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1、3.3.13.3.1二元一次不等式（组）二元一次不等式（组）与平面区域与平面区域 一家银行的信贷部计划年初投入一家银行的信贷部计划年初投入2500000025000000元用元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来3000030000元的收益，其中从企业贷款中获益元的收益，其中从企业贷款中获益12%12%，从个人贷款，从个人贷款中获益中获益10%10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？么不等式模型来刻画它们呢？新
2、课引入 设用于企业贷款的资金为设用于企业贷款的资金为x x元，用于个人贷款的元，用于个人贷款的资金为资金为y y元元.则则 x+y25000000 x+y25000000 由于预计企业贷款创收由于预计企业贷款创收12%12%，个人贷款创收，个人贷款创收10%10%，共创收，共创收3000030000元以上，所以元以上，所以 （12%12%）x+x+（10%10%）y y 30000 30000 即即 12x+10y3000000 12x+10y3000000 显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不能是负值，于是能是负值，于是 x0 x0，y0 y0 含有两
3、个未知数，并且含有两个未知数，并且未知数的次数是未知数的次数是1次的不等次的不等式称为式称为二元一次不等式二元一次不等式 将将合在一起，得到分配资金应该满足的条合在一起，得到分配资金应该满足的条件：件：我们把由几个二元一次不等我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元式组成的不等式组称为二元一次不等式组一次不等式组.1)在直线在直线x-y=6上的点；上的点；2)在直线在直线x-y=6左上方的区左上方的区域内的点；域内的点；3)在直线在直线x-y=6右下方的区右下方的区域内的点域内的点.Oxy66x-y=6 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内表示一条直线
4、，平面内的所有的点被直线的所有的点被直线x-y=6分成分成三类：三类：我们不妨先研究一个具体的二元一次不等式x-y0ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0 ax+by+c=0 某一侧所有点组成的某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：平面区域的一般结论：二元一次不等式二元一次不等式ax+by+c0ax+by+c0在在平面直角坐标系中表示的平面区域平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线包括边界，把边界画成实线.66x-y-60Oxy
5、x-y-60 如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？直线定界，特殊点（原点）定域直线定界，特殊点（原点）定域直线直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0同一侧的所有点同一侧的所有点(x,y)(x,y)代入代入Ax+By+CAx+By+C所所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点点(x(x0 0,y,y0 0),),根据根据Ax+By+CAx+By+C的正负即可判断的正负即可判断Ax+By+C0Ax+By+C0表表示直线的哪一侧区域，示直线的哪一侧区域，C0C0时，常把原点作为测试点；时，常把原点作为测
6、试点；当当C=0C=0时，常取（时，常取（1 1，0 0）或（）或（0,10,1）作为测试点）作为测试点题型一题型一二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域例例1 画出不等式画出不等式x+4y4表示的平面区域表示的平面区域.Oxy解：先作出边界直线x+4y=4,并画成虚线.取原点（0，0）代入x+4y-4，因为 0+40-4=-40 所以原点（0，0）在x+4y-40表示的平面区域内，不等式x+4y4表示的区域如图所示（在直线x+4y=4的左下方）x+4y-4=041x+4y4变式训练 画出不等式2x+y-40表示的平面区域.Oxy242x+y-4=0解：先画出直线2x+y-4
7、=0，根据题意画成实线 取原点（0，0）代入2x+y-4得 20+0-4=-40，所以原点在不等式2x+y-4 0所表示的区域内.题型二 二元一次不等式组表示的平面区域例2 画出不等式组表示的平面区域.Oxy35x-y+5=0 x+y=0 x=3 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.0 xy3x+y-12=0 x-2y=0y -3x+12 x 0 x 2y+6 0表示的区域在直线表示的区域在直线x 2y+6=0 x 2y+6=0的（的（）（A A）右上方）右上方 （B B）右下方）右下方 （C C）左上方）左上方 （D D）左下
8、方）左下方2 2、不等式、不等式3x+2y 6 03x+2y 6 0表示的平面区域是（表示的平面区域是（）DBB 例3.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截这两种钢板z张，xyo157.592718X+3y=27X+3y=27X+2y=18X+2y=182X+y=152X+y=15M如图所示的阴影部分表示上面限制条件的平面区域 例例4 4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两
9、种混合肥料，生产1 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝、硝酸盐酸盐15t.15t.现库存磷酸盐现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域式，并画出相应的平面区域.解：解：设设x x，y y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足一下条件车皮数，于是满
10、足一下条件xyo18x+15y=6618x+15y=664x+y=104x+y=10M5411023（20092009安徽）安徽）不等式组不等式组 所表示的平面区域的所表示的平面区域的 面积等于面积等于 （）A.B.C.D.A.B.C.D.由由 得交点得交点A A的坐标为（的坐标为（1 1，1 1）.又又B B、C C两点的坐标为（两点的坐标为（0 0，4 4），），解：解：C2 2点点(3,1)(3,1)和和(4,6)4,6)在直线在直线3 3x x2 2y ya a0 0的两侧，则的两侧，则a a的的取取 值范围是值范围是 （）A Aa a7 7或或a a2424 B B7 7a a242
11、4C Ca a7 7或或a a24 D24 D以上都不对以上都不对B B解析：点解析：点(3,1)(3,1)和和(4,6)4,6)在直线在直线3x3x2y2ya a0 0的两侧，的两侧，说明将这两点坐标代入说明将这两点坐标代入3x3x2y2ya a后，符号相反，后，符号相反，所以所以(9(92 2a)(a)(12121212a)a)0 0，解之得解之得7 7a a24.24.小结 1.1.二元一次不等式及其解集的几何意义二元一次不等式及其解集的几何意义 2.2.二元一次不等式表示的平面区域及其判定二元一次不等式表示的平面区域及其判定 3.3.简单的应用简单的应用.3.3.23.3.2简单的线性
12、规划问题简单的线性规划问题 1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问题.(重点、难点）某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1 h1 h，每生产一件乙产品使用，每生产一件乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2 h2 h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8 h8 h计算，该厂所有可能计
13、算，该厂所有可能的日生产安排是什么？的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：进一步，若生产一件甲产品获利进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产万元，生产一件乙产品获利一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最万元，采用哪种生产安排利润最大？大？分析：设工厂获得的利润为分析：设工厂获得的利润为z，则，则 z=2x+3y上述问题转化为当上述问题转化为当x,y满足条件满足条件并且为非负整数时，并且为非负整数时，z的最大值是多少？的最大值是多少？Ox4348即 的最大值为所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.最大值为的交点
14、时，截距的值最大，y 阅读课本88页在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为值的问题，统称为线性规划问题 线性规划的相关概念简单线性规划问题的图解方法 例1 设 z2xy，式中变量x、y满足下列条件：求z的最大值和最小值.分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.42246yxOCAB解：作出如图所示的可行域，作及当直线 经过点B时，对应 最小当直线 经过点A时，对应的 最大.例例5 5.营养学家指出，成人良好的日常饮食至少提营养学家指出，成人良好的日常饮食至少提供供0.075kg0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.0
15、6kg0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg0.07kg蛋白蛋白质，质，0.14kg0.14kg脂肪，花费脂肪，花费2828元；而元；而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg0.07kg脂肪，花费脂肪，花费2121元元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物最低，需要同时食用食物A A和食物
16、和食物B B多少多少kgkg？分析：将已知数据列成下表分析：将已知数据列成下表 解：设每天食用解：设每天食用xkgxkg食物食物A A，ykgykg食物食物B B，总成本，总成本为为z z，那么，那么目标函数为目标函数为 z=28x+21yz=28x+21y7x+7y=514x+7y=6 当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=28x+21y可变形为 可以看成x、y的直线方程，斜率为 ，在y轴上的截距为 ，当 最小时，z 也最小.0 xy7x+14y=6M 平移直线可以容易得到最小截距 ，此时直线经过可行域的点M.答：每天使用食物A约143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又
17、使花费最低，最低成本为16元解方程组得点M的坐标 （）所以z的最小值为zmin=28x+21y=16.解线性规划问题的步骤：（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案.（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；最优解一般在可行域的顶点处取得 例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料，
18、产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：解：设设x x，y y分别为计划生产甲乙两种混合肥分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，利润料的车皮数，利润z z万元万元.目标函数为目标函数为z=x+0.5y,z=x+0.5y,于是满足一下条件于是满足一下条件在直角坐标系中在直角坐标系中可表示成图中的可表示成图中的平面区域平面区域.xyo18x+15y=6618x+15y=664x+y=104x+y=10M5411023xyo18x+15y=6618x+15y=664x+y=104x+y=10M5411023
19、把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z 得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z，且随z变化的一族平行直线.当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.答：生产甲种、乙种肥料各两车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.解方程组得点M的坐标x=2，y=2所以z的最大值为zmax=x+0.5y=3.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤.最优解在可行域的顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；第2课时 简单线性规划的应用 1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何
20、直观解决一些简单的实际问题；(重点）2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力.例例6 6.要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A、B B、C C三种三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：如下表示：今需要今需要A A、B B、C C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515、1818、2727块块.问各截得这两种钢板多少张可得所需问各截得这两种钢板多少张可得所需A A、B B、C C三三种规格产品，且使所用钢板张数最少？种规格
21、产品，且使所用钢板张数最少？解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，目标函数为z=x+y,则xyo157.592718X+3y=27X+3y=27X+2y=18X+2y=182X+y=152X+y=15M把把z=x+yz=x+y变形为变形为y=-x+zy=-x+z，得到斜率为得到斜率为-1-1，在，在y y轴上轴上截距为截距为z z的一族平行直线的一族平行直线.当直线当直线z=x+y经过可行域经过可行域上的点上的点M时，截距时，截距z最小最小.xyo157.592718X+3y=27X+3y=27X+2y=18X+2y=182X+y=152X+y=15M解方程组解方程组得得x=x=，y=y
22、=但都不是但都不是整数，依题意不是最优解整数，依题意不是最优解.在点在点M附近寻找整数点附近寻找整数点B(3,9)C(4,8),BC此时，zmin=12.答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截得钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张.两种截法都最少要两种钢板12张.且使截距z最小的直线是y=-x+12经过点B（3，9），C（4，8）分析：对应无数个点，即直线与边界线重合.作出可行域，结合图形，看直线与哪条边界线重合时，可取得最大值.解：当直线 与边界线重合时，有无数个点使函数值取得最大值，此时有yxOCB且z2x4y的最
23、小值为6，则常数k等于().1.已知 x、y满足D求 的最大值和最小值.2.已知 满足解：作出如图所示的可行域，351xOB(1.5,2.5)A(-2,-1)Cy当直线l经过点B时，对应的z最小，当直线l经过点C时，对应的z最大.z最小值=1.5-22.5=-3.5z最大值=3-0=3.利用简单线性规划求变量的范围例4 若二次函数 的图象过原点，且 求 的范围.作出如图所示的可行域，由图可知，1.设所求的未知数；2.列出约束条件；3.建立目标函数；4.作出可行域；5.运用图解法，求出最优解;6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解.一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.