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1、会计学1线性代数向量的内积线性代数向量的内积2第一节向量的内积长度及正交性一、向量的内积一、向量的内积1.内积的定义令称为向量 与 的内积.定义 设有 维向量第1页/共33页3在定义内积之前，向量之间的运算只定义了加法 与数乘；如果把3维向量空间与解析几何中3维 几何空间（或称欧式空间）相比较，会发现前者 缺少向量的几何度量性质，如向量的长度、两向 量的夹角等，但向量的几何度量性质在许多问题 中有着特殊的地位.在定义了内积后，3维向量空间与解析几何中3维 几何空间是类似的.3维向量空间中向量的内积类 似于3维几何空间的向量的数量积.维向量的内 积可看作是数量积的一种推广.向量的内积是两个向量之
2、间的另一种运算，其结 果是一个数，用矩阵记号表示，当 与 为列向 量时，有说明第2页/共33页42.内积的性质（施瓦茨不等式）当 时，当 时，第3页/共33页5二、向量的长度二、向量的长度1.定义 设 维向量令称为向量 的长度（或范数）.当 时，称 为单位向量.说明当 时，按此定义的向量的长度与几何空间中的向量的长度是一致的.第4页/共33页62.向量的长度的性质 非负性 齐次性 三角不等式当 时，；当 时，；说明 当 时，三角不等式的几何解释为证明第5页/共33页73.两向量之间的夹角 的长度 的长度 与 的数量积 与 夹角余弦当 时，有设 为 维向量，称为 维向量 与 的夹角.第6页/共3
3、3页8三、向量的正交性三、向量的正交性1.向量正交当 时，称向量 与 正交.说明显然，若 ，则 与任何向量都正交.当 为2或3维向量时，正交的几何解释为第7页/共33页92.正交向量组设向量组 若满足 都是非零向量；当 时，则 称为正交向量组.即一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组.第8页/共33页10定理1 若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关.即正交向量组是线性无关向量组.证设存在 使因为 两两正交，即有以 左乘上式两端，得所以又 ，故从而必有类似可证必有第9页/共33页11例1 已知3维向量空间 中两个向量正交，试求一个非零向量 ，使 两两正交.解 析：此题是一
4、个常见问题.解此题的关键是将所提问题转化为求一个齐次线性方程组的非零解的问题.因为所求向量 ，满足 两两正交，即有 是 的非零解.第10页/共33页12记要求 应满足齐次线性方程组 ，即于是得 的基础解析为 ，取 即为所求.第11页/共33页133.规范正交向量组和规范正交基 都是单位向量，即 两两正交，即设 维向量组 是向量空间的一个基，若满足当 时，则称 是 的一个规范正交基.第12页/共33页14例如 设 就是 的一个规范正交基.第13页/共33页15 设 是 的一个规范正交基，若 中任一向量 由 线性表示的表示式为则有向量在规范正交基中的坐标的计算公式这是因为第14页/共33页16因为
5、例如 已知向量组是 的一个规范正交基，中的坐标为向量 在第15页/共33页17验证：第16页/共33页184.施密特(Schimidt)正交化 这就是把已知基规范正交化问题.正交化：构造正交向量组 ，且满足 与 等价.令 已知 是向量空间 的一个基，要求 的一个规范正交基.第17页/共33页19单位化：构造两两正交的单位向量组 ，且满足 与 等价.令说明上述的正交化过程称为施密特(Schimidt)正交而且满足由此过程得到的向量组 不仅化过程.满足 与 等价，与 等价.当向量的维数为3，向量个数也是3时，施密特正交化的几何解释为第18页/共33页20第19页/共33页21例2 设试用施密特正交
6、化过程把这组向量规范正交化.解 析：这是一道熟悉施密特正交化过程的训练题.正交化第20页/共33页22单位化于是 即是所求的向量组.第21页/共33页23例3 已知 ，求一组非零向量 ，使两两正交.解 析：此例与例1是同一类问题，不过这里是要把所提问题转化为求一个齐次线性方程组的正交基础解系.具体方法是，先求出基础解系，然后用施密特正交化过程把所得的基础解系正交化.应满足方程 ，即它的基础解系为第22页/共33页24把基础解系正交化，即得所求.即第23页/共33页25说明此例可推广为：设 是 维非零向量，求非零向量使 两两正交；设 是 维正交向量组，求非零向量 使 两两正交；此例的几何意义是
7、中任一正交向量组一定 能够扩充成的一个正交基，进而得到一个规范 正交基.第24页/共33页26四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换1.概念的引入设 是 维规范正交向量组，令则有正交矩阵第25页/共33页272.正交矩阵定义 如果 阶矩阵 满足（即 ），那么称 为正交矩阵，简称正交阵.例如 矩阵可以验证 是正交阵.第26页/共33页283.正交阵的性质 方阵 为正交矩阵的充要条件是 的列向量组都是单位向量，且两两正交；方阵 为正交矩阵的充要条件是 的行向量组都是单位向量，且两两正交；若 为正交阵，则 也是正交阵；若 为正交阵，则 若 和 都是正交阵，则 也是正交阵.若 为正交阵，则且第27页/共33页294.正交变换定义 设 为正交阵，则线性变换称为正交变换.性质 正交变换保持向量的长度不变.这是因为第28页/共33页30正交变换的几何意义:第29页/共33页31五、小结五、小结v本章的中心主题是方阵的对角化问题.它涉及到 许多概念，如本节中的向量的内积、向量的长 度、向量的正交性、正交阵等；v向量的内积：两个向量的对应分量乘积之和；v向量的长度：v向量的正交性：与 正交v正交阵:方阵 为正交阵第30页/共33页32作业：P138 1.3.4.第31页/共33页33证由施瓦茨不等式，有从而因此证毕第32页/共33页