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1、代数考前辅导课件第1 页，本讲稿共32 页 结论：对角形行列式的值，等于主对角线上各元素的乘积。结论：下三角形行列式的值也等于主对角线上各元素的乘积。结论：上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。3、行列式的性质 性质1 行列式转置后，其值不变。性质2 对换行列式的两行（列）的位置后，行列式变号。推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则行列式等于零。第2 页，本讲稿共32 页性质3 将行列式的某一行（列）的每个元素都乘以同一数k，等于用数k 乘这个行列式。推论：如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零。性质4 如果行列式D 中某一行（列）的每个元素都是两个数之和，则
2、此行列式等于两个行列式D1与D2之和。其中D1的该行（列）元素为两个数中的第一个数，其余各行（列）的元素与D 相同；D2的该行（列）元素为两个数中的第二个数，其余各行（列）的元素也与D 相同。第3 页，本讲稿共32 页性质5 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 之后,加到另一行(列)对应位置的元素上去,行列式的值不变.4、行列式按行（列）展开 余子式和代数余子式的定义，计算定理1.3 n 阶行列式D 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用这个法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。第4 页，本讲稿共32 页 例 计算
3、行列式 解第5 页，本讲稿共32 页5、克莱姆法则 定理1.5(克莱姆法则)如果n 元线性方程组的系数行列式D0,则方程组有唯一解其中 是将系数行列式D 中的第j 列元素 换成常数项 后所构成的行列式.注意:用定理1.5 求线性方程组的解时,必须满足条件D0.即只有当D0 时才能用克莱姆法则求方程的解.定理1.6 齐次线性方程组仅有零解的必要充分条件是它的系数行列式D0。定理1.7 齐次线性方程组存在非零解的必要充分条件是它的系数行列式D=0。第6 页，本讲稿共32 页 例 判定齐次线性方程组仅有零解。解 因为齐次线性方程组的系数行列式故由定理1.6 知，所给齐次线性方程组仅有零解。第7 页，
4、本讲稿共32 页第2 章 矩阵1、矩阵的概念定义，表示线性方程组，矩阵相等，方阵2、矩阵的运算相加，数乘，矩阵相乘，矩阵的转置3、几种特殊的方阵单位方阵，数量方阵，对角方阵，三角方阵4、逆方阵定义：对于n 阶方阵A，如果存在n 阶方阵B，使得 AB=BA=E则称B 是A 的逆运算（简称A 的逆），记为，并称A 是可逆的。第8 页，本讲稿共32 页 非奇异方阵：如果n 阶方阵A 的行列式不等于零，即有 则称A 为非奇异方阵，或称A 为非奇异的。推论：如果对于n 阶方阵A，存在同阶方阵B，使得AB=E（或BA=E），则B 就是A 的逆。例 设A 为三阶方阵，且，则第9 页，本讲稿共32 页5、矩阵
5、的初等变换 定义：对矩阵施以下列任一种变换，均称为对矩阵作初等变换：（1）互换矩阵A 的第i、第j 两行（列），称为对矩阵A 施以第一种初等行（列）变换；（2）用一个非零的数k 乘矩阵A 的第i 行（列），称为对A 施以第二种初等行（列）变换；（3）把矩阵A 的第j 行（i 列）的l 倍加到第i 行（j 列）上，称为对A 施以第三种初等行（列）变换。第10 页，本讲稿共32 页 定理2.3 对矩阵 以若干次初等变换(包括行变换和列变换),总可以将A 化为标准形矩阵D,其中即它的左上角是个r 阶单位方阵,其余的元素都是零(r最少可以是零,最多可以是n 与m 中的较小者).推论：如果A 为n 阶可
6、逆方阵，则A 可化成n 阶单位方阵。第1 1 页，本讲稿共32 页用初等变换求 方法：第一步：将A,E 这两个n 阶方阵凑在一起，作成一个n2 n 矩阵;第二步：对 作初等变换，目的是将A 变成单位方阵E，右边就变成 了。解矩阵方程 AX=B,其中A 是n 阶可逆方阵，X 是n m矩阵，B 是n m 矩阵，此时有.用初等变换求 的方法：第一步：将A,B 两个矩阵合并在一起，作成一个n（n+m）矩阵;第二步：对 初等行变换，目的是将A 变成单位方阵E；当A 变成E 时,右边的B 就变成 了。第12 页，本讲稿共32 页例 已知三阶方阵（1）判断三阶方阵A 是否可逆？（2）若三阶方阵A 可逆，则利
7、用矩阵变换法求其逆矩阵。解（1）因为所以方阵A 可逆。第13 页，本讲稿共32 页（2）因为所以第14 页，本讲稿共32 页第3 章 n 维向量1、向量的概念定义：n 个有顺序的数 所组成的数组称为一个n 维向量，记为其中 叫做向量 的第1 个，第2 个，第n 个分量（或坐标）。向量相等，零向量，负向量2、向量的运算向量的加法，数乘第15 页，本讲稿共32 页3、向量的线性关系定义1：设 都是n 维向量。如果存在一组数，使得关系式成立，则称向量 是向量组 的线性组合，并称向量 可由向量组 线性表示（或线性表出）。定义2：对于给定的n 维向量组，如果存在一组不全为零的数，使得关系式成立，则称向量
8、组 线性相关。如果仅当 时，关系式（3.5）式才成立，则称向量组 线性无关。第16 页，本讲稿共32 页 例 设n 维向量 线性无关，证明线性无关。证 设有一组数，使得关系式成立，即有成立，由已知 线性无关，所以仅当（1）式中 的系数为零时才能使（1）式成立，即仅当时，关系式（1）才能成立。第17 页，本讲稿共32 页而方程组（2）的系数行列式由定理1.6 知方程组（2）仅有零解：，也就是说，仅当 时才有关系式成立，所以 线性无关。例 证明：向量组 线性相关。证 设一组数，使得关系式第18 页，本讲稿共32 页成立，即有成立，所以有成立，由于方程组（2）的系数行列式故由定理1.7 知方程组（2
9、）有非零解，这就是说，存在一组不全为零的数 使得关系式（1）式成立，由定义知 线性相关。第19 页，本讲稿共32 页小结：证明一个向量线性相关或线性无关的基本的方法是：先设一组数 使得关系式成立，再应用向量的运算和相等的定义找出一个关于未知数的齐次线性方程组，最后应用定理1.7 和定量1.6 来判定方程组有非零解还是仅有零解，如果有非零解，则线性相关，如果仅有零解，则线性无关。定理3.3 如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。注意：这个定理的逆定理不成立，即：整体相关，部分不一定相关。推论：线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的。（推论可以简述为：整体无关，部分必无关。）
10、第20 页，本讲稿共32 页极大无关组的概念极大无关组的求法：将所给的行向量组 写成一个s 行的矩阵，对这个矩阵作初等变换将它化为阶梯形，由阶梯形矩阵中找出哪几行是非零的向量，则这几行所对应的向量组就是一个极大无关组。定义：向量组 的极大无关组中所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为 求一个向量组的秩的方法很简单，只要用上面的求极大无关组的方法，将矩阵化为阶梯形，数一下非零向量的个数即可。第21 页，本讲稿共32 页定义：矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩；矩阵A 的列向量组的秩，称为A 的列秩。矩阵的行秩等于列秩。定义:矩阵A 的行秩与列秩,统称为矩阵A 的秩,记.第4 章 线性方程组
11、1、线性方程组解的判定定理定理4.1 线性方程组(4.1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 的秩，等于其增广矩阵的秩，即定理4.1 给出了判定线性方程组(4.1)有解或无解的方法：（1）当 时，线性方程组(4.1)有唯一解；（2）当 时，线性方程组(4.1)有无穷多组解；（3）当 时，线性方程组(4.1)无解。第22 页，本讲稿共32 页定理4.2 齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。2、消元解法3、线性方程组解的结构解向量的性质,基础解系定理4.3 如果齐次线性方程组（4.2）的系数矩阵A 的秩，则齐次线性方程组必定存在基础解系，且每个基础解系中
12、所含的解向量的个数为n r 个。第23 页，本讲稿共32 页求齐次线性方程组（4.2）的基础解系和全部解的方法：第一步：对齐次线性方程组（4.2）的系数矩阵A 施以初等行变换，将其左上角化为r 阶单位方阵，即（4.7）式；第二步：按（4.8）式写出n r 个解向量，就是齐次线性方程组（4.2）的一个基础解系；第三步：按（4.9）写出方程组（4.2）的全部解。定理4.4 如果 是非齐次线性方程组的一个解(特解)，是其导出组的全部解，则非齐次线性方程组的全部解为第24 页，本讲稿共32 页 由定理4.4 可知求非齐次线性方程组 的全部解的方法：第一步：求出其导出组 的基础解系 与的一个特解；实际求
13、解时，只需要对增广矩阵做初等行变换先化为阶梯形，再回代即可。第二步：将特解 与 的全部解 相加就得到的全部解，即第25 页，本讲稿共32 页 例 求非齐次线性方程组的全部解。解 第26 页，本讲稿共32 页所以，方程组有解，基础解系中含有nr=4-2=2 个解向量：一个特解：故方程组的全部解为：第27 页，本讲稿共32 页第5 章 特征值与特征向量 特征方阵、特征多项式、特征方程、特征值、特征向量 对于一个n 阶方阵A，因为A 的特征值有n 个，对于每个特征值均有相应的特征向量。如果方阵 的秩等于，则齐次方程组必定存在基础解系，且恰有 个线性无关的解向量（由定理4.3）。每一个解向量都是A 的
14、属于 的特征向量，并且它们的线性组合是A 的属于 的特征向量（全部特征向量）。第28 页，本讲稿共32 页例 设 求A 的特征值和特征向量。解 其特征方程为故A 的特征值为：。第29 页，本讲稿共32 页（1）求对应 的特征向量，有因为系数矩阵的秩等于2，所以基础解系中应含有一个解向量：对应于 的全部特征向量为第30 页，本讲稿共32 页（2）求对应于 的特征向量，有因为系数矩阵的秩等于1，所以基础解系中应含有两个解向量：对应于 的全部特征向量为第31 页，本讲稿共32 页期末考试题型分A,B 卷，满分70 分,2 小时内完成：一、填空题，5 题，每题2 分，共10 分；二、单项选择题，5 题，每题2 分，共10 分；三、计算与证明题，6 题，共50 分。总评满分100 分：期末成绩70 分；三次作业30 分第32 页，本讲稿共32 页