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1、功机械能守恒1第1页，本讲稿共21页功在直角坐标系中的表示功在直角坐标系中的表示由由合力的功合力的功若几个力同时作用在质点上若几个力同时作用在质点上即：即：合力的功等于各分力所作功的代数和。合力的功等于各分力所作功的代数和。功率功率2第2页，本讲稿共21页例例1.一质量为一质量为m的小球竖直落入水中的小球竖直落入水中,刚接触水面时其速率为刚接触水面时其速率为v0.设球在水中所受浮力与重力相等设球在水中所受浮力与重力相等,水的阻力为水的阻力为Fr=-bv,b为一常量为一常量.求阻力对球的功与时间的函数关系求阻力对球的功与时间的函数关系.解解:取水面为坐标原点取水面为坐标原点O,竖直向下为竖直向下
2、为Ox轴正向轴正向.水的阻力作功为水的阻力作功为即即由牛顿运动定律由牛顿运动定律故故3第3页，本讲稿共21页2.4 2.质点的动能定理质点的动能定理设质点m在合外力F 的作用下,从点1沿运动到点2，12 F其在其在A、B点的速率分别为点的速率分别为v1和和v2v1v2力力F作的元功为作的元功为dr又因为又因为故故积分后有积分后有定义：定义：为质点的动能。为质点的动能。上式表明：上式表明：合外力对质点作的功合外力对质点作的功,等于质点动能的增量等于质点动能的增量动能定理动能定理.说说明明1.功是过程量功是过程量,动能是状态量动能是状态量.功是动能状态变化的量度功是动能状态变化的量度.2.该定理适
3、用于惯性系该定理适用于惯性系,且只能应用于同一惯性系且只能应用于同一惯性系.4第4页，本讲稿共21页例题例题2.0已已知知质质量量m=1.0Kg，0=30由由静静止止状状态态开开始始下下落落.求求10时时,小球的速率小球的速率v解解:小球在任意时刻受重力小球在任意时刻受重力P与拉力与拉力T.PT外力作功外力作功dr且且 cos =sin,ds=-ld 代积分上下限代积分上下限由动能定理由动能定理因为因为 v0=0代入数据代入数据 l=1m,0=30,=10所以所以 v=1.53m/s5第5页，本讲稿共21页例例2.10 一质量为一质量为10kg的物体沿的物体沿x轴无摩擦地滑动轴无摩擦地滑动,t
4、=0时物体静止于原点时物体静止于原点.(1)若物体在力若物体在力F=3+4t N作用下作用下运动了运动了3s,它的速度增为多大它的速度增为多大;(2)物体在力物体在力F=3+4xN作用下移动了作用下移动了3m,它的速度增为多大它的速度增为多大.解解:(1)由动量定理由动量定理(2)由动能定理由动能定理6第6页，本讲稿共21页2.4.3 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1.重力作功重力作功xyP质量为质量为m的物体在重力作用下的物体在重力作用下,沿沿acb,重力重力P对物体作功为对物体作功为a bcdA=P drd
5、r故：故：y1y2上式表明：上式表明：重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关经过的路径无关。7第7页，本讲稿共21页2.万有引力作功万有引力作功质点质点m受到受到M(固定不动固定不动)的万有引力的万有引力Mmrr+drdrer 为沿r 的单位矢量er则万有引力作功为则万有引力作功为:如图如图erdrdr所以所以积分积分:rAABrB可见可见,万有引力作功也只取决于质点的起始和终了位置万有引力作功也只取决于质点的起始和终了位置而与所经过的路径无关而与所经过的路径无关.8第8页，本讲稿共21页3.弹力作功弹力作功Fmox质量为质量为m
6、的物体与一弹簧相连的物体与一弹簧相连,设设O为平衡点为平衡点当质点位移为当质点位移为x时时x质点受弹性力为 F=-kx i弹性力作功为弹性力作功为弹簧由弹簧由 x1 x2 时时xFdAdxx1x2可见对在弹性限度内可见对在弹性限度内,具有劲度系数为具有劲度系数为k的弹簧来说的弹簧来说.弹性力所作的功也只由弹簧起始和终了位置决定弹性力所作的功也只由弹簧起始和终了位置决定,而与而与弹性形变的过程无关弹性形变的过程无关.9第9页，本讲稿共21页二二.保守力与非保守力保守力与非保守力 保守作功的数学表达式保守作功的数学表达式 保守力与非保守力保守力与非保守力作功只与物体的始末位置有关作功只与物体的始末
7、位置有关,与路径无关的力叫保守力与路径无关的力叫保守力.保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式设一物体在保守力作用下从点设一物体在保守力作用下从点A沿路径沿路径ACB运动到运动到B.或或沿路径沿路径ADB运动到运动到B.ACBD有有而而则则=0物体沿任意闭合路径运动一周时物体沿任意闭合路径运动一周时,保守力所作的功为零保守力所作的功为零.保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式.非保守力作功则一定有非保守力作功则一定有10第10页，本讲稿共21页例例2.9质点受外力F=(y2-x2)i+3xyj,求质点由点(0,0)到点(2,4)的过程中力F 做的功.(1)先沿x轴由点(0,0)运动
8、到点(2,0),再平行y轴由点(2,0)运动到点(2,4);(2)沿连接(0,0),(2,4)两点的直线;(3)沿抛物线y=x2由点(0,0)到点(2,4).解解:(1)由图所示由图所示x(2,4)y先沿先沿x轴从轴从02,则则y=0,dy=0再平行于再平行于y轴从轴从04,x=2,dx=0总功为总功为11第11页，本讲稿共21页(2)第第2条路径为直线，直线方程条路径为直线，直线方程为为 y=2xx(2,4)y(3)第第3条路径为抛物线条路径为抛物线 y=x2可见做功与路径有关，为非保守力可见做功与路径有关，为非保守力12第12页，本讲稿共21页三三.势能势能重力作功重力作功万有引力作功万有
9、引力作功弹力作功弹力作功可写为统一的一般形式可写为统一的一般形式EP为物体的势能为物体的势能.此时有三种势能此时有三种势能重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能 保守力作对物体作的功等于物体势能增量的负值保守力作对物体作的功等于物体势能增量的负值.13第13页，本讲稿共21页2.4.4 质点系的动能定理与质点系的动能定理与 功能原理功能原理 一一.质点系的动能定理质点系的动能定理对单一质点有对单一质点有A=Ek-Ek0对质点系对质点系(多个质点多个质点)则有则有系统内各质点初动能和系统内各质点初动能和是这些质点末动能和是这些质点末动能和是作用在各质点上的力所作功之和是作用在各质点上的
10、力所作功之和.即作用于质点系的力所作的功即作用于质点系的力所作的功.等于该质点系的动能增量等于该质点系的动能增量若作用于质点的力可分为系统外的力与系统内的力，则若作用于质点的力可分为系统外的力与系统内的力，则内内=A外外+A内内则则质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一切内力所作的功之和切内力所作的功之和。A外外+A内内14第14页，本讲稿共21页二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理A内内又可分为保守内力和非保守内力又可分为保守内力和非保守内力A内内=A内保内保+A内非内非而而即系统内保守力作功等于势能增量的负值。即系统
11、内保守力作功等于势能增量的负值。则质点系动能定理为则质点系动能定理为A外外+A内保内保+A内非内非则进一步变为则进一步变为A外外+A内非内非令令叫系统的机械能叫系统的机械能.则则:A外外+A内非内非=E-E0机械能的增量机械能的增量,等于外力与非保守内力对质点系作功之和等于外力与非保守内力对质点系作功之和.质点系的功能原理质点系的功能原理注意：注意：A外外是质点系的外力作功之和是质点系的外力作功之和,不是合外力的功。不是合外力的功。A内保内保15第15页，本讲稿共21页m原点原点O处势能为零处势能为零P53.例例2.12 一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，另一端连一轻弹簧一端系于固定斜面的上端，
12、另一端连着质量为着质量为m 的物块，物块与斜面的摩擦系数为的物块，物块与斜面的摩擦系数为，弹簧的劲度，弹簧的劲度系数为系数为k,斜面倾角为斜面倾角为，今将物块由弹簧的自然长度拉伸，今将物块由弹簧的自然长度拉伸 l 后后由静止释放，物块第一次静止在什么位置？由静止释放，物块第一次静止在什么位置？xoy解：取弹簧自然伸长为原点解：取弹簧自然伸长为原点在物块向上滑至在物块向上滑至 x 处时处时由功能原理由功能原理物块静止时物块静止时 v=0可解得可解得16第16页，本讲稿共21页2.4.5 机械能守恒定律机械能守恒定律当当 A外外=0,A内非内非=0 时，时，有有 E=E0即：即：或或即即 Ek=-
13、EP当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的机械当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的机械能守恒。或说在满足机械能守恒条件下，动能的增量必等于势能守恒。或说在满足机械能守恒条件下，动能的增量必等于势能的减少。能的减少。在封闭系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量可以在封闭系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量可以互相转化，但能量的总和是恒量。互相转化，但能量的总和是恒量。能量守恒定律能量守恒定律从功能关系可见：功是能量变换或变化的一种量度。从功能关系可见：功是能量变换或变化的一种量度。17第17页，本讲稿共21页例例1：如图：如图,一雪橇从高度为一雪橇从高度为
14、50m的山顶上点的山顶上点A沿冰道由静止下滑沿冰道由静止下滑.坡道坡道AB长长500m.雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在C.若摩若摩擦系数为擦系数为0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.ABC解解:坡道上受力分析如图坡道上受力分析如图PFNFf以雪橇、冰道、地球为系统以雪橇、冰道、地球为系统,非保守内力只有摩擦力作功非保守内力只有摩擦力作功h由功能原理由功能原理A=A1+A2=(EP2+Ek2)(EP1+Ek1)已知已知 EP1=mgh,Ek1=0,在在C点点 EP2=0,Ek2=0在坡道上在坡道上=-s mgcos -m
15、gs 平道上平道上 A2=-mgs所以所以-mgh=-mg(s+s)=500m18第18页，本讲稿共21页例例2.15、航天器的宇宙速度、航天器的宇宙速度1.人造卫星人造卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度卫星绕地球运转时的发射速度卫星绕地球运转时的发射速度v设卫星以设卫星以v1竖直发射竖直发射,在高度在高度h处以处以v作作匀速圆周运动匀速圆周运动以地球以地球,卫星为系统卫星为系统机械能守恒机械能守恒:整理整理:由牛顿定律和万有引力定律由牛顿定律和万有引力定律得得令令因为因为 hRE此时此时19第19页，本讲稿共21页2 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度卫星脱离地球卫星脱离地球,成为太阳系
16、的行星成为太阳系的行星.此时卫星离地球无限远此时卫星离地球无限远.EP=0若此时动能也为零若此时动能也为零,Ek=0则总机械能则总机械能 E=EP+Ek=0设物体发射最小速度为设物体发射最小速度为v2由机械能守恒由机械能守恒:解得解得v2为第二宇宙速度为第二宇宙速度.若发射速度大于若发射速度大于v2则则 E 0此时卫星绕此时卫星绕太阳太阳作椭圆作椭圆运动运动,成为成为人造行星人造行星能量与以地球为参考能量与以地球为参考系的关系如下系的关系如下:E 0双曲线20第20页，本讲稿共21页3.飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度物体先脱离地球物体先脱离地球,并且具有一定的动能以脱离太阳系并且具有一定的动能以脱离太阳系.v3为发射速度为发射速度,脱离地球后有速度脱离地球后有速度v 以地球为参考系以地球为参考系,由机械能守恒由机械能守恒以太阳为参考系.物对太阳速度为地球对太阳的速度为地球对太阳的速度为vE取三者在同一方向取三者在同一方向对物体、太阳系对物体、太阳系又地球绕太阳运动又地球绕太阳运动得得故故MS=1.99 103kg,RS=1.5 1011m=16.4 103 m/s21第21页，本讲稿共21页