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1、会计学1普通物理学第五刚体的自由和平面平行运普通物理学第五刚体的自由和平面平行运动动4-5 4-5 刚体的自由度和平面平行运动刚体的自由度和平面平行运动刚体的自由度和平面平行运动刚体的自由度和平面平行运动1.1.1.1.自由度自由度自由度自由度 所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所需所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。要的独立坐标的数目。考考虑虑到到刚刚体体既既有有平平动动又又有有转转动动，其其独独立立坐坐标标数数由由质质心心坐坐标标，转转轴轴的的方方位位角角与与刚刚体体绕绕转转轴轴的的转转动角度决定。动角度决定。oxyzC(x,y,z)首首先先确确定定质质心心位
2、位置置。空空间间任任何何一一个个点点需需要要三三个个独独立立坐坐标标来来确确定定位位置置，因因此此用用三三个个坐坐标标如如C(x,y,z)来决定质心位置。来决定质心位置。第1页/共19页 其其次次刚刚体体的的方方位位由由其其轴轴的的取取向向决决定定，确确定定空空间间直直线线的的方方位位坐坐标标有有两两个个，借借用用纬纬度度角角与与经经度度角角来来描描述述，在直角坐标系中，采用用在直角坐标系中，采用用 、，如图所示：，如图所示：oxyz p 最最后后，刚刚体体绕绕定定轴轴转转动动时时，需需要要一一个个坐坐标标来来描描述述，选选定定参参考考方向后，转动位置用方向后，转动位置用 表示。表示。总总的的
3、说说来来，刚刚体体共共有有6 6个个自自由由度度，其其中中3 3个个平平动动自自由由度度，3 3个个转转动自由度。动自由度。物物体体有有几几个个自自由由度度，它它的的运运动动定定律律可可归归结结为为几几个独立的方程。个独立的方程。自由度自由度自由度自由度第2页/共19页第3页/共19页2.2.刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动定定义义：当当刚刚体体运运动动时时，其其中中各各点点始始终终和和某某一一平平面面保保持持一一定定的的距距离离，或或者者说说刚刚体体中中各各点点都都平平行行于于某某一一平平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。面运动，这就叫刚体的平面平行运
4、动。根根据据平平面面运运动动的的定定义义，刚刚体体平平面面运运动动的的自自由由度度有有三三个个，两两个个坐坐标标决决定定质质心心位位置置，一一个个坐坐标标决决定定转转动角度。动角度。刚刚体体的的平平面面平平行行运运动动可可以以看看做做质质心心的的平平动动与与相相对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。第4页/共19页 设质心在设质心在Oxy平面内运动，则平动方程平面内运动，则平动方程 可以证明，定轴转动定律在此仍适用可以证明，定轴转动定律在此仍适用刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第5页/共19页 车轮的纯滚动车
5、轮的纯滚动 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系 则则刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第6页/共19页 车轮上任意一点的速度车轮上任意一点的速度 G点的速度点的速度 B点的速度点的速度 A点的速度点的速度刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第7页/共19页 刚体的动能刚体的动能 质心是基点质心是基点 且且 所以所以 刚刚体体的的动动能能等等于于质质心心的的平平动动动动能能与与对对质质心心的的转转动动 动能之和。动能之和。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚
6、体的平面平行运动第8页/共19页例题例题4-9 4-9 讨论一匀讨论一匀质实心的圆柱体在斜质实心的圆柱体在斜面上的运动。面上的运动。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圆柱体所受的力共有三个：圆柱体所受的力共有三个：重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和摩擦力摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径，半径为为r，那么，它对其几何的转动惯量，那么，它对其几何的转动惯量 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第9页/共19页这样可得这样可得以以上上三三式式中中，aCx x和和aCy是是圆圆柱柱体体质质心心在在x x轴
7、轴和和y y轴轴方方向向的的加加速速度度，是是圆圆柱柱体体对对其其通通过过质质心心的的几几何何轴轴转转动动的的角角加加速速度度。因因斜斜面面粗粗糙糙，圆圆柱柱体体下下降降时时没没有有滑滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时解上列五个式子，得解上列五个式子，得我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和轴的方向，和斜面垂直而向上为斜面垂直而向上为y轴的方向轴的方向刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第10页/共19页代入上式得代入上式得因因刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚
8、体的平面平行运动第11页/共19页 如如果果这这圆圆柱柱体体从从静静止止开开始始沿沿斜斜面面滚滚下下一一段段距距离离x，与与之之相相应应，下下降降的的竖竖直直距距离离是是h=xsin，这这时时质心的速度由质心的速度由求求得得 如如果果斜斜面面是是光光滑滑的的，对对圆圆柱柱体体没没有有摩摩擦擦力力，即即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第12页/共19页而圆柱体对质心的角加速度与角速度为而圆柱体对质心的角加速度与角速度为 如如果果圆圆柱柱体体从从静静止止沿沿斜斜面面下下滑滑的的距距离离也也是
9、是x x，则质心所获得的速度由，则质心所获得的速度由求得求得 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加速度之比是2/32/3，两者速度，两者速度之比是之比是刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第13页/共19页 本本题题也也可可用用机机械械能能守守恒恒定定律律讨讨论论。圆圆柱柱体体在在斜斜面面上上作作纯纯粹粹滚滚动动下下落落时时，所所受受到到的的斜斜面面的的摩摩擦擦力力和和正正压压力力都都不不作作功功，满满足足机机械械能能守守恒恒的的条条件件。圆圆柱柱体体从从静静止止滚滚下下，它它没没
10、有有初初动动能能，只只有有重重力力势势能能mgh，当当它它滚滚动动下降这段高度时，全部动能是下降这段高度时，全部动能是 对纯粹滚动而言，对纯粹滚动而言，vc=r，以此代入得，以此代入得 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第14页/共19页求得求得代入上式得代入上式得因因和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第15页/共19页例例4-10 4-10 一质量为一质量为m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在水平的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的
11、水平面上作纯滚动，力的作外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f的方向如图所示，则由质心运的方向如图所示，则由质心运动方程：动方程：圆柱对质心的转动定律圆柱对质心的转动定律纯滚动条件纯滚动条件为为圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC联立以上四式，解得联立以上四式，解得刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第16页/共19页由此可见由此可见l0,静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2,f0,静摩擦力向前静摩擦力向前l=r/2,f=0刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第17页/共19页由此可见由此可见l0,静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2,f0,静摩擦力向前静摩擦力向前l=r/2,f=0刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第18页/共19页