均 均值 值不 不同 同的 的证 证据就越充分 据就越充分 第7页/共45页n n 如果原假设成立，即 如果原假设成立，即H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4n n 四种颜色饮料销售的均值都相等 四种颜色饮料销售的均值都相等n n 没有系统误差 没有系统误差n n 这意味着每个样本都来自均值为 这意味着每个样本都来自均值为、差为、差为 2 2的 的同一正态总体 同一正态总体 XXXf(X)f(X)f(X)1 1 2 2 3 3 4 4 第8页/共45页n n 如果备择假设成立，即 如果备择假设成立，即H H1 1:i i(i i=1=1

8、，2 2，3 3，4)4)不全相等 不全相等n n 至少有一个总体的均值是不同的 至少有一个总体的均值是不同的n n 有系统误差 有系统误差n n 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 体 XXXf(X)f(X)f(X)3 3 1 1 2 2 4 4 第9页/共45页 观察值之间的差异来自两个方面：观察值之间的差异来自两个方面：某因素不同水平的影响（系统性影响）其他随机因素的影响（随机性影响）水平间方差（组间方差）水平内方差（组内方差）三、方差分析的原理 如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统性影响），只剩下随机性影响，因

9、此组间方差与组内方差差别不大，它们的比接近于1。如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系统性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。第10页/共45页二、单因素方差分析的步骤 提出假设 提出假设 构造检验统计量 构造检验统计量 统计决策 统计决策第11页/共45页提出假设1.1.一般提法HH00:11=22=kk(因因素素有有kk个个水平）水平）HH11:11，22，kk不全相等不全相等2.2.对前面的例子HH00:11=22=33=44 颜色对销售量没有影响 颜色对销售量没有影响HH00:11，22，33，44不全相等不全相等 颜色对销售量有影响 颜色对销售量有影

10、响第12页/共45页构造检验的统计量1.1.为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2.2.构造统计量需要计算水平的均值水平的均值全部观察值的总均值全部观察值的总均值离差平方和离差平方和均方均方(MSMS)第13页/共45页构造检验的统计量(计算水平的均值)1.1.假 假定 定从 从第 第i i个 个总 总体 体中 中抽 抽取 取一 一个 个容 容量 量为 为n ni i的 的简 简单 单随 随机 机样 样本 本，第 第i i个 个总 总体 体的 的样 样本 本均 均值 值为 为该 该样 样本 本的全部观察值总和除以观察值的个数 的全部观察值总和除以观察值的个数2.2.计算公式为 计算公式为

11、式中：式中：n n i i为第 为第 i i 个总体的样本观察值个数 个总体的样本观察值个数 x x ij ij 为第 为第 i i 个总体的第 个总体的第 j j 个观察值 个观察值 第14页/共45页构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值)1.全部观察值的总和除以观察值的总个数2.计算公式为 第15页/共45页构造检验的统计量(前例计算结果)表8-2 四种颜色饮料的销售量及均值超市(j)水平A(i)无色(A1)粉色(A2)橘黄色(A3)绿色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829

12、.632.431.732.8合计 136.6 147.8 132.2 157.3 573.9水平均值观察值个数x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值x=28.695第16页/共45页构造检验的统计量(计算总离差平方和 SST)1.1.全部观察值 全部观察值 与总平均值 与总平均值 的离差平方和 的离差平方和2.2.反映全部观察值的离散状况 反映全部观察值的离散状况3.3.其计算公式为 其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST=(26.5-28.695)=(26.5-28.695)2 2+(28.7-28.695

13、)+(28.7-28.695)2 2+(32.8-28.695)(32.8-28.695)2 2=115.9295=115.9295第17页/共45页构造检验的统计量(计算误差项平方和 SSE)1.1.每 每个 个水 水平 平或 或组 组的 的各 各样 样本 本数 数据 据与 与其 其组 组平 平均 均值 值的 的离 离差平方和 差平方和2.2.反 反映 映每 每个 个样 样本 本各 各观 观察 察值 值的 的离 离散 散状 状况 况，又 又称 称组 组内 内离差平方和 离差平方和3.3.该平方和反映的是随机误差的大小 该平方和反映的是随机误差的大小4.4.计算公式为 计算公式为 前例的计算结

14、果：前例的计算结果：SSE SSE=39.084=39.084第18页/共45页构造检验的统计量(计算水平项平方和 SSA)1.1.各 各组 组平 平均 均值 值 与 与总 总平 平均 均值 值 的 的离 离差平方和 差平方和2.2.反 反映 映各 各总 总体 体的 的样 样本 本均 均值 值之 之间 间的 的差 差异 异程 程度 度，又 又称 称组间平方和 组间平方和3.3.该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差4.4.计算公式为 计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA SSA=76.8455=76.8455第19页/共45页构造检验的统计

15、量(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST SST=SSE SSE+SSASSA第20页/共45页构造检验的统计量(三个平方和的作用)1.1.SST SST反 反映 映了 了全 全部 部数 数据 据总 总的 的误 误差 差程 程度 度；SSE SSE反 反映 映了 了随 随机 机误 误差 差的 的大 大小 小；SSA SSA反 反映 映了 了随 随机 机误 误差 差和 和系 系统 统误 误差 差的 的大小 大小2.2.如 如果 果原 原假 假设 设成 成立 立，即 即H H1 1 H H2 2 H Hk k为 为真 真，

16、则 则表 表明 明没 没有 有系 系统 统误 误差 差，组 组间 间平 平方 方和 和SSA SSA除 除以 以自 自由 由度 度后 后的 的均 均 方 方与 与组 组内 内平 平方 方和 和SSE SSE和 和除 除以 以自 自由 由度 度后 后的 的 均 均 方 方差 差异 异就 就不 不会 会太 太大 大；如 如果 果 组 组 间 间 均 均 方 方显 显著 著地 地大 大于 于 组 组 内 内 均 均 方 方，说 说明 明各 各水 水平 平(总 总体 体)之 之间 间的 的差 差异 异不 不仅 仅有 有随 随机 机误 误差 差，还 还有系统误差 有系统误差3.3.判 判断 断因 因素

17、素的 的水 水平 平是 是否 否对 对其 其观 观察 察值 值有 有影 影响 响，实 实际 际上 上就 就是比较 是比较 组间方差 组间方差与 与 组内方差 组内方差之间差异的大小 之间差异的大小4.4.为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量第21页/共45页构造检验的统计量(计算均方 MS)1.1.各 各离 离差 差平 平方 方和 和的 的大 大小 小与 与观 观察 察值 值的 的多 多少 少有 有关 关，为 为了 了消 消除 除观 观察 察值 值多 多少 少对 对离 离差 差平 平方 方和 和大 大小 小的 的影 影响 响，需要将其平均，

18、这就是均方，也称为均方差 需要将其平均，这就是均方，也称为均方差2.2.计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度3.3.三个平方和的自由度分别是 三个平方和的自由度分别是 SST SST 的自由度为 的自由度为n n-1-1，其中，其中n n为全部观察值的个数 为全部观察值的个数 SSA SSA的 的自 自由 由度 度为 为k k-1-1，其 其中 中k k为 为因 因素 素水 水平 平(总 总体 体)的 的个数 个数 SSE SSE 的自由度为 的自由度为n n-k k第22页/共45页构造检验的统计量(计算均方 MS)1.1.SSA SSA的 的均 均

19、方 方也 也称 称 组 组 间 间 方 方 差 差，记 记为 为MSA MSA，计 计算公式为 算公式为2.2.SSE SSE的 的均 均方 方也 也称 称 组 组 内 内 方 方 差 差，记 记为 为MSE MSE，计 计算公式为 算公式为第23页/共45页构造检验的统计量(计算检验的统计量 F)1.1.将 将MSA MSA和 和MSE MSE进 进行 行对 对比 比，即 即得 得到 到所 所需 需要 要的 的检验统计量 检验统计量F F2.2.当 当H H0 0为 为真 真时 时，二 二者 者的 的比 比值 值服 服从 从分 分子 子自 自由 由度 度为 为k k-1-1、分母自由度为、分

20、母自由度为 n n-k k 的 的 F F 分布，即 分布，即 第24页/共45页构造检验的统计量(F 分布与拒绝域)如果均值相等，如果均值相等，如果均值相等，FFF=MSAMSAMSA/MSEMSEMSE111 F F 分布 分布F F(k k-1,-1,n n-k k)0 0拒绝 拒绝H H0 0不能拒绝 不能拒绝 H H0 0F F第25页/共45页 对原假设：对原假设：H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4 及备择假设：及备择假设：H H1 1:四个总体均值不全相等 四个总体均值不全相等 计算 计算F F值：值：F=MSA/MSE F=MSA/MSE=25.6152/2.4428

21、=10.486=25.6152/2.4428=10.486 给出显著性水平：给出显著性水平：=0.05=0.05，查 查F(F(r-r-1 1,n-r,n-r)分布表临界值：分布表临界值：3.24 3.24 由于计算的F=10.4863.24，拒绝原假设，从而得出：颜色对该公司饮料销售有显著影响。第26页/共45页第27页/共45页三、双因素方差分析1.1.分析两个因素 分析两个因素(因素 因素A A和因素 和因素B B)对试验结果的影响 对试验结果的影响 2.2.分 分别 别对 对两 两个 个因 因素 素进 进行 行检 检验 验，分 分析 析是 是一 一个 个因 因素 素在 在起 起作 作用

22、 用，还 还是 是两 两个 个因 因素 素都 都起 起作 作用 用，还 还是 是两 两个 个因 因素 素都 都不 不起 起作用 作用3.3.如 如果 果A A和 和B B对 对试 试验 验结 结果 果的 的影 影响 响是 是相 相互 互独 独立 立的 的，分 分别 别判 判断 断因 因素 素A A和 和因 因素 素B B对 对试 试验 验指 指标 标的 的影 影响 响，这 这时 时的 的双 双因 因素 素方差分析称为 方差分析称为无交互作用的双因素方差分析 无交互作用的双因素方差分析4.4.如 如果 果除 除了 了A A和 和B B对 对试 试验 验结 结果 果的 的单 单独 独影 影响 响外

23、 外，因 因素 素A A和 和因 因素 素B B的 的搭 搭配 配还 还会 会对 对销 销售 售量 量产 产生 生一 一种 种新 新的 的影 影响 响，这 这时 时的 的双 双因 因素 素方 方差 差分 分析 析称 称为 为有 有交 交互 互作 作用 用的 的双 双因 因素 素方 方差 差分 分析 析 5.5.对 对于 于无 无交 交互 互作 作用 用的 的双 双因 因素 素方 方差 差分 分析 析，其 其结 结果 果与 与对 对每 每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同 个因素分别进行单因素方差分析的结果相同第28页/共45页双因素方差分析中需假设两个因素不交互作用，双因素方差分析中需假设

24、两个因素不交互作用，即各自独立地发挥影响作用 即各自独立地发挥影响作用。（一）数据结构（一）数据结构 双因素方差分析第29页/共45页双因素方差分析的数据结构 是因素 是因素A A的第 的第i i个水平下各观察值的平均值 个水平下各观察值的平均值 是因素 是因素B B的第 的第j j个水平下的各观察值的均值 个水平下的各观察值的均值 是全部 是全部 kr kr 个样本数据的总平均值 个样本数据的总平均值第30页/共45页双因素方差分析的步骤第31页/共45页提出假设1.1.对因素A提出的假设为HH00:11=22=ii=kk(ii为第为第ii个水平的均值个水平的均值)HH11:ii(i i=1

25、,2,=1,2,kk)不全相等不全相等2.2.对因素B提出的假设为HH00:11=22=jj=rr(jj为第为第jj个水平的均值个水平的均值)HH11:jj(j j=1,2,=1,2,rr)不全相等不全相等第32页/共45页构造检验的统计量1.1.为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2.2.构造统计量需要计算总离差平方和总离差平方和水平项平方和水平项平方和误差项平方和误差项平方和均方均方 第33页/共45页构造检验的统计量(计算总离差平方和 SST)1.1.全 全部 部观 观察 察值 值 与 与总 总平 平均值 均值 的离差平方和 的离差平方和2.2.反映全部观察值的离散状况 反映全部观察

26、值的离散状况3.3.计算公式为 计算公式为第34页/共45页构造检验的统计量(计算SSA、SSB 和SSE)1.1.因素 因素A A的离差平方和 的离差平方和SSA SSA2.2.因素 因素B B的离差平方和 的离差平方和SSB SSB3.3.误差项平方和 误差项平方和SSE SSE第35页/共45页构造检验的统计量(各平方和的关系)总 总离 离差 差平 平方 方和 和(SST SST)、水 水平 平项 项离 离差 差平 平方 方和 和(SSA SSA和 和SSB SSB)、误 误差 差项 项离 离差 差平 平方 方和 和(SSE SSE)之 之间 间的关系 的关系SST SST=SSASSA

27、+SSBSSB+SSESSE 第36页/共45页构造检验的统计量(计算均方 MS)1.1.各 各离 离差 差平 平方 方和 和的 的大 大小 小与 与观 观察 察值 值的 的多 多少 少有 有关 关，为 为消 消除 除观 观察 察值 值多 多少 少对 对离 离差 差平 平方 方和 和大 大小 小的 的影 影响 响，需 需要将其平均，这就是 要将其平均，这就是均方 均方，也称为方差，也称为方差2.2.计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度3.3.三个平方和的自由度分别是 三个平方和的自由度分别是 总离差平方和 总离差平方和SST SST的自由度为 的自由度

28、为 kr kr-1-1 因素 因素A A的离差平方和 的离差平方和SSA SSA的自由度为 的自由度为 k k-1-1 因素 因素B B的离差平方和 的离差平方和SSB SSB的自由度为 的自由度为 r r-1-1 随机误差平方和 随机误差平方和SSE SSE的自由度为 的自由度为(k k-1)(-1)(r r-1)-1)第37页/共45页构造检验的统计量(计算均方 MS)1.1.因素 因素A A的均方，记为 的均方，记为MSA MSA，计算公式为，计算公式为2.2.因素 因素B B的均方，记为 的均方，记为MSB MSB，计算公式为，计算公式为3.3.随机误差项的均方，记为 随机误差项的均方

29、，记为MSE MSE，计算公式为，计算公式为第38页/共45页构造检验的统计量(计算检验的统计量 F)1.1.为 为检 检验 验因 因素 素A A的 的影 影响 响是 是否 否显 显著 著，采 采用 用下 下面 面的 的统计量 统计量 2.2.为 为检 检验 验因 因素 素B B的 的影 影响 响是 是否 否显 显著 著，采 采用 用下 下面 面的 的统计量 统计量 第39页/共45页统计决策 将 将统 统计 计量 量的 的值 值F F与 与给 给定 定的 的显 显著 著性 性水 水平 平 的 的临 临界 界值 值F F 进 进行 行比 比较 较，作 作出 出接 接受 受或 或拒 拒绝 绝原

30、原假 假设 设H H0 0的 的决 决策 策 根 根据 据给 给定 定的 的显 显著 著性 性水 水平 平 在 在F F分 分布 布表 表中 中查 查找 找相 相应的临界值 应的临界值 F F 若 若F FA A F F，则 则拒 拒绝 绝原 原假 假设 设H H0 0，表 表明 明均 均值 值之 之间 间的 的差 差异 异是 是显 显著 著的 的，即 即所 所检 检验 验的 的因 因素 素(A A)对 对观 观察 察值有显著影响 值有显著影响 若 若F FB B F F，则 则拒 拒绝 绝原 原假 假设 设H H0 0，表 表明 明均 均值 值之 之间 间有 有显 显著 著差 差异 异，即

31、即所 所检 检验 验的 的因 因素 素(B B)对 对观 观察 察值 值有 有显著影响 显著影响 第40页/共45页双因素方差分析表(基本结构)方差来源平方和SS自由度df均方MSF 值 因素A 因素B误差总和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB第41页/共45页双因素方差分析 不同品牌的彩电在各地区的销售量数据 品牌(因素A)销售地区(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288 350368323280 343363353298 340330343260 323333308298【例 例】有四个品牌的彩电在五个地

32、区销售，为分析彩电的品牌 有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(因素 因素A A)和销售地区 和销售地区(因素 因素B B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？第42页/共45页双因素方差分析（提出假设）1.1.对因素 对因素A A提出的假设为 提出的假设为 H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4(品牌对销售量没有影响 品牌对销售量没有影响)H H1 1:i i(i i=1,2,

33、4)=1,2,4)不全相等 不全相等(品牌对销售量有影响 品牌对销售量有影响)2.2.对因素 对因素B B提出的假设为 提出的假设为 H H0 0:1 1=2 2=3 3=4 4=5 5(地区 地区对销售量没有影响 对销售量没有影响)H H1 1:j j(j j=1,2,5)=1,2,5)不全相等 不全相等(地区对销售量有影响 地区对销售量有影响)第43页/共45页双因素方差分析（Excel 输出的结果）结论：结论：F F A A 18.10777 18.10777 F F 3.4903 3.4903，拒绝原假设，拒绝原假设H H 0 0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响，说明彩电的品牌对销售量有显著影响 F F B B 2.100846 2.100846 F F 3.2592 3.2592，接受原假设，接受原假设H H 0 0，说明销售地区对彩电的销售量没有显著影响，说明销售地区对彩电的销售量没有显著影响第44页/共45页