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1、数学基础 机械手作为执行机构是用来保证复杂空间运动的综合刚体综合刚体，而且它自身也往往需要在机械加工或装配等过程中作为统一体进行运动。因此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又方便的数学方法-矩阵法矩阵法 数学描述是以四阶方阵变换三维空间点的齐次坐标为基础的，能够将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来 补充：向量的点积和叉积 矩阵的乘法1.方向角与方向余弦 =AOB(0)为向量 ，的夹角，记作 =方向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦2.向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：向量补充已知：a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)空间任意
2、两直线的公法线长度公式给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有方向矢量n，则：位置描述(position)-点在坐标系的位置 一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个31位置矢量来确定该空间内任一点的位置。对于直角坐标系A，空间任一点p的位置可用31的列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系A中的三个坐标分量。Ap的上标A代表参考坐标系A。我们称Ap为位置矢量，见图21。方位描述方位描述(orientation)物体的方位可由某个固接于此物体的坐标系描述为了规定空间某刚体B的方位，设置一直角坐标系B与此刚体固接。用坐标系B的三个单位主矢量xB、yB、zB相对于参考坐标
3、系A方向余弦组成的33矩阵来表示刚体B相对于坐标系A的方位。称为姿姿态态矩矩阵阵/旋旋转转矩矩阵阵。式中，上标A代表参考坐标系A，下标B代表被描述的坐标系B。共有9个元素，但只有3个是独立的。由于的三个列矢量AxB、AyB、和AzB 都是单位矢量，且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件(正交条件)。位姿描述 要完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)，通常将物体B与某一坐标系B相固接。B的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心等。相对参考系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量B和旋转矩阵描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系B来描述，即有(2.9)Y(orientati
4、on)x(normal)z(approach)手抓坐标系Y(orientation)x(normal)z(approach)平移坐标变换(2.10)前面讨论的是在一个坐标系中位姿的描述，在大量的机器人问题中，涉及到用不同的坐标系来描述同一个刚体的位置及姿态问题，这就涉及到从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系，这种变换关系包括：平平移变换和旋转变换移变换和旋转变换 旋转矩阵 设设固固定定参参考考坐坐标标系系直直角角坐坐标标为为Oxyz，动动坐坐标标系系为为Ouvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。初始位置时，动静坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴
5、重合，如图。各轴对应重合，设对应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系Ouvw中的一点，且固定不变。中的一点，且固定不变。则则P点在点在Ouvw中可表示为：中可表示为：、为为坐坐标标系系Ouvw的的单单位位矢矢量，则量，则P点在点在oxyz中可表示为：中可表示为：当动坐标系当动坐标系Ouvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 已知：已知：P点在点在Ouvw中是不变的仍然中是不变的仍然成立，由于成立，由于Ouvw回转，则：回转，则：用矩阵表示为用矩阵表示为:（2-7）反过来：反过来：旋转矩阵的几何意义三个基本旋转矩阵即即动动坐坐标标系系 求求 的的旋
6、旋转转矩矩阵阵，也也就就是是求出坐标系求出坐标系 中各轴单位矢量中各轴单位矢量 在固定坐标系在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：由图由图2-52-5可知，可知，在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影轴上的投影为为 ,在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影为轴上的投影为 ，所以有：，所以有：方向余弦阵方向余弦阵同理：同理：三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵:绕坐标轴转动的旋转矩阵式中，s表示表示sin，c表示表示cos。以后将一律采用此约定。旋转矩阵-举例例1 已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW
7、(4，3，2)T和bUVW(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。解 旋转矩阵-举例例2 已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ(4，3，2)T和bXYZ(6，2，4)T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。解 合成旋转矩阵合成旋转矩阵:例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固，相对固定参考坐标系定参考坐标系 做如下运动：做如下运动：R（x,90）；）；R(z,90)；R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单
8、方法：用画图的简单方法 解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺
9、序左乘左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换注意：旋转矩阵间不可以交换 旋转次序对变换结果的影响合成旋转矩阵为了表示绕OXYZ坐标系各轴的一连串有限转动，可把基本旋转矩阵连乘起来。由于矩阵乘法不可交换，故完成转动的次序是重要的。例如，先绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OY转角；表示这种转动的旋转矩阵为 如果转动的次序变化为，先绕OY转角绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OX轴转角；表示这种转动的旋转矩阵为 除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得：1.两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个33单位矩阵I3。2如果OUVW坐
10、标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，则可对上述旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵。3如果OUVW坐标系绕自己的一坐标铀转动，则可对上述旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵合成旋转矩阵规则先绕OY轴转 角，然后绕OW袖转角，再绕OU转角；表示这种转动的旋转矩阵为位姿坐标变换/一般变换(2.13)位姿坐标变换-示例例21 已知坐标系B的初始位姿与A重合，首先B相对于坐标系A的zA轴转30，再沿A的xA轴移动12单位，并沿A的yA轴移动6单位。求位置矢量APB0和旋转矩阵 。假设点p在坐标系B的描述为BP59，0T，求它在坐标系A中的描述AP。齐次坐标 n一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间
11、实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例为比例系数系数 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为作为通用比例因子通用比例因子，它可取任意正值，但，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵例：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10
12、2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T 齐次坐标与三维直角坐标的区别nV点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z）n而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。几个特定意义的齐次坐标：n0,0,0,nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 n1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴n0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 n0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。平面的齐次坐标n平面齐次坐
13、标由行矩阵P=a b c d 来表示n当点v=x y z wT处于平面P内时，矩阵乘积PV=O，或记为 如果定义一个常数如果定义一个常数m=，则有：，则有：=可以把矢量可以把矢量 解释为某个平面的外法线，解释为某个平面的外法线，此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。因因此此一一个个平平行行于于x、y轴轴，且且在在z轴轴上上的的坐坐标标为为单单位位距距离离的的平面平面P可以表示为：可以表示为：或或 有：有：PV=例例如如：点点 V=10 20 1 1T 必必定定处处于于此此平平面面内内，而而点点 V=0 0 2 1T处于处于P平面的上方点平面的上方点V=0
14、0 0 1T处于处于P平面下方。因为：平面下方。因为：与点矢与点矢 相仿，平面相仿，平面 也没有意义也没有意义 齐次变换 其中，41的列矢量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，齐次变换矩阵是44的方阵,综合地表示了平移变换和旋转变换。T T反反映映了了O O在在O O中中的的位位置置和和姿姿态态，即即表表示示了了该该坐坐标标系系原原点点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵，表示动坐标系为姿态矩阵，表示动坐标系O O在固定参考在固定参考坐标系坐标
15、系O O中的姿态，即表示中的姿态，即表示O O各坐标轴单各坐标轴单位矢量在位矢量在O O各轴上的投影各轴上的投影 为位置矢量矩阵，代表动坐标系为位置矢量矩阵，代表动坐标系O O坐标原坐标原点在固定参考坐标系点在固定参考坐标系O O中的位置中的位置 为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为一般置为0 0 为比例系数为比例系数 平移齐次坐标变换 空间某点由矢量ai+bj+ck描述。其中，i,j,k为轴x,y,z上的单位矢量。此点可用平移齐次变换表示为 例23 作为例子，让我们考虑矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移变换得到的新的点矢量原坐标系中
16、的表示平移后形成的新坐标系新坐标系中的表示相对变换 举例说明：举例说明：例例1：动坐标系：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标动坐标系系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：解解2：用计算的方法：用计算的方法 以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先先平平移移Trans(4,-3,7)；绕绕当当前前 轴轴
17、转转动动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法（2-212-21）式式（2-202-20）和和式式（2-212-21）无无论论在在形形式式上上，还还是是在在结结果果上上都都是是一致的。因此我们有如下的结论：一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转或平移，则依次左乘，称为转或平移，则依次
18、左乘，称为绝对变换绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换相对变换。结结果果均均为为为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相对于固定坐标系，相对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。旋转齐次坐标变换 合成齐次变换除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，
19、OUVW坐标系也可以绕它自己的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规则求得：1.两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个44单位矩阵I4。2如果OUVW坐标系绕（或沿）OXYZ坐标系的一坐标轴转动（或平移），则左乘相应的齐次变换矩阵-绝对变换绝对变换。3如果OUVW坐标系绕（或沿）自己的一坐标铀转动（或平移），则可右乘相应的齐次变换矩阵相对变换相对变换齐次变换矩阵T 的意义：n机器人用到相对变换的时候比较多n例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示n但也要知道在O中的位姿，就用右乘的概念。oH齐次变换矩阵的几何意
20、义齐次变换矩阵的逆阵齐次变换矩阵的逆阵齐次变换矩阵举例例：动坐标系绕参考坐标系的z轴旋转30度，并分别沿x,y的正向平移3个和4个单位，求齐次变换矩阵及其逆阵。通用齐次变换 动坐标系绕过P=PX,PY,PZ点而分量为kx,ky,kz的任意单位矢量单位矢量k转动角时的变换矩阵 研究这种转动的好处是，对于某种角运动，可以用动坐标系绕某轴k的一次运动代替绕参考坐标系（固定坐标系）或(和)动坐标系坐标系的坐标轴的数次运动动。通用齐次变换通用齐次变换通用齐次变换-例题等效转角和转轴R=Rot(f，)=把上式两边的对角线项分别相加，并化简得 所以把式(247)中的非对角线项成对相减可得等效转角和转轴对上式
21、各行平方后相加得 所以把旋转规定为绕矢量f的正向旋转，使得o180。这时，式(250)中的符号取正号，转角被惟一地确定为 而矢量f的各分量可由式(249)求得等效转角和转轴-例题变换方程初步 基坐标系目标系工具系工作站系例题：n试求立方体中心在机座坐标系0中的位置n该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于0的姿态是什么？在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心
22、建一局部坐标系，则物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。xyz解1：因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。解2：绕固定轴x-y-z旋转 z-y-x欧拉角 Z-Y-Z欧拉角 知识点：n点和面的齐次坐标和齐次变换n三个基本旋转矩阵n绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐
23、标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。n相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。n绕任意轴旋转变换通式及等效转角、等效转轴习题习题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。习题习题2 2：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，动系改变旋
24、转顺序，动系如何旋转才能获得相同的结果。如何旋转才能获得相同的结果。解解：解解：绕绕Z Z轴转动轴转动9090；绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。解解：绕绕v v轴转动轴转动9090；绕绕u u轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090。习题习题3 3：矢量矢量 在在O O中表示为中表示为 ，O O相对于相对于O O的的齐次变换为：齐次变换为：解：解：1 1）解：解：2 2）解：解：3 3），习题习题4 4：如图所示，如图所示，1 1）写出）写出 、；2 2）求）求 解：解：1 1）解解2 2）：根据定义）：根据定义2 2，绕自身旋转，右乘，绕自身旋转，右乘