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1、会计学1稳定性模型食饵捕食者模型稳定性模型食饵捕食者模型7.5 食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(种群的弱肉强食种群的弱肉强食)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成捕食甲为生，形成食饵食饵-捕食者系统捕食者系统，如，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫虫.模型的历史背景模型的历史背景一次世界大战期间地中一次世界大战期间地中海海 渔业的捕捞量下降渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？鲨鱼的比例却增加，为什么？第1页/共20页食饵食饵(甲甲
2、)数量数量 x(t),捕食者捕食者(乙乙)数量数量 y(t)甲独立生存的增长率甲独立生存的增长率 r乙使甲的增长率减小，乙使甲的增长率减小，减小量与减小量与 y成正比成正比乙独立生存的死亡率乙独立生存的死亡率 d甲使乙的死亡率减小，甲使乙的死亡率减小，减小量与减小量与 x成正比成正比方程方程(1),(2)无解析解无解析解食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)a 捕食者掠取食饵能捕食者掠取食饵能力力b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力第2页/共20页tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300
3、023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解第3页/共20页计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相是周期函数，相轨线轨线(x,y)是封闭曲线是封闭曲线观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为10.7xmax 99.3,xmin 2.0,ymax 28.4,ymin 2.0用用数值积分数值积分可算出可算出
4、 x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10.食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)第4页/共20页Volterra模型的平衡点及其稳定性模型的平衡点及其稳定性平衡平衡点点稳定性分析稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析点稳定性不能用近似线性方程分析 p=0,q 0P:临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 第5页/共20页 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性c 由初始条件确定由初始条件确定取指取指数数第6页/共20页x0fmf(x)xOg(y)gmy0yO在相平面上讨论相轨
5、线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设第7页/共20页y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0POx1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线相轨线退化为退化为P点点 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fmOg(y)gmy0yO相轨线相轨线P中中心心x是是x1,x2内任意点内任意点第8页/共20页相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t
6、),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定性点稳定性第9页/共20页T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向第10页/共20页模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食食饵饵数数量量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能捕食者掠取食饵能力力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与
7、数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比第11页/共20页模模型型解解释释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捕捞捞战战时时捕捕捞捞rr-2,dd+2,2 1食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环自然环境境 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少会使害虫增加，益虫减少.xyO第12页/共20页食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra
8、)的缺点与改进的缺点与改进Volterra模模型型改写改写多数多数食饵食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点.加加Logistic项项有有稳定平衡点稳定平衡点第13页/共20页 相轨线是封闭曲线，结构不稳定相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原
9、状.食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环相轨线趋向极限环结构稳定结构稳定 第14页/共20页两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依相互依存存弱肉强食弱肉强食第15页/共20页相轨线相轨线相轨线相轨线x1ox2平面称为该方程组的相平面；平面称为该方程组的相平面；该方程组的解该方程组的解在在x1ox2平面（相平面）上所描述的曲线称为该平面（相平面）上所描述的曲线称为该方程组的相轨线方程组的相轨线.第16页/共20页用数学软件用数学软件用数学软件用数
10、学软件MATLABMATLAB求微分方程数值解求微分方程数值解求微分方程数值解求微分方程数值解function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0)plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,figureplot(x(:,1),x(:,2),gridxbar=sum(x(1:107,1)/107ybar=sum(x(1:107,2)/107第17页/共20
11、页非线性方程非线性方程非线性方程非线性方程系数矩阵系数矩阵特征方程系数特征方程系数（17）（18）（19）结论结论：若方程（若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同。对于方程（的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则）的稳定性也由准则（12）、（）、（13）决定。）决定。（6）常系数的近似线性方程常系数的近似线性方程第18页/共20页平衡点类型平衡点类型稳定性稳定性稳定结点稳定结点稳定稳定不稳定结点不稳定结点不稳定不稳定鞍点鞍点不稳定不稳定稳定退化结点稳定退化结点稳定稳定不稳定退化结不稳定退化结点点不稳定不稳定稳定焦点稳定焦点稳定稳定不稳定焦点不稳定焦点不稳定不稳定中心中心不稳定不稳定表表表表1 1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性第19页/共20页