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1、第一讲坐标系一平面直角坐标系高二数学PPT 之人教版高中数学选修4-4 课件：1.1 平面直角坐标系1【自主预习】1.直角坐标系(1)数轴.定义:规定了原点、正方向和_的直线.对应关系:数轴上的点与_之间一一对应.单位长度实数2(2)直角坐标系.定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系.相关概念:数轴的正方向:水平放置的数轴_的方向、竖直放置的数轴_的方向分别是数轴的正方向.向右向上3x轴或横轴:坐标轴_的数轴.y轴或纵轴:坐标轴_的数轴.坐标原点:坐标轴的_.对应关系:平面直角坐标系内的点与_之间一一对应.水平竖直公共原点O有序实数对(x,y)4公
2、式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:两点间的距离公式 中点P的坐标公式|P1P2|=_ _52.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:_的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.6【即时小测】1.函数y=ln|x|的图象为()7【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又y=lnx在(0,+)上为增函数,故选D.82.曲线C经过伸缩变换 后,对应曲线的方程为:x2+y2=1,则曲线C的方程为()9【解析】选A.曲线C经过伸
3、缩变换 后,对应曲线的方程为x2+y2=1,把代入得到:+9y2=1.10【知识探究】探究点平面直角坐标系中点的位置1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点?提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号.1 12.伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗?提示:不一定.伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置,但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.12【归纳总结】1.平面直角坐标系的作用与建立平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台.建立平面直角坐标系
4、,常常利用垂直直线为坐标轴,充分利用图形的对称性等特征.132.伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系.特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.14类型一坐标法求轨迹方程【典例】已知ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.15【解题探究】求轨迹方程的一般步骤是什么?提示:建系-设点-列条件-得方程、整理.16【解析】由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图所示,则A(-a,0),
5、B(a,0).设C(x,y),则线段BC的中点为 因为|AE|=m,所以 17化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y0).(建系不同,轨迹方程不同)18【方法技巧】1.建立平面直角坐标系的技巧(1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点.(2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴.19特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.202.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简
6、便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.(2)建模选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.21(3)运算通过运算,得到所需要的结果.(4)回归回归到实际问题作答.22【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实数m的取值范围.23【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,则5-m0,且3-2m0,解得 m5,故点(5-m,3-2m)不在第四象限时,实数m的取值范围是m 或m5.242.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.25【证明】如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在
7、直线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y),则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2,PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.26所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.故PA2+PC2=PB2+PD2.27类型二伸缩变换公式与应用【典例】求曲线x2+y2=1经过:变换后得到的新曲线的方程.28【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程?提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.29【解析】曲线x2+y2=1
8、经过:变换后,即 代入到圆的方程,可得 即所求新曲线的方程为 30【延伸探究】1.若曲线C经过 变换后得到圆x2+y2=1,求曲线C的方程.31【解析】将 代入到方程x2+y2=1,得 即曲线C的方程.322.若圆x2+y2=1经过变换后得到曲线 求变换的坐标变换公式.33【解析】设:代入到C中得 与圆的方程比较得=5,=4.故的变换公式为34【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法(1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲线方程的方法:利用伸缩变换用(x,y)表示出(x,y),代入变换前的曲线方程.35(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲线方程:利用伸缩变换用(x,y)
9、表示(x,y),代入变换后的曲线方程.(3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后的方程变形,确定出(x,y)与(x,y)的关系即为所求的伸缩变换,也可用待定系数法.36【补偿训练】1.(2016蚌埠高二检测)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线x2+y2=1,则曲线C的方程为()37【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按:变换后的对应的坐标为P(x,y),代入x2+y2=1,得16x2+9y2=1.382.将曲线y=sin(2016x)按:变换后的曲线与直线x=0,x=,y=0围成图形的面积为_.39【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点
10、的坐标为P(x,y),按变换后的对应点的坐标为P(x,y),由:代入y=sin(2016x),得2y=sinx,所以y=sinx,即y=sinx,所以y=sinx与直线x=0,x=,y=0围成图40形的面积为S=答案:141自我纠错伸缩变换公式的应用【典例】将曲线 按照:变换为曲线 求曲线y=cos4x在变换后的曲线的最小正周期与最大值.42【失误案例】43分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方程.正确解答过程如下:44【解析】由:得:将曲线 按照:变换为曲线的方程为 45由题意,得3=1,故=2,则曲线y=cos4x在变换后的曲线的方程为 所以变换后的曲线的最小正周期为,最大值为 4647