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1、第五章第五章 范数及其应用范数及其应用虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称为为“上帝的幽灵上帝的幽灵”，进而导致，进而导致“第二次数第二次数学危机学危机”，直到柯西的，直到柯西的“极限论极限论”和戴德和戴德金等的金等的“实数理论实数理论”的出现危机才算彻底的出现危机才算彻底解决。但微积分在近代社会的巨大作用我解决。但微积分在近代社会的巨大作用我们早已深有体会，们早已深有体会，将微积分中的极限、导将微积分中的极限、导数、积分、级数等分析思想和方法应用于数、积分、级数等分析思想和方法应用于矩阵的研究矩阵的研究，自然就在情理之中。，自然就在情理之中。对于实数和复数
2、，由于定义了它们的对于实数和复数，由于定义了它们的绝对绝对值或模，值或模，这样我们就可以用这个这样我们就可以用这个度量度量来表示它来表示它们的们的大小大小（几何上就是（几何上就是长度长度），进而可以考察），进而可以考察两个实数或复数的两个实数或复数的距离距离。对于对于 维线性空间，定义了维线性空间，定义了内积内积以后，以后，向量就有了向量就有了长度长度（大小）、（大小）、角度角度、距离距离等度量等度量概念，这显然是概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推维现实空间中相应概念的推广。利用广。利用公理化的方法公理化的方法，可以进一步把向量长，可以进一步把向量长度的概念推广到度的概念推广到范数范数。
3、1、从向量范数到矩阵范数、从向量范数到矩阵范数一、一、从向量的长度或模谈起从向量的长度或模谈起 ，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。例例例例 1 1 1 1复数复数 的长度或的长度或模模模模指的是指的是量量显然复数显然复数 的模的模 具有下列三条性质：具有下列三条性质：，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。显然向量显然向量 的模的模 也具有下列三条性质：也具有下列三条性质：例例例例 2 2 2 2 维欧氏空间维欧氏空间 中向量中向量 的长度或范数的长度或范数定义为定义为定义定义定义定义3 3 3 3如果如果 是是数域数域 上的上的线性空间线性空间，对，对 中的任中的任
4、意向量意向量 ，都有一个，都有一个非负实数非负实数 与之对应，并与之对应，并且具有下列三个条件（且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式正定性、正齐性和三角不等式）：）：则称则称 是向量是向量 的的向量范数向量范数向量范数向量范数，称定义了范数的线，称定义了范数的线性空间性空间 为为赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间。例例例例 4 4 4 4 设设 是内积空间，则由是内积空间，则由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为由内积上的向量范数，称为由内积 导导导导出的范数出的范数出的范数出的范数。这说明有内积必有范数，有范数则未必有这说明有内积必有范数，有范数则未必有内积，即范数
5、未必都可由内积导出内积，即范数未必都可由内积导出。例如后面介绍的。例如后面介绍的 范数范数 和和 都不是由内积导出的范数。都不是由内积导出的范数。例例例例 5 5 5 5 在赋范线性空间在赋范线性空间 中，定义任意两向量之间的中，定义任意两向量之间的距离距离为为则称此距离则称此距离 为为为为 由范数由范数由范数由范数 导出的距离导出的距离导出的距离导出的距离。此。此时按此式定义了距离的时按此式定义了距离的 满足度量空间的满足度量空间的距离三公距离三公理理（对称性、三角不等式和非负性对称性、三角不等式和非负性），所以赋范线性，所以赋范线性空间按由范数导出的距离构成一个特殊的空间按由范数导出的距离
6、构成一个特殊的度量（距离）度量（距离）度量（距离）度量（距离）空间空间空间空间。拓扑空间拓扑空间线性空间线性空间Hausdorff空间空间赋范空间赋范空间 距离空间距离空间(度量空间度量空间)拓扑线性空间拓扑线性空间完备距离完备距离线性空间线性空间距离线性空间距离线性空间内积空间内积空间Hilbert空间空间Banach空间空间欧氏空间欧氏空间 和和各类空间的层次关系各类空间的层次关系二、二、常用的向量范数常用的向量范数例例例例 6 6 6 6 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为2-2-范数范数范数范数或或 范数，也称为范数，也称为 Euclid E
7、uclid 范数范数范数范数。例例例例 7 7 7 7 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为p-p-范数范数范数范数或或 范数或范数或Holder范数。范数。定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为1-1-范数范数范数范数或或 范数或范数或和范数和范数和范数和范数，也被风趣地称为，也被风趣地称为ManhattanManhattan范数范数范数范数。特别地，特别地，p=1 时，有时，有例例例例 8 8 8 8 对任意对任意 ，由，由ABC遗憾的是，当遗憾的是，当 时，由时，由定义的定义的 不是不是 上的向量范数。上的向量范数。因为因为 时
8、，取时，取 ，则，则定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为 -范数范数范数范数或或 范数或范数或极大范数极大范数极大范数极大范数。在在广义实数（即将广义实数（即将“无穷无穷”看成数）看成数）范围内，范围内，P P能否能否取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？取到正无穷大呢？具体而言，如何计算这种范数呢？例例例例 9 9 9 9 对任意对任意 ，由，由（1）正定性：）正定性：（2）正齐性：）正齐性：（3）三角不等式：）三角不等式：令令例例例例 10101010 计算向量计算向量的的p范数，这里范数，这里解解解解 ：%exm501.m a=3*i,-4*i,0，-12;n
9、orm(a),norm(a,1),norm(a,inf)ans=13ans=19ans=12这些范数在几何上如何理解呢？这些范数在几何上如何理解呢？例例例例11 11 11 11 对任意对任意 ，对应于，对应于 四四种范数的种范数的闭单位圆闭单位圆 的图形分别为的图形分别为定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为加权范数加权范数加权范数加权范数或或椭椭椭椭圆范数圆范数圆范数圆范数。例例例例 12 12 12 12 若矩阵若矩阵 为正定为正定Hermite矩阵，则由矩阵，则由对于任意对于任意 ，有，有当当 时，时，；当；当 时由时由 知知 ，即，即 。由于由于 ，故存在酉矩阵，故
10、存在酉矩阵 ，使得，使得从而有从而有这里这里 的特征值的特征值 都为正数。都为正数。因此对任意因此对任意 ，即定理即定理2.4.9从几何上可以理解成求可逆变换从几何上可以理解成求可逆变换 的像的像 的的“长长度度”。这说明只要运算这说明只要运算 成立即可，因此成立即可，因此对矩阵对矩阵 的要求可放宽为的要求可放宽为列满秩矩阵列满秩矩阵。如果如果 ，此时，此时这就是这就是加权范数加权范数加权范数加权范数或或椭圆范数椭圆范数椭圆范数椭圆范数名称的由来。名称的由来。为为李雅普诺夫（李雅普诺夫（李雅普诺夫（李雅普诺夫（LyapunovLyapunov）函数）函数）函数）函数，这里，这里 是正定是正定H
11、ermite矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和矩阵。大家已经知道，此函数是讨论线性和非线性系统稳定性的重要工具。非线性系统稳定性的重要工具。在现代控制理论中，称二次型函数在现代控制理论中，称二次型函数例例例例 13 13 13 13（模式识别中的模式分类问题模式识别中的模式分类问题）模式分类模式分类模式分类模式分类的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的问题指的是根据已知类型属性的观测样本的模式向量的模式向量 ，判断未知类型属性的模式，判断未知类型属性的模式向量向量 归属于哪一类模式。其基本思想是归属于哪一类模式。其基本思想是根据根据 与与模式样本向量模式样本向量 的相似度大小作出判断。的
12、相似度大小作出判断。最简单的方法是用最简单的方法是用两向量之间的距离两向量之间的距离来表示相似度，来表示相似度，距离越小，相似度越大距离越小，相似度越大。最典型的是。最典型的是Euclidean距离距离其他其他距离测度距离测度还包括还包括以及与椭圆范数类似的以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离距离：这里这里 是从正态总体是从正态总体 中抽取的两个样本。中抽取的两个样本。例例例例 14141414 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的向量范数，称为上的向量范数，称为 范数。范数。特别地，特别地，范数、范数、范数和范数和 范数分别为范数分别为定理定理定理定理15 15 15 1
13、5 设线性空间设线性空间 中任意向量中任意向量 在基在基下的坐标向量为下的坐标向量为 ，则，则是是 上的向量范数。上的向量范数。三、三、向量范数的几个性质向量范数的几个性质定理定理定理定理16 16 16 16 Euclid范数是范数是酉不变酉不变酉不变酉不变的，即对任意酉矩阵的，即对任意酉矩阵 以及任意以及任意 ，均有，均有这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的这个定理的结论是显然的，因为酉变换保持向量的内积不变内积不变，自然也保持了，自然也保持了Euclid意义下的意义下的几何结构几何结构（长度、（长度、角度角度或或范数范数等）等）不变不变。注意这个结论对注意这个结论对无限维无限维未
14、必成立。另外，根据等价未必成立。另外，根据等价性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，性，处理向量问题（例如向量序列的敛散性）时，我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种我们可以基于一种范数来建立理论，而使用另一种范数来进行计算。范数来进行计算。定理定理定理定理17 17 17 17 有限维线性空间有限维线性空间 上的上的不同范数是等价的不同范数是等价的不同范数是等价的不同范数是等价的，即对即对 上定义的任意两种向量范数上定义的任意两种向量范数 ，必，必存在两个任意正常数存在两个任意正常数 ，使得，使得 向量是特殊的矩阵，向量是特殊的矩阵，矩阵可以看矩阵可以看成一个成一个 维向量，因此
15、自然想到将向维向量，因此自然想到将向量范数推广到矩阵范数。量范数推广到矩阵范数。2、矩阵范数、矩阵范数定义定义定义定义1 1 1 1 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，都有一个非负实，都有一个非负实数数 与之对应，并且具有下列三个条件（与之对应，并且具有下列三个条件（正定性、正正定性、正齐性和三角不等式齐性和三角不等式）：）：则称则称 是矩阵是矩阵 的（的（广义广义广义广义）矩阵范数矩阵范数矩阵范数矩阵范数。一、一、矩阵范数的概念矩阵范数的概念例例例例 2 2 2 2 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的矩阵范数，称为上的矩阵范数，称为 范数。范数。时退化为时退化为 中的中的1范数；
16、范数；时退化为时退化为 中的中的1范数。范数。例例例例 3 3 3 3 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的（广义）矩阵范数，称为上的（广义）矩阵范数，称为 范数。范数。时退化为时退化为 中的中的 范数；范数；时退化为时退化为 中的中的 范数。范数。例例例例 4 4 4 4 对任意对任意 ，由，由定义的定义的 是是 上的矩阵范数，称为上的矩阵范数，称为 范范数或数或Euclid Euclid 范数或范数或范数或范数或SchurSchur范数范数范数范数或或FrobeniusFrobenius范数范数范数范数(F(F范数范数范数范数)或或或或Hibert-SchmidtHibert-S
17、chmidt范数范数范数范数。时退化为时退化为 中的中的2范数；范数；时退化为时退化为 中的中的2范数。范数。二、二、算子范数和范数的相容性算子范数和范数的相容性矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。矩阵不仅仅是向量，它还可以看成变换或算子。实际实际中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。中，从算子或变换的角度来定义范数更加有用。定义定义定义定义5 5 5 5 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，用一个非负实，用一个非负实数数 表示对于任意向量表示对于任意向量 ，可以可以“拉伸拉伸”向量向量 的最大倍数的最大倍数，即使得不等式，即使得不等式成立的最小的数成立的最小的数 。称。称 为范数为范
18、数 和和 诱导出的矩阵范数诱导出的矩阵范数诱导出的矩阵范数诱导出的矩阵范数或或算子范数算子范数算子范数算子范数。由矩阵范数的正齐性可知由矩阵范数的正齐性可知 的作用是由它对单位向的作用是由它对单位向量的作用所决定，因此可以等价地用量的作用所决定，因此可以等价地用单位向量在单位向量在 下下的像的像来定义算子范数，即来定义算子范数，即从几何上看，算子范数反映了线性映射把一个向量映从几何上看，算子范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，射为另一个向量，向量的向量的“长度长度”缩放的比例缩放的比例 的上界。的上界。而且考虑到而且考虑到矩阵乘法的重要地位矩阵乘法的重要地位，因此讨论矩阵范数，因此讨
19、论矩阵范数时一般附加时一般附加“范数相容性范数相容性”条件（这里的范数一般条件（这里的范数一般要求是要求是同类的同类的）：）：注意到注意到即即例例例例6 6 6 6 证明：前面给出的矩阵范数证明：前面给出的矩阵范数 都满足都满足“相容性条件相容性条件”，即成立，即成立但是矩阵范数但是矩阵范数 不满足不满足“相容性条件相容性条件”。例如。例如对于矩阵对于矩阵就有就有要使矩阵范数要使矩阵范数 满足满足“相容性条件相容性条件”，则可以，则可以修正其定义为：修正其定义为：在在“相容性条件相容性条件”中，如果中，如果 而且而且范数范数 与范数与范数 相同时，即如果有相同时，即如果有则称则称矩阵范数矩阵范
20、数矩阵范数矩阵范数 与向量范数与向量范数与向量范数与向量范数 是相容的是相容的是相容的是相容的。证明证明：定理定理定理定理7 7 7 7 上的矩阵上的矩阵F-范数与范数与 上的向量上的向量2-2-范数相容。范数相容。(柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式)根据算子范数的定义，当向量范数根据算子范数的定义，当向量范数 分别为分别为 时，我们可时，我们可诱导出诱导出相应的相容相应的相容矩阵范数矩阵范数 。三个诱导范数三个诱导范数设任意矩阵设任意矩阵 ，则，则1-1-范数范数单位球单位球 在在 下的下的像像中的任意向量中的任意向量 满足满足从而从而如果如果 ，则选取，则选取 ，此时由，此时由 ，
21、得，得因此因此类似地可得，类似地可得，实际上，实际上，这些诱导矩阵范数具有如下的这些诱导矩阵范数具有如下的表示定理表示定理。定理定理定理定理8 8 8 8 对对 中的任意矩阵中的任意矩阵 ，有，有 最大最大列和列和 最大最大行和行和 最大最大谱谱证明：证明：所以所以 ,因此其特征值全部为非负实因此其特征值全部为非负实数，设为数，设为 并设对应的两两互相正交且并设对应的两两互相正交且2-范数都为范数都为1的特的特征向量为征向量为 ，那么，对于，那么，对于任意的单位任意的单位2-范数向量范数向量 ，必成立，必成立 所以所以因此成立因此成立 另外，由于另外，由于 ，而且，而且同样给出这些范数在几何上
22、的理解。同样给出这些范数在几何上的理解。例例例例 9 9 9 9 求矩阵求矩阵的的 范数（范数（），并考察对应于），并考察对应于 的三种向量范数的的三种向量范数的闭单位球闭单位球在矩阵在矩阵 作用下的效果。作用下的效果。%exm502.m A=1 2;0 2;norm(A),norm(A,1),norm(A,inf)ans=2.9208ans=4ans=3定理定理定理定理10 10 10 10 有限维线性空间有限维线性空间 上的上的不同范数是等价的不同范数是等价的不同范数是等价的不同范数是等价的，即对即对 上定义的任意两种矩阵范数上定义的任意两种矩阵范数 ，必，必存在两个任意正常数存在两个任意
23、正常数 ，使得，使得三、矩阵范数的一些性质三、矩阵范数的一些性质定理定理定理定理11111111 上的上的谱范数谱范数具有下列性质：具有下列性质：(1)(1)设有设有 使使 ，令令 ，则有，则有 证明证明：(2)(2)(3)(3)设有设有 使使 ，则，则 定理定理定理定理12 12 12 12 上的矩阵上的矩阵F-F-范数和谱范数都是范数和谱范数都是酉不酉不酉不酉不变的变的变的变的，即对任意酉矩阵，即对任意酉矩阵 ，恒有，恒有令令则则即即对于对于谱范数谱范数的情形，利用定义即可。的情形，利用定义即可。对于对于谱范数谱范数，这个定理的结论可以推广到这个定理的结论可以推广到半半酉酉矩阵矩阵，即，即
24、的情形，此时仍然成立的情形，此时仍然成立利用定理利用定理2626可以证明这个推广结论。可以证明这个推广结论。定理定理13 13 对矩阵对矩阵 ，表示矩阵表示矩阵 的的 个个非零非零奇异值，则奇异值，则%exm503.m H=hilb(20);/Hilbert矩阵 norm(H,2)；/计算H的2范数max(svd(H)；/计算H的2范数ans=1.9071 长度和距离在长度和距离在实分析实分析和和复分析复分析中的应中的应用，我们已经有充分认识，而范数是长度用，我们已经有充分认识，而范数是长度和距离的推广，因此和距离的推广，因此范数范数作为一种推广的作为一种推广的度量，由于其抽象性和概括性，其应
25、用范度量，由于其抽象性和概括性，其应用范围自然也随之扩展。至少在围自然也随之扩展。至少在矩阵分析矩阵分析和和数数值线性代数值线性代数领域，范数有着深刻的应用。领域，范数有着深刻的应用。3、范数的几个应用、范数的几个应用一、谱半径与矩阵范数一、谱半径与矩阵范数根据矩阵的诱导范数的含义，结合特征值，根据矩阵的诱导范数的含义，结合特征值，设设 为为 的任意的任意特征对特征对，则，则从而从而这说明矩阵特征值的模都不超过它的范数这说明矩阵特征值的模都不超过它的范数。定义定义1 1 设设 的特征值为的特征值为 ，称，称为矩阵为矩阵 的的谱半径谱半径。定理定理2 2 对对 的任意矩阵范数的任意矩阵范数 ，恒
26、有恒有当当 是是正规矩阵正规矩阵时，等号对时，等号对2-范数范数成立。成立。当当 是正规阵时，有是正规阵时，有特征值分解特征值分解从而从而证明证明：例例例例 3 3 3 3 求矩阵求矩阵的谱半径的谱半径%exm505.mA=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;%方法一方法一 r=vrho(A)%使用内置函数使用内置函数vrho%方法二方法二 r=max(abs(eig(A)%使用内置函数使用内置函数vrho的定义的定义%方法三方法三D=jordan(A)r=norm(D,inf)/最大特征值最大特征值r=2定理定理4 4 对对 ，存在存在 上矩阵范上矩阵范数数 ，对任意，对任意 ，恒有，恒
27、有定理定理2 2给出了方阵谱半径的的一个上界，那么给出了方阵谱半径的的一个上界，那么矩阵谱半径的下界呢？矩阵谱半径的下界呢？注意这里的矩阵范数与矩阵注意这里的矩阵范数与矩阵 有关。有关。对任意矩阵对任意矩阵 ，存在，存在Jordan标准型标准型其中其中 ，证明证明：令令 ，则，则从而从而易证函数易证函数 是是 上上的矩阵范数，这里的矩阵范数，这里例例5 5 设设 为为 的的单单位列向量位列向量,令令 ，则则(1)；(2)；(3)(1)因为因为 ，所以，所以(2)因为秩因为秩 ，并且，并且 是对称矩阵，是对称矩阵，所以所以1是矩阵是矩阵 唯一的非零特征值，因此矩唯一的非零特征值，因此矩阵阵 的特
28、征值为的特征值为 ，从而，从而(3)二、矩阵逆和线性方程组解的扰动分析二、矩阵逆和线性方程组解的扰动分析例例 6 6 线性方程组线性方程组的精确解为的精确解为如果系数矩阵和常数项分别有一个如果系数矩阵和常数项分别有一个扰动扰动则则扰动后的线性方程组扰动后的线性方程组为为它的精确解为它的精确解为显然，由于原方程组本身的固有性质导致显然，由于原方程组本身的固有性质导致原始原始数据的小扰动引起解的很大变化数据的小扰动引起解的很大变化，我们称这样，我们称这样的问题是的问题是病态的病态的（敏感的敏感的）或）或不稳定的。不稳定的。下面下面定量分析定量分析系数矩阵和常数项的扰动对线性系数矩阵和常数项的扰动对
29、线性方程组解的影响。方程组解的影响。设设非奇异非奇异线性方程组线性方程组 ，经扰动后仍有，经扰动后仍有唯一解唯一解 ，即成立，即成立因此因此两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得如果有如果有 ，则，则绝对误差估计式绝对误差估计式再由再由 ，可得，可得即即因此因此这里这里相对误差相对误差估计式估计式显然在相对误差估计式中，系数显然在相对误差估计式中，系数 反映了方反映了方程组解程组解 的相对误差对于系数矩阵的相对误差对于系数矩阵 和常数和常数项项 的相对误差的依赖程度。的相对误差的依赖程度。越大，方程组越大，方程组解的相对误差也越大。解的相对误差也越大。定义定义 7 7 对非奇异线性方程组
30、对非奇异线性方程组 ，称数，称数为为求解此线性方程组的条件数。求解此线性方程组的条件数。问题是非奇异线性方程组问题是非奇异线性方程组 经过扰动后经过扰动后未必有唯一解，也即未必有唯一解，也即非奇异矩阵非奇异矩阵 经过什么经过什么样的扰动后得到的矩阵样的扰动后得到的矩阵 仍然是可仍然是可逆的呢？扰动对逆矩阵又有何影响？逆的呢？扰动对逆矩阵又有何影响？由于由于两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得因此因此下一步需要缩放下一步需要缩放 ，由于，由于假定假定 可逆可逆，两边取范数，并缩放，两边取范数，并缩放，得得因此因此令令 ，由于，由于即即两边取范数，并缩放，得两边取范数，并缩放，得如果有如果
31、有 ，则，则下一步需要缩放下一步需要缩放 。并且并且 的任意特征值的任意特征值 ，从，从而而 的特征值的特征值 均不为零，因此矩阵均不为零，因此矩阵 可逆。可逆。定理定理8 8 对对 ，若，若 ，则矩，则矩阵阵 非奇异，且非奇异，且从而由定理从而由定理34，得，得由于由于 ，将条件，将条件 修修改为改为 ，此时仍有，此时仍有绝对误差估计式绝对误差估计式即即相对误差估相对误差估计式计式定义定义9 9称数称数为为可逆矩阵可逆矩阵 关于求逆的条件数。关于求逆的条件数。定理定理3 36 6 设设 非奇异，且非奇异，且 。如果如果扰动矩阵扰动矩阵 满足条件满足条件则则扰动后的矩阵扰动后的矩阵 为非奇异矩
32、阵，为非奇异矩阵，并且并且定理定理3 37 7 设设 非奇异，且非奇异，且 。如果如果扰动矩阵扰动矩阵 满足条件满足条件则非齐次线性方程组则非齐次线性方程组 经过经过扰动后的扰动后的方程组方程组 有唯一有唯一解解有唯一解有唯一解 ，并且，并且%exm506.m A1=1 0.99;0.99 0.98;b1=1;1;dA=0 0;0 0.01;db=0;0.001;%扰动 k=cond(A1)%矩阵A的条件数 Ab1=A1 b1;UC1,ip1=rref(Ab1)%内置函数rref化矩阵为最简形 UC(:,ip1)=;%删掉主元列 x1=UC1%余下的就是原方程组的解 A2=A1+dA;b2=b
33、1+db;Ab2=A2 b2;UC2,ip2=rref(Ab2);UC2(:,ip2)=;x2=UC2%扰动后的方程组的解dx=x2-x1;rx=100*norm(dx)/norm(x1)%解的绝对误差和相对误差 k=3.9206e+004 x1=100 -100 x2=-0.1000 1.1111rx=100.6068%exm504.m(续续)A1=1 0.99;0.99 0.98;b1=1;1;dA=0 0;0 0.01;db=0;0.001;%扰动 k=cond(A1)%矩阵A的条件数 IA1=inv(A1)%原矩阵的逆 IA2=inv(A2)%扰动后的逆 dIA=IA2-IA1;rIA
34、=100*norm(dIA)/norm(IA1)%逆的绝对误差和相对误差 k=3.9206e+004 IA1=1.0e+004*-0.9800 0.9900 0.9900 -1.0000IA2=100.0000-100.0000-100.0000 101.0101rIA=101.0126则有则有这就是矩阵这就是矩阵 的的秩秩1 分解分解。这里这里如果将矩阵如果将矩阵 的的SVD中的对角阵中的对角阵 分解为分解为三、矩阵的低秩逼近及其应用三、矩阵的低秩逼近及其应用根据矩阵根据矩阵 的秩的秩1 分解，分解，可以证明，在所有秩可以证明，在所有秩为为 的矩阵中，以矩阵的矩阵中，以矩阵离矩阵离矩阵 的的
35、“距离距离”最近，也即矩阵最近，也即矩阵 是矩阵是矩阵 的的最佳秩最佳秩 逼近逼近，也就是，也就是包含包含 中的中的“能量能量”最多的秩最多的秩 矩阵。矩阵。定理定理3838对任意矩阵对任意矩阵 ，为矩阵为矩阵 的的SVD，且且这里这里 为为 的非零奇异值，的非零奇异值，则则 证明：证明：由由 知知所以所以对任意满足对任意满足 的矩阵的矩阵 ，存在单，存在单位正交向量位正交向量 ，使得其零空间为，使得其零空间为由维数可知，存在由维数可知，存在2 2范数单位向量范数单位向量 ，使得，使得设设 ，则，则注意到注意到 ，因此，因此 从几何上看从几何上看，用，用 为长、短轴作成的椭圆为长、短轴作成的椭
36、圆是所有椭圆中离矩阵是所有椭圆中离矩阵 对应的超椭圆对应的超椭圆“距离距离”最近的；如果使用最近的；如果使用 为轴作成椭球体，为轴作成椭球体，则得到所有椭球体中离矩阵则得到所有椭球体中离矩阵 对应的超椭圆对应的超椭圆“距离距离”最近的椭球体。按这种方式，最近的椭球体。按这种方式，步之后，步之后，就得到了就得到了 的全部信息。但即使到了第的全部信息。但即使到了第 步，步，我们也只利用了我们也只利用了 个数据，即个数据，即矩阵的矩阵的奇异值和对应的左右奇异向量奇异值和对应的左右奇异向量。例例 3939 （图像压缩）（图像压缩）对于一幅用对于一幅用 像素矩阵像素矩阵 表示的图像，如表示的图像，如果传
37、送所有果传送所有 个数据，显然数据量太大。因个数据，显然数据量太大。因此我们希望传送少一些的数据，并且在接收端此我们希望传送少一些的数据，并且在接收端还能重构原图像。如果我们从矩阵还能重构原图像。如果我们从矩阵 的的SVD中中选择选择 个奇异三元组个奇异三元组 来逼近原图像，来逼近原图像，即用即用 个数值代替像素矩阵个数值代替像素矩阵 。那。那么在接收端，我们可得到么在接收端，我们可得到从而在接收端近似地重构出原图像。此时，图从而在接收端近似地重构出原图像。此时，图像的像的压缩比压缩比为为%exm507.mload clown.mat;%clown是内置的是内置的200X320像素的图像像素的图像U,S,V=svd(X);colormap(gray);k=3;%修改修改k值即值即可可X1=U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)image(X1)