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1、大气运动的稳定性第1页，本讲稿共20页 前一章，前一章，我们考虑的是振幅不变、波动的频率或相速都是实数的波动。我们考虑的是振幅不变、波动的频率或相速都是实数的波动。实际上更常见的是，大气中的运动或扰动是此消彼长，有的在发展兴旺，实际上更常见的是，大气中的运动或扰动是此消彼长，有的在发展兴旺，有的则趋衰减消亡，永无停息。即波动的振幅常常是不断变化（发展或有的则趋衰减消亡，永无停息。即波动的振幅常常是不断变化（发展或衰减）的衰减）的。实际大气中已经充分发展的有限振幅扰动可以看作是叠加在某种基本实际大气中已经充分发展的有限振幅扰动可以看作是叠加在某种基本气流上的小扰动在一定条件下不稳定发展的结果。气
2、流上的小扰动在一定条件下不稳定发展的结果。本章将要讨论的大气运动的稳定性问题。大气长波（本章将要讨论的大气运动的稳定性问题。大气长波（Rossby 波）波）的正压稳定性与斜压稳定性、惯性稳定性和对称稳定性等的正压稳定性与斜压稳定性、惯性稳定性和对称稳定性等 。第2页，本讲稿共20页8.1 运动稳定性的基本概念运动稳定性的基本概念 1、运动稳定性问题要研究的是叠加在给定基本气流上的小扰动的运、运动稳定性问题要研究的是叠加在给定基本气流上的小扰动的运动趋势问题。动趋势问题。当给定的基本气流受到微小扰动时当给定的基本气流受到微小扰动时：（1）扰动将保持其小振幅不变或者趋于衰减消亡。这时，称基）扰动将
3、保持其小振幅不变或者趋于衰减消亡。这时，称基本流对这种扰动是稳定的，或者说扰动是稳定的。有时称扰本流对这种扰动是稳定的，或者说扰动是稳定的。有时称扰动振幅保持不变的情形为中性或中性稳定；动振幅保持不变的情形为中性或中性稳定；（2）扰动将随时间不断增长。这时称扰动是不稳定的。）扰动将随时间不断增长。这时称扰动是不稳定的。2、研究稳定性问题的方法、研究稳定性问题的方法 “气块法气块法”、“正规模（正规模（Normal Mode）法）法”和和“整体方法整体方法”等。等。“整体方法整体方法”包括包括“能量学方法能量学方法”及及“李雅谱洛夫方法李雅谱洛夫方法”。本章将只限于用本章将只限于用气块法和正规模
4、法气块法和正规模法。第3页，本讲稿共20页“气块法气块法”着眼于考虑一定背景场（介质）中的气块受扰离开平着眼于考虑一定背景场（介质）中的气块受扰离开平衡位置后的运动趋势。在某些特定的情况下，例如讨论静力稳衡位置后的运动趋势。在某些特定的情况下，例如讨论静力稳定度或浮力振动时，采用气块法非常简便明了。定度或浮力振动时，采用气块法非常简便明了。在讨论大气波动稳定性时，另一种常用方法是所谓的在讨论大气波动稳定性时，另一种常用方法是所谓的“正规模方法正规模方法”或或“标准波型法标准波型法”。即将稳定性问题归结为微分方程初值问题的解即将稳定性问题归结为微分方程初值问题的解是随时间增长（不稳定）还是趋于定
5、常（稳定）的问题。是随时间增长（不稳定）还是趋于定常（稳定）的问题。设微小扰动量设微小扰动量q的单波特解是的单波特解是x方向传播的波：方向传播的波：一般地，频率和波速可以分别表为：一般地，频率和波速可以分别表为：第4页，本讲稿共20页于是于是,波的振幅波的振幅A和传播速度和传播速度Cr可分别表为可分别表为:因此，由于振幅因子因此，由于振幅因子 的出现的出现,波的振幅将有三种可能的变波的振幅将有三种可能的变化趋势化趋势:(1)当当 （）时，振幅将随时间呈指数增长，称此为不稳）时，振幅将随时间呈指数增长，称此为不稳定定(增长增长)波。波。(2)当当 （）时，振幅将随时间呈指数衰减）时，振幅将随时间
6、呈指数衰减,此为稳定波此为稳定波的情形。的情形。(3)当时当时 ，振幅将不随时间变化，属于中性稳定或边际，振幅将不随时间变化，属于中性稳定或边际（marginal）稳定的情形。）稳定的情形。或或 称为不稳定波的称为不稳定波的“增长率增长率”第5页，本讲稿共20页因为如果出现复的特征频率或特征波速，它们通常总是成对因为如果出现复的特征频率或特征波速，它们通常总是成对（大小相等但符号相反）出现的，所以只要频率或波速的（大小相等但符号相反）出现的，所以只要频率或波速的虚数部分不为零（虚数部分不为零（,），就总会有一个单波解），就总会有一个单波解是随时间增长的，即波动总会是不稳定的。是随时间增长的，即
7、波动总会是不稳定的。因此，波动的稳定性问题就归结为波的频率或波速的虚部因此，波动的稳定性问题就归结为波的频率或波速的虚部是否为零以及在什么条件下不为零的问题。是否为零以及在什么条件下不为零的问题。第6页，本讲稿共20页 8.2 惯性稳定度与对称稳定度惯性稳定度与对称稳定度 1、惯性稳定度、惯性稳定度 考虑在地转平衡的背景场中考虑在地转平衡的背景场中,气块在水平气压梯度力和折向气块在水平气压梯度力和折向力作用下水平位移的稳定性力作用下水平位移的稳定性惯性稳定性惯性稳定性（度）问题（度）问题。（1）假定基本气流为满足地转平衡、具有水平切变的纬向流：）假定基本气流为满足地转平衡、具有水平切变的纬向流
8、：；基本位势场也只与基本位势场也只与y(指向北指向北)有关，即有关，即 。不计摩擦的影响，则扰动气块的水平运动方程组可表为：不计摩擦的影响，则扰动气块的水平运动方程组可表为：第7页，本讲稿共20页假定气块的水平运动不改变位势场的分布，即气块的重力位势与环境位假定气块的水平运动不改变位势场的分布，即气块的重力位势与环境位势场满足：势场满足：则扰动气块方程组可改写为：则扰动气块方程组可改写为：水平位移气块的惯性稳定性水平位移气块的惯性稳定性 假定气块起始（假定气块起始（t=0）位于）位于 ,其速度为其速度为 。该气块受扰后向北移：该气块受扰后向北移：第8页，本讲稿共20页经过经过 时间后，它移动到
9、时间后，它移动到 处，此时，其经向位移和纬向处，此时，其经向位移和纬向速度可分别表为：速度可分别表为：在在 处的基本流为：处的基本流为：基本气流基本气流的绝对涡的绝对涡度度南北位移的气块是受抑制而返回其平衡位置南北位移的气块是受抑制而返回其平衡位置(稳定稳定)?还是加速远还是加速远离其平衡位置离其平衡位置(不稳定不稳定)?或是随遇平衡或是随遇平衡(中性中性)?取决于背景场的取决于背景场的绝对涡度。绝对涡度。第9页，本讲稿共20页在北半球在北半球,f 0,故惯性稳定度的判据可表为故惯性稳定度的判据可表为:当当 时，有时，有在北半球在北半球,通常有通常有 ,即大尺度运动通常是惯性稳定的。但是，即大
10、尺度运动通常是惯性稳定的。但是，在急流轴右侧区域，有在急流轴右侧区域，有 ，若气流水平切变足够大，以致，若气流水平切变足够大，以致于负值相对涡度（于负值相对涡度（）超过了行星涡度时，绝对涡度）超过了行星涡度时，绝对涡度会出现负值会出现负值 ），即），即惯性不稳定惯性不稳定的情形。这时，的情形。这时，空气南北运动的发展将导致水平动量的南北交换（混合），空气南北运动的发展将导致水平动量的南北交换（混合），从而使急流右侧的反气旋式切变减小。所以，急流轴右侧不从而使急流右侧的反气旋式切变减小。所以，急流轴右侧不可能长时间维持很大的反气旋式切变。急流轴左侧则不同，可能长时间维持很大的反气旋式切变。急流轴
11、左侧则不同，风速水平切变为气旋式切变，即，所以绝对涡度恒为正，即风速水平切变为气旋式切变，即，所以绝对涡度恒为正，即急流轴左侧的区域总是急流轴左侧的区域总是惯性稳定惯性稳定的。的。第10页，本讲稿共20页2 对称稳定度对称稳定度 静力稳定度是气块垂直运动时的稳定性静力稳定度是气块垂直运动时的稳定性,惯性稳定度是气块水平惯性稳定度是气块水平运动时的稳定性。如果大气既是静力稳定的又是惯性稳定的，运动时的稳定性。如果大气既是静力稳定的又是惯性稳定的，则它在作垂直运动或作水平运动时，运动都是稳定的。但是，则它在作垂直运动或作水平运动时，运动都是稳定的。但是，当气块沿倾斜等熵面（位温为常数）作倾斜运动（
12、既有铅直运当气块沿倾斜等熵面（位温为常数）作倾斜运动（既有铅直运动又有水平运动）时，其运动仍然可能是不稳定的，这时的不动又有水平运动）时，其运动仍然可能是不稳定的，这时的不稳定称为稳定称为“对称不稳定对称不稳定”。假定：假定：（1）基本状态是满足地转平衡和静力平衡的无粘绝热纬）基本状态是满足地转平衡和静力平衡的无粘绝热纬向运动（与向运动（与x无关）。基本流可表为：无关）。基本流可表为：（2）运动是绝热的且满足静力平衡，即）运动是绝热的且满足静力平衡，即 第11页，本讲稿共20页当起始位于当起始位于 点的气块沿等位温面倾斜上升到点的气块沿等位温面倾斜上升到 点时，点时，基本流可表为：基本流可表为
13、：另外，在等熵面上，有另外，在等熵面上，有：此即等熵面坡度。此即等熵面坡度。位温垂横向（y方向）直剖面 第12页，本讲稿共20页因为，根据基本态气流满足地转和静力平衡，由热成风公式（或静力因为，根据基本态气流满足地转和静力平衡，由热成风公式（或静力学公式）有学公式）有 故：故：于是于是y方向方程：方向方程：或或 在北半球，在北半球，上式表明，上式表明,对称不稳定条件（判据）可表为：对称不稳定条件（判据）可表为：里查孙数（Richardson）或第13页，本讲稿共20页显然，在惯性稳定（显然，在惯性稳定（）和静力稳定（）和静力稳定（）的条件下，）的条件下，仍然可能满足对称不稳定判据，即仍然可以出
14、现对称不稳定现仍然可能满足对称不稳定判据，即仍然可以出现对称不稳定现象。而且，象。而且，小的绝对涡度、强的垂直风切变和弱的静力稳定度小的绝对涡度、强的垂直风切变和弱的静力稳定度更有更有利于出现利于出现对称不稳定对称不稳定。有些中尺度系统表现为一种线状对流系统，如锋前飑线。其环有些中尺度系统表现为一种线状对流系统，如锋前飑线。其环流可看成是二维的，其轴线与基本气流切变矢的方向一致，流可看成是二维的，其轴线与基本气流切变矢的方向一致，扰动相对于轴线是对称的。上述中尺度不稳定可能是这类对扰动相对于轴线是对称的。上述中尺度不稳定可能是这类对流系统如飑线或中尺度对流复合体（流系统如飑线或中尺度对流复合体
15、（MCC）的一种重要激发机）的一种重要激发机制。制。由于这种中尺度环流的轴对称性，所以这种不稳定称为由于这种中尺度环流的轴对称性，所以这种不稳定称为“对称不稳定对称不稳定”。（由于在早期的研究中，认为这是一种由对。（由于在早期的研究中，认为这是一种由对称环状涡旋中的径向扰动所引起的不稳定现象，故称为称环状涡旋中的径向扰动所引起的不稳定现象，故称为对称不对称不稳定稳定）第14页，本讲稿共20页8.3 大气长波的正压稳定性大气长波的正压稳定性 1 正压不稳定的必要条件正压不稳定的必要条件-郭晓岚判据郭晓岚判据 大气长波是大尺度运动中的主要波动。大气长波是大尺度运动中的主要波动。从波动观点看，大从波
16、动观点看，大气长波的不稳定增长是大尺度天气系统发生发展的重要机制气长波的不稳定增长是大尺度天气系统发生发展的重要机制。在无切变的平行基流（在无切变的平行基流（）中，大气长波的频率（或波速）为实）中，大气长波的频率（或波速）为实数，即波动是稳定的。数，即波动是稳定的。当基本气流存在水平或铅直切变时，大当基本气流存在水平或铅直切变时，大气长波则可能出现不稳定气长波则可能出现不稳定。本节先考虑只有水平切变的基本气流中的大气长波的稳定性问题，本节先考虑只有水平切变的基本气流中的大气长波的稳定性问题，即所谓大气长波的即所谓大气长波的正压稳定性正压稳定性问题。问题。假定：假定：（1 1）基本气流为只与）基
17、本气流为只与y y有关纬向流，即有关纬向流，即（2 2）扰动为无辐散的纯水平运动）扰动为无辐散的纯水平运动：第15页，本讲稿共20页于是，无摩擦的线性化扰动方程组可表为：于是，无摩擦的线性化扰动方程组可表为：由前两式可得如下扰动涡度方程：由前两式可得如下扰动涡度方程：引入扰动流函数引入扰动流函数:则涡度方程可改写为则涡度方程可改写为 第16页，本讲稿共20页 考虑考虑y介于介于D与与-D之间、之间、x方向无界的通道区域（右图），边界方向无界的通道区域（右图），边界条件可表为：条件可表为：当当 设扰动涡度方程的任一单波解为设扰动涡度方程的任一单波解为 代入方程，可得关于振幅的本征值问题代入方程，
18、可得关于振幅的本征值问题其中：其中：水平通道模式 1第17页，本讲稿共20页考虑稳定性问题，波速考虑稳定性问题，波速C 和振幅函数和振幅函数 都可能是复数：都可能是复数：其中，其中，C*和和*分别为分别为C和和 的复共轭的复共轭，它们也满足本征值方程：它们也满足本征值方程：*（1）-（2）得：）得：从从 积分到分到 并利用边界条件得并利用边界条件得 2第18页，本讲稿共20页要有不稳定波要有不稳定波,须须 ,于是于是,必须必须 因因 恒大于零，则要求恒大于零，则要求 在区间（在区间（-D，D）上改变符号，即至少存在一个点）上改变符号，即至少存在一个点 ，使得，使得 成立，即基本气流的绝对涡度在区间（成立，即基本气流的绝对涡度在区间（-D，D）上至少存在一个）上至少存在一个极值点。极值点。若在（若在（）上）上,处处有处处有 ，则必是则必是波动稳定波动稳定3第19页，本讲稿共20页 它给出了正压它给出了正压Rossy波（大气长波）不稳定的一个必要条件或稳波（大气长波）不稳定的一个必要条件或稳定的充分条件。（定的充分条件。（3）式表明，对于不稳定波）式表明，对于不稳定波,基本气流的水平切基本气流的水平切变在（变在（-D，D）上不能恒为常数（均匀切变），否则扰动是稳定的。）上不能恒为常数（均匀切变），否则扰动是稳定的。第20页，本讲稿共20页