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1、21.2 21.2 解一元二次方程解一元二次方程21.2.1 21.2.1 配方法配方法（第（第2 2課时）課时）人教版人教版 数學数學 九九年级年级 上册上册1好好学习 天天向上2021化为一般式化为一般式,得得 x2+6x-16=0要使一块矩形场地长比宽多要使一块矩形场地长比宽多6米米,并且面积为并且面积为16平方米平方米,求场地长和宽应各是多少求场地长和宽应各是多少?x(x+6)=16导入新知导入新知解解:设场地宽为设场地宽为xm,则长为（则长为（x 6）m,根据长方根据长方形面积为形面积为16m2,列方程得列方程得 怎样解这个方怎样解这个方程程?能不能用能不能用直接开平方法直接开平方法
2、?2好好学习 天天向上2.探索直接开平方法和探索直接开平方法和配方法配方法之间区别之间区别和联系和联系.素养目标素养目标1.了解配方概念了解配方概念,掌握用掌握用配方法配方法解一元二次解一元二次方程及解决有关问题方程及解决有关问题.(1)9x2=1;(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5;(2)x2+6x+4=0.把两题转化成把两题转化成(x+n)2=p(p0)形式形式,再利用开再利用开平方来解平方来解.探究新知探究新知配方法定义配方法定义知识点 你还记得吗你还记得
3、吗?填填一填下列完全平方一填下列完全平方公式公式.(1)a2+2ab+b2=()2;(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究新知探究新知填一填填一填（根据（根据 ）配方时配方时,等式两边同等式两边同时加上是时加上是一次项系数一次项系数一半平方一半平方.56你发现了什你发现了什么规律么规律?二次项系二次项系数都为数都为1.探究新知探究新知【思考思考】怎样解方程怎样解方程:x2+6x+4=0（1）（1）方程）方程(1)怎样变成（怎样变成（x+n)2=p形式呢形式呢?解解:x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项移项x2+6x+9=-4+9两边都加上两边都加上9二次项系数为二次项系数为1完
4、全完全平方式平方式:常数项等于常数项等于一次项系数一半平一次项系数一半平方方.探究新知探究新知（2）为什么在方程）为什么在方程x2+6x=-4两边加上两边加上9?加其他数行加其他数行吗吗?提示提示:不行不行,只有在方程两边加上一次项系数一只有在方程两边加上一次项系数一半平方半平方,方程左边才能变成完成平方方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2形式形式.探究新知探究新知 像上面那样像上面那样,通过配成通过配成完全平方完全平方形式来解一形式来解一元二次方程方法叫做元二次方程方法叫做配方法配方法.配方是为了配方是为了降次降次,把一个一元二次方程转把一个一元二次方程转化成两个化成两个一元一次方程一
5、元一次方程来解来解.配方法定义配方法定义探究新知探究新知9好好学习 天天向上例例1 解方程解方程:解解:（1）移项）移项,得得x28x=1,配方配方,得得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得由此可得素素养养考考点点 1探究新知探究新知解二次项系数是解二次项系数是1一元二次方程一元二次方程解方程解方程x2+8x-4=0解解:移移项项,得得x2+8x4配方配方,得得x2+8x+4=4+4,整理整理,得得(x+4)2=20,由此可得由此可得x+4=,x1,x2.巩固练习巩固练习11好好学习 天天向上配方配方,得得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1,得得解解:移项移项,得得2
6、x23x=1,例例2解方程解方程解二次项系数不是解二次项系数不是1一元二次方程一元二次方程素素养养考考点点2探究新知探究新知（1）移项和二次项系数移项和二次项系数化为化为1这两个步骤能这两个步骤能不能交换一下呢不能交换一下呢?配方配方,得得 因为实数因为实数平方不会是负数平方不会是负数,所以所以x取任何实数时取任何实数时,上式都不成上式都不成立立,所以原方程所以原方程无实数根无实数根解解:移项移项,得得二次项系数化为二次项系数化为1,1,得得为什么方程为什么方程两边都加两边都加12?即即探究新知探究新知（2）思考思考1:用配方法解一元二次方程时用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么移项时
7、要注意些什么?思考思考2:用配方法解一元二次方程一般步骤用配方法解一元二次方程一般步骤.移项移项时需注意时需注意改变符号改变符号.移项移项,二次项系数化为二次项系数化为1;左边配成完全平方式左边配成完全平方式;左边写成左边写成完全平方形式完全平方形式;降次降次;解一次方程解一次方程.探究新知探究新知14好好学习 天天向上一般地一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.当当p0时时,则则,方程两个根为方程两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程两个根为开平方得方程两个根为 x1=x2=-n.当当p0时时,则方程则方
8、程(x+n)2=p无实数根无实数根.方法点拨探究新知探究新知15好好学习 天天向上解下列方程解下列方程:巩固练习巩固练习解解:移项移项,得得配方配方,得得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1,得得整理整理,得得3x2+6x=4x2+2x=x2+2x+12=+12(x+1)2=即即 x+1=.x1=,x2=.（1）巩固练习巩固练习解解:移项移项,得得配方配方,得得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1,得得整理整理,得得x1=,x2=4x2-6x=3x2-x=（2）巩固练习巩固练习解解:移项移项,得得x取任何实数取任何实数,上式都不成立上式都不成立,即原方程无实数根即原方程无实
9、数根对任何实数对任何实数x都有都有(x+1)20,配方配方,得得x2+2x+1=-2+1.整理整理,得得x2+2x=-2.(x+1)2=-1.（3）巩固练习巩固练习解解:去括号去括号,得得x2+4x=8x+12移项移项,得得配方配方,得得由此可得由此可得x-2=4整理整理,得得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+2=12+2因此因此（4）例例3试用配方法说明试用配方法说明:不论不论k取何实数取何实数,多项式多项式k24k5值必定大于零值必定大于零.解解:k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20,所以（所以（k2）211.所以所以k24k5值必定
10、大于零值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母值（或取值范围）利用配方法确定多项式或字母值（或取值范围）素素养养考考点点 3探究新知探究新知方法点拨方法点拨:证明代数式值恒为正数证明代数式值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几需要利用配方法将代数式化成几个非负数和个非负数和,利用非负数性质说明代数式值恒为正数利用非负数性质说明代数式值恒为正数.例例4 若若a,b,c为为ABC三边长三边长,且且试判断试判断ABC形状形状.解解:对原式配方对原式配方,得得 根据非负数根据非负数性质性质得得 根据勾股定理逆定理可知根据勾股定理逆定理可知,ABC为为直角三角形直角三角形.探究新知探究新知由此可得由此
11、可得 即即 21好好学习 天天向上巩固练习巩固练习方程方程2x2-3m-x+m2+2=0有一个根为有一个根为x=0,则则m值为（值为（）A.1B.1C.1或或2D.1或或-2应用配方法求最大值或最小值应用配方法求最大值或最小值.(1)求求2x2-4x+5最小值最小值(2)-3x2+12x-16最大值最大值.C解解:原式原式=2(x-1)2+3因为因为2(x-1)20,所以所以2(x-1)2+33因此当因此当x=1时时,原式有最小值原式有最小值3.解解:原式原式=-3(x-2)2-4因为因为(x-2)20,即即-3(x-2)20,所以所以-3(x-2)2-4-4因此当因此当x=2时时,原式有最大
12、值原式有最大值-4.22好好学习 天天向上类类别别解解题题策策略略1.求最值或证明代求最值或证明代数式值恒为正（或数式值恒为正（或负）负）对于一个关于对于一个关于x二次多项式通过配方成二次多项式通过配方成a(x+m)2n形式后形式后,由于由于x无论取任何实数都有无论取任何实数都有(x+m)20,n为常数为常数,当当a0时时,可知其有可知其有最小值最小值;当当a0时时,可知其有可知其有最大值最大值.2.完全平方完全平方式中配方式中配方如如:已知已知x22mx16是一个完全平方式是一个完全平方式,所以一次项系数一所以一次项系数一半平方等于半平方等于16,即即m2=16,m=4.3.利用配方构成利用
13、配方构成非负数和形式非负数和形式对于含有多个未知数二次式等式对于含有多个未知数二次式等式,求未知数值求未知数值,解题突破口往往解题突破口往往是通过是通过配方成多个完全平方式得其和为配方成多个完全平方式得其和为0,再根据非负数和为再根据非负数和为0,各项均为各项均为0,从而求解从而求解.如如:a2b24b4=0,则则a2(b2)2=0,即即a=0,b=2.配方法应用配方法应用探究新知探究新知1.一元二次方程一元二次方程y2 y=0配方后可化为（）配方后可化为（）A.(y+)2=1B.(y-)2=1C.(y+)2=D.(y-)2=B连接中考连接中考課堂检测課堂检测1.解方程解方程:4x2-8x-4
14、=0.解解:移项移项,得得4x2-8x=4,基基 础础 巩巩 固固 题题二次项系数化为二次项系数化为1,得得x2-2x=1,配方配方,得得x2-2x+1=1+1,整理整理,得得（x-1）2=2,課堂检测課堂检测2.利用配方法证明利用配方法证明:不论不论x取何值取何值,代数式代数式x2x1值总值总是负数是负数,并求出它最大值并求出它最大值.課堂检测課堂检测3.若若,求求(xy)z值值.解解:对原式配方对原式配方,得得 由由非负数非负数性质可知性质可知 27好好学习 天天向上4.如图如图,在一块长在一块长35m、宽、宽26m矩形地面上矩形地面上,修建同样宽两修建同样宽两条互相垂直道路条互相垂直道路
15、,剩余部分栽种花草剩余部分栽种花草,要使剩余部分面积为要使剩余部分面积为850m2,道路宽应为多少道路宽应为多少?解解:设道路宽为设道路宽为xm,根据题意得根据题意得（35-x)(26-x)=850,整理得整理得x2-61x+60=0.解得解得x1=60（不合题意不合题意,舍去舍去）,x2=1.答答:道路宽为道路宽为1m.課堂检测課堂检测已知已知a,b,c为为ABC三边长三边长,且且试判断试判断ABC形状形状.解解:对原式配方对原式配方,得得 由代数式性质可知由代数式性质可知 所以所以,ABC为为等边三角形等边三角形.課堂检测課堂检测能能 力力 提提 升升 题题29好好学习 天天向上配方法配方法定定义义通过配成通过配成完全平方形式完全平方形式解一元解一元二次方程方法二次方程方法.步步骤骤一一移移常数项常数项;二二配方配方 配上配上 ;三三写写成成（x+n)2=p(p0);四四直接开平方法直接开平方法解方程解方程.特别提醒特别提醒:在使用配方法解方程之前先把方程化为在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0形式形式.应应用用求代数式最值或证明求代数式最值或证明.課堂小结課堂小结課后作課后作业作业内容教材作业从課后习题中选取从課后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩課堂七彩課堂 伴你成长伴你成长