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1、中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 第第3章章 系统的时间响应分析系统的时间响应分析 在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院2 2.典型的输入信号典型的输入信号典型的输入信号典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。及一阶、二阶系统的典型时间响应。及一阶、二阶系统的典型时间响应。及一阶、二阶系统的典型时间响应。典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、
2、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；1 1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。概括地讨论系统的时间响应及其组成。概括地讨论系统的时间响应及其组成。概括地讨论系统的时间响应及其组成。因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；本章主要内容本章主要内容 中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 首先来分析最首先来分析最简单简单的振的振动动系系统统，即无阻尼的，即无阻尼的单单自由度系自由度系统统。如。如图
3、图3.1.1所示，所示，质质量量为为m与与弹弹簧簧刚刚度度为为k的的单单自由度系自由度系统统在外力在外力Fcos t的作用下，的作用下，系系统统的的动动力学方程力学方程为为3.1.1:图3.1.1 单自由度的m-k系统（3.1.1）3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院这这一非一非齐齐次常微分方程的完全解由两部分次常微分方程的完全解由两部分组组成：成：式中，式中，是是齐齐次微分方程的通解；次微分方程的通解；是其一个特解。由理是其一个特解。由理论论力学力学与微分方程中解的理与微分方程中解的理论论知：知：式中，式中，为为系
4、系统统的无阻尼固有的无阻尼固有频频率。率。将式（将式（3.1.4）代入式）代入式(3.1.1)，有，有 化化简简得，得，式中式中 于是，式（于是，式（3.1.1）的完全解）的完全解为为（3.1.2）（3.1.3）（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 求解常数求解常数A与与B：将上式：将上式对对t求求导导，有，有 设设 时时，代入式（，代入式（3.1.6）与（）与（3.1.7），），联联立解得：立解得：代入式（代入式（3.1.6），整理得通解：），整理得通解：第一、二第一、二项项:初始条件（初始状初始条件（初始状态态
5、）引起自由响）引起自由响应应，第三，第三项项:作用作用力引起的自由响力引起的自由响应应，其振，其振动频动频率均率均为为 ，幅，幅值值受到受到F的影响。第四的影响。第四项项:作用力引起的作用力引起的强强迫响迫响应应，其振，其振动频动频率率为为作用力作用力频频率率 .（3.1.7）（3.1.8）自由响应强迫响应零输入响应零状态响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院零零零零输输输输入响入响入响入响应应应应（“初初态态”引起的自由响引起的自由响应应）是）是输输入信号入信号为为零，零，仅仅由系由系统统的的起始状起始状态态作用所引起的响作用所引起的响应应.为齐为齐次
6、方程次方程零状零状零状零状态态态态响响响响应应应应（仅仅由由输输入引起的响入引起的响应应）是系）是系统统的起始状的起始状态为态为零，即系零，即系统统的起始的起始贮贮能能为为零零时时，仅仅由激励信号作用所引起的响由激励信号作用所引起的响应应.为为非非齐齐次方程次方程控制工程主要研究控制工程主要研究:零状零状态态响。响。系统的时间响应分类系统的时间响应分类:振动性质分类振动性质分类振动性质分类振动性质分类:自由响应自由响应自由响应自由响应 强迫响应强迫响应强迫响应强迫响应振动来源分类振动来源分类振动来源分类振动来源分类:零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应零状态响应零状态
7、响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院一般的情况，一般的情况，设设系系统统的的动动力学方程力学方程为为：方程的解（方程的解（时间时间响响应应）为为通解通解 （即自由响（即自由响应应）与特解）与特解 （即（即强强迫响迫响应应）所）所组组成，成，若式（若式（3.1.9）的）的齐齐次方程的特征根次方程的特征根 各相同，各相同，则则 而而 又分又分为为两部分，即两部分，即 第一第一项项:初初态态引起的自由响引起的自由响应应；第二；第二项项:输输入入x(t)引起的自由响引起的自由响应应，（3.1.9）（3.1.10）（3.1.11）中原工学院中原工学院中原工学院中
8、原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 全解全解:其中其中:n和和si只取决于系只取决于系统统的的结结构与参数。构与参数。当当输输入函数有入函数有导导数数项项:方程方程为为：利用利用线线性原理性原理:利用方程利用方程(3.1.9)的解的解(3.1.12),可分可分别别求出求出 作用作用时时的响的响应应函数，然后叠加，就可以求得方程（函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系）的解，即系统统的响的响应应函数。函数。传递传递函数函数(初初态为态为零零)求解求解:Laplace逆逆变换变换就是系就是系统统的零状的零状态态响响应应。（3.1.12）（3.1.13）自由响应强迫响应零输
9、入响应零状态响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 若所有的若所有的 ，自由响，自由响应应随着随着时间时间逐逐渐渐衰减衰减,当当 时时自由自由响响应则趋应则趋于零于零,系系统稳统稳定定,自由响自由响应应称称为为瞬瞬态态响响应应.反之，只要有一个反之，只要有一个 ，即，即传递传递函数的相函数的相应应极点极点 在复数在复数s平平面右半平面，自由响面右半平面，自由响应应随着随着时间时间逐逐渐渐增大，当增大，当 时时，自由响，自由响应应也也趋趋于无限大于无限大,系系统统不不稳稳定，自由响定，自由响应应就不是瞬就不是瞬态态响响应应。瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应
10、稳态响应稳态响应:指强迫响应。指强迫响应。稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 稳稳定性、响定性、响应应快速性、响快速性、响应应准确性准确性:与自由响与自由响应应密切相关的。密切相关的。的正的正负负:决定自由响决定自由响应应是衰减与是衰减与发发散，系散，系统稳统稳定与不定与不稳稳定；定；为负时为负时,其其绝对值绝对值的大小的大小:决定自由响决定自由响应应衰减速度，及系衰减速度，及系统统响响应应趋趋于于稳态稳态响响应应的速度；的速度；:决定自由响决定自由响应应的振的振荡荡情况，决定系情况，决定系统统的响的响应应在在规规定定时间
11、时间内接内接近近稳态稳态响响应应的情况，影响响的情况，影响响应应的准确性。的准确性。系统系统稳定性、响应快速性、响应准确性稳定性、响应快速性、响应准确性中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 确定性信号：确定性信号：确定性信号：确定性信号：变变量和自量和自变变量之量之间间的关系能的关系能够够用一确定性函数描用一确定性函数描述。述。非确定性信号非确定性信号非确定性信号非确定性信号则则反之，反之，变变量与自量与自变变量之量之间间的关系是随机的，的关系是随机的，只服从某些只服从某些统计规统计规律。律。分析和分析和设计设计系系统统:采用典型采用典型输输入信号，比入信
12、号，比较较其其时间时间响响应应。任意任意输输入信号的入信号的时间时间响响应应:利用系利用系统对统对典型典型输输入信号的响入信号的响应应，由，由关系式关系式 或或 （*表卷表卷积积），就能求出。），就能求出。3.2 典型输入信号典型输入信号确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号:中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院输输输输入信号：入信号：入信号：入信号：正常工作正常工作输输入信号；外加入信号；外加测试测试信号信号;单单位脉冲函数、位脉冲函数、单单位位阶跃阶跃函数、函数、单单位斜坡函数、位斜坡函数、单单
13、位抛物位抛物线线函数、正弦函数和函数、正弦函数和某些随机函数。某些随机函数。a单位脉冲函数 b单位阶跃函数 c单位斜坡函数 d单位抛物线函数 e正弦函数 f随机函数 图3.2.1 典型输入信号中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院单单单单位位位位阶跃阶跃阶跃阶跃函数函数函数函数:其其导导数数为为零，零，对对控制系控制系统统只只给给出了位置，故出了位置，故称位置称位置输输入信号；入信号；单单单单位斜坡函数位斜坡函数位斜坡函数位斜坡函数:其其导导数数为为常数，一般称常数，一般称为为恒速恒速输输入信号或速入信号或速度度输输入信号；入信号；单单单单位抛物位抛物位抛物
14、位抛物线线线线函数函数函数函数:其二次其二次导导数数为为常数，称常数，称为为加速度加速度输输入信号。入信号。下面分析一下面分析一阶阶与二与二阶阶系系统对单统对单位脉冲与位脉冲与单单位位阶跃阶跃函数函数的的时间时间响响应应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 一一阶阶微分方程描述的系微分方程描述的系统统称称为为一一阶阶系系统统，其微分方程和，其微分方程和传递传递函函数的一般形式数的一般形式为为：T 称称为为一一阶阶系系统统的的时间时间常数，它表达了一常数，它表达了一阶阶系系统统本身的与外界本身的与外界作用无关的固有特性，亦称一作用无关的固有特性，亦称一阶阶系
15、系统统的特征参数。的特征参数。3.3 一阶系统一阶系统中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 输输入信号入信号 是理想的是理想的单单位脉冲函数位脉冲函数 时时，系，系统输统输出出 称称为为单单位脉冲响位脉冲响应应函数或函数或简简称称为单为单位脉冲响位脉冲响应应，记为记为而而所以所以单单位脉冲响位脉冲响应应函数函数:系系统传递统传递函数的函数的Laplace逆逆变换变换，即，即 所以所以（3.3.1）3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院w(t)只有瞬只有瞬态项态项，而
16、，而B(t)为为零。由式零。由式(3.3.1)可得表可得表3.3.1 t 0 T 2T 4T 0 0表3.3.1中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 一一阶阶系系统统的的单单位脉冲响位脉冲响应应函数是一个函数是一个单调单调下降的指数曲下降的指数曲线线。过过过过渡渡渡渡过过过过程：程：程：程：将指数曲衰减到初将指数曲衰减到初值值的的2%之前的之前的过过程定程定义为过义为过渡渡过过程，程，相相应应的的时间为时间为4T。称此。称此时间为过时间为过渡渡过过程程时间时间或或调调整整时间时间，记为记为ts。系系统统的的时间时间常数常数T愈小愈小,愈短愈短,系系统统的的
17、惯惯性愈小，反性愈小，反应应的快速性能的快速性能愈好。愈好。脉冲响脉冲响应应形式形式类类似与零似与零输输入响入响应应。实际实际实际实际脉冲信号脉冲信号脉冲信号脉冲信号:具有一定的脉冲具有一定的脉冲宽宽度和有限的幅度的来代替理想的脉度和有限的幅度的来代替理想的脉冲信号冲信号,脉冲脉冲宽宽度与系度与系统统的的时间时间常数常数T比，一般比，一般为为:中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院输输入信号入信号为单为单位位阶跃阶跃函数函数时时，即，即响响应应函数的函数的Laplace变换变换式式为为：其其时间时间响响应应函数函数记为记为 为为：由式（由式（3.3.2）和式
18、（）和式（3.1.12）可知，）可知，中中 是瞬是瞬态项态项，1是是稳稳态项态项B(t)（3.3.2）3.3.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 t 0 0 T 0.632 2T 0.865 4T 0.982 1 0由式（由式（3.3.2）可得表）可得表3.3.2和和图图3.3.2 表3.3.2中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 如如图图3.3.2所示，式（所示，式（3.3.2）表示的一）表示的一阶阶系系统统的的单单位位阶跃阶跃响响应应是一条是一条单调单调上升指数曲上
19、升指数曲线线，稳态值为稳态值为 。曲。曲线线有两个重要的特征点。有两个重要的特征点。A A点：点：点：点：其其对应对应的的时间时间t=T时时，系，系统统的响的响应应 达到了达到了稳态值稳态值的的63.2%；零点：零点：零点：零点：其其对应对应的的t=0时时，的切的切线线斜率（响斜率（响应应速度）等于速度）等于1/T。指数曲指数曲指数曲指数曲线线线线的斜率的斜率的斜率的斜率，即速率，即速率 是随是随时间时间t的增大而的增大而单调单调减小的，当减小的，当t为为 时时，其响，其响应应速度速度为为零；零；当当 时时，响，响应应已达到已达到稳态值稳态值的的98%以上，以上，过过渡渡过过程程时间时间 时间
20、时间时间时间常数常数常数常数T T 反映了固有特性反映了固有特性反映了固有特性反映了固有特性，其，其值值愈小，系愈小，系统统的的惯惯性就愈小，系性就愈小，系统统的响的响应应也就愈快。也就愈快。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院输输入入单单位位阶跃阶跃信号，并信号，并测测出它的响出它的响应应曲曲线线，及，及稳态值稳态值 ；从响从响应应曲曲线线上找出上找出0.632 （即特征点（即特征点A）所）所对应对应的的时间时间t,或或t=0点的切点的切线线斜率斜率;参考式（参考式（3.3.1）求出）求出 ，或者，由，或者，由单单位位阶跃阶跃响响应应 ，根，根据关系据关
21、系 ；求得；求得 ；由由 求得求得 。实验法求一阶系统的传递函数实验法求一阶系统的传递函数1234中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院式中，式中，为无阻尼固有频率；为阻尼比。显然为无阻尼固有频率；为阻尼比。显然 与与 是二阶系统的特是二阶系统的特征参数，表明了二阶系统本身与外界无关的特性。征参数，表明了二阶系统本身与外界无关的特性。由式（由式（3.4.2）可）可见见，随着阻尼比，随着阻尼比取取值值的不同，二的不同，二阶阶系系统统的特征根也的特征根也不同。不同。（3.4.1）（3.4.2）3.4 二阶系统二阶系统二阶微分方程描述的系统称为二阶系统：二阶微分方
22、程描述的系统称为二阶系统：二阶系统的特征方程：二阶系统的特征方程：由此得两个特征根为由此得两个特征根为中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院（1）当当当当0011时时时时，特征方程有两个不等的负实根，特征方程有两个不等的负实根 系统为过阻尼系统。系统为过阻尼系统。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院过阻尼二阶系统：过阻尼二阶系统：过阻尼二阶系统：过阻尼二阶系统：传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的因此可视为两个一阶环节的
23、并联，也可视为两个一阶环节的串联。串联。临界阻尼的二阶系统：临界阻尼的二阶系统：临界阻尼的二阶系统：临界阻尼的二阶系统：传递函数可分解为两个相同的一阶惯性传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘环节相乘,但考虑负载效应但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。节串联。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院输入信号是理想的单位脉冲函数输入信号是理想的单位脉冲函数 时，系统的输出时，系统的输出 称为单位脉
24、称为单位脉冲响应函数，特别记为冲响应函数，特别记为 。对于二阶系统，因为。对于二阶系统，因为 而而 所以所以 同样有：同样有：记记 ，称，称 为二阶系统的有阻尼固有频率。为二阶系统的有阻尼固有频率。(3.4.3)3.4.1 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 （1）当当当当00 111，系统为过阻尼系统时，由式（，系统为过阻尼系统时，由式（3.4.3）可得）可得 由式（由式（3.4.7）可知，过阻尼系统）可知，过阻尼系统w(t)可视为两个并联的一阶系可视为两个并联的一阶系统的单位脉冲响应函数的叠加。统的单位脉冲
25、响应函数的叠加。当当 取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图取不同值时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应如图3.4.2所示。所示。(3.4.7)中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线:减幅的正弦振荡曲线。减幅的正弦振荡曲线。愈小，愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于幅值衰减的快慢取决于 称为时间衰减函数，记为称为时间衰减函数，记为。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学
26、院机电学院3.4.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 若系统的输入信号为单位阶跃函数，即若系统的输入信号为单位阶跃函数，即 则二阶系统的阶跃路应函数的则二阶系统的阶跃路应函数的Laplace变换式为：变换式为：中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 （1）当当当当00 11 ，系统为过阻尼系统时，由式（系统为过阻尼系统时，由式（3.4.8）有）有 式中，式中，(3.4.13)中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 计算表明，当计算表明，当1.5时，在式（时，在式（3.4.13）的两个衰减的指数项中，）的两个衰
27、减的指数项中，的的衰减比衰减比 的要快得多，因此，过渡过程的变化以的要快得多，因此，过渡过程的变化以 项其主要作用。项其主要作用。从从S平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程影响愈大，起主平面看，愈靠近虚轴的根，衰减越慢，对过渡过程影响愈大，起主导作用。导作用。式（式（3.4.10）式）式（3.4.13）所描述的单位）所描述的单位阶跃响应函数如图阶跃响应函数如图3.4.3所示。所示。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统的的的的单单单单位位位位阶跃阶跃阶跃阶跃响响响响应应应应函数函数函数函数过过过过渡渡渡渡过过过过程特性
28、程特性程特性程特性 01时时:单调上升。单调上升。过过过过渡渡渡渡过过过过程的持程的持程的持程的持续时间续时间续时间续时间：无振荡单调上升的曲线：无振荡单调上升的曲线：=1时的时间时的时间t最短；最短；在欠阻尼系统中，当在欠阻尼系统中，当=0.40.8时，时间比时，时间比=1时的更短，而且振荡不时的更短，而且振荡不太严重。太严重。设计设计设计设计：二阶系统一般工作在二阶系统一般工作在=0.40.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。持续时间较短。特征参数特征参数 与与值值 决定决定 瞬态响应瞬态响应 决定决定 过渡过程。过渡过程。在根据给定的性能指标设计系统时
29、，将一阶系统与二阶系统相比，在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。并且也能同时满足对振荡性能的要求。并且也能同时满足对振荡性能的要求。并且也能同时满足对振荡性能的要求。中原工学院中原
30、工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院3.4.3 二阶系统响应的性能指标二阶系统响应的性能指标考考考考虑虑虑虑：产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求产生阶跃输入比较容易，而且从单位阶跃响应也较容易求得任何其它输入的响应；得任何其它输入的响应；在实际中，许多输入与阶跃输入相似，在实际中，许多输入与阶跃输入相似，而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。因此因此因此因此:性能指标以系统对单位阶跃输入的时域响应量值给出。性能指标以系统对单位阶跃输入的时域响应量值给出。因因因因为为为为：无振荡的单调过程的过渡时间太长，故
31、除了那些不允许产生无振荡的单调过程的过渡时间太长，故除了那些不允许产生振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡振荡的系统外，通常都允许系统有适度的振荡，以获得较短的过渡过程时间。过程时间。所以：所以：所以：所以：在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取在设计二阶系统时，常使系统在欠阻尼（通常取 ）状态下工作。）状态下工作。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者有关二阶系统响应的性能指标的定义及计算公式除特别说明者外，都是针对外，都是针对欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼
32、二阶系统而言的；而言的；更确切地说，是针对更确切地说，是针对欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程而的过渡过程而言的。言的。欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统的单位阶响应的过渡过程的特性，通常采用下的单位阶响应的过渡过程的特性，通常采用下列性能指标（见图列性能指标（见图3.4.4）描述）描述:（1）上升时间）上升时间（2）峰值时间）峰值时间（3）最大超调量）最大超调量（4）调整时间）调整时间（5）振荡次数）振荡次数N中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院
33、 响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的义为上升时间（对于过阻尼系统，一般将响应曲线从稳态值的10%上上升到升到90%所需的时间称为上升时间）。所需的时间称为上升时间）。欠阻尼二阶系统（欠阻尼二阶系统（），阶跃响应为：），阶跃响应为：根据定义，根据定义，时，时，由式（由式（3.4.9），得），得 考虑考虑 故有故有 令令 得得(3.4.9)1.1.上升时间上升时间上升时间上升时间 t tr r中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学
34、院 因为上升时间因为上升时间 是是 第一次到达输出稳态值的时间，故取第一次到达输出稳态值的时间，故取 即即 由关系式由关系式 ，当，当 增大，增大，就增大。就增大。(3.4.14)2.2.峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间 t tp p 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间，将式（3.4.9）对时间）对时间t求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由求导数，并令其为零，便可求得峰值时间即由整理得整理得因此因此(3.4.15)由定义取由定义取 因此因此中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院因为最大超调量
35、发生在峰值时间，因为最大超调量发生在峰值时间，时，故将式（时，故将式（3.4.9）与与 代入式（代入式（3.4.16），可求得：），可求得：可见峰值时间是有阻尼振荡周期可见峰值时间是有阻尼振荡周期 的一半，另外，由关系式的一半，另外，由关系式 及式（及式（3.4.15）可知）可知:当当一定时，一定时，增大，增大，就减小就减小;当当 一一定时，定时，增大，增大，就增大，此情况与就增大，此情况与 的相同。的相同。3.3.最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量 MMp p最大超调量定义，即最大超调量定义，即(3.4.16)中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院式
36、中，式中，为指定微小量，一般取为指定微小量，一般取 。式。式(3.4.18)表明表明,在在 之后，系统的输出不会超过下述允许范围：之后，系统的输出不会超过下述允许范围：超调量超调量 只与阻尼比只与阻尼比有关，而与无阻尼固有频率有关，而与无阻尼固有频率 无关。所以，无关。所以，的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比确定后确定后,即可求得与其相即可求得与其相对的超调量对的超调量 ；反之；反之,如果给出了系统所要求的如果给出了系统所要求的 ，也可由此确定相，也可由此确定相应的阻尼比应的阻尼比.当当=0.40.8时时,相应的超调量相应的超调量 。4.4.调整时间调
37、整时间调整时间调整时间 t ts s 在过渡过程中，在过渡过程中，取的值满足下面不等式时所需的时间，定义取的值满足下面不等式时所需的时间，定义为调整时间为调整时间 。不等式为不等式为(3.4.18)中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院由于由于 所表示的曲线是式（所表示的曲线是式（3.4.20）所描述的减幅正弦曲线的包）所描述的减幅正弦曲线的包络线，因此，可将由式（络线，因此，可将由式（3.4.20）所表达的条件改为：）所表达的条件改为：解得解得将式（将式（3.4.10）代入式（）代入式（3.4.19），得），得又因此时又因此时因此因此(3.4.19)(3.
38、4.20)(3.4.21)中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 若取若取 得得 若取若取 得得 当当 时，可分别将式（时，可分别将式（3.4.22）和式（）和式（3.4.23）近似取为：）近似取为：与与之间的精确关系，可由式（之间的精确关系，可由式（3.4.20）求得，）求得，为最为最小；当小；当 为最小，在设计二阶系统时为最小，在设计二阶系统时,一般取一般取 作作为最佳阻尼比。此时不仅为最佳阻尼比。此时不仅 小，而且起调量小，而且起调量 也不大，取也不大，取 的另的另一理由将在一理由将在4.2节中说明。节中说明。（3.4.22）（3.4.23）中原工学院
39、中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院具体设计：具体设计：具体设计：具体设计：根据最大超调量根据最大超调量根据最大超调量根据最大超调量 的要求，确定阻尼的要求，确定阻尼的要求，确定阻尼的要求，确定阻尼，所以调整时间，所以调整时间，所以调整时间，所以调整时间 主要是根据系统的主要是根据系统的主要是根据系统的主要是根据系统的 来确定的。来确定的。来确定的。来确定的。由此可见，二阶系统的特征参数由此可见，二阶系统的特征参数由此可见，二阶系统的特征参数由此可见，二阶系统的特征参数 决定系统的调整时间决定系统的调整时间决定系统的调整时间决定系统的调整时间 和最大和最大和最大和最
40、大超调量超调量超调量超调量 ；反过来，根据对；反过来，根据对；反过来，根据对；反过来，根据对 的要求，也能确定二阶系统的特的要求，也能确定二阶系统的特的要求，也能确定二阶系统的特的要求，也能确定二阶系统的特征参数征参数征参数征参数 。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 在过渡过程时间在过渡过程时间 内，内，穿越其稳态值穿越其稳态值 的次数的一半的次数的一半定义为振荡次数，从式（定义为振荡次数，从式（3.4.10）可知，系统的振荡周期是）可知，系统的振荡周期是 所所以其振荡次数为：以其振荡次数为：因此，当因此，当 时，由时，由 与与 ，得，得当当 时，由时
41、，由 与与 ，得，得 从式（从式（3.4.25）和式（）和式（3.4.26）可以看出，振荡次数）可以看出，振荡次数N随着随着的增大而的增大而 减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。（3.4.24）（3.4.25）4.4.振荡次数振荡次数振荡次数振荡次数N N（3.4.26）中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 （1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比比和无阻尼固有频率和无阻尼固有频率 。提高。提高 ，可以提高二阶系统的响应速度，可以提高二
42、阶系统的响应速度，减少上升时间减少上升时间 、峰值时间、峰值时间 和调整时间和调整时间 ；增大；增大，可以减弱系统，可以减弱系统的振荡性能，降低的振荡性能，降低 ，减小，减小N，但增加上升时间，但增加上升时间 和峰值时间和峰值时间 。一般情况下，系统在欠阻尼状态一般情况下，系统在欠阻尼状态 下工作，通常根据允许下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比的超调量来选择阻尼比.（2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的和和 值。值。由以上讨
43、论，可得如下结论：由以上讨论，可得如下结论：中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院【例例例例1 1】设系统的方框图为图设系统的方框图为图3.4.5，其中，其中 ，。当有一单位阶。当有一单位阶跃信号作用于系统时，求其性能指标跃信号作用于系统时，求其性能指标 和和 。3.4.4 二阶系统计算举例二阶系统计算举例解解解解 （1）求）求 。故由式（故由式（3.4.15），得），得（2）求）求 。由式（。由式（3.4.17）得）得（3）求）求 。由式（。由式（3.4.22）与式（）与式（3.4.23）的近似式，得）的近似式，得图图3.4.5 例例1框图框图中原工学院中
44、原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院解解解解 由图由图3.4.6(a)可知，可知，是阶跃是阶跃力输入，力输入，8.9N，是输出位是输出位移。由图移。由图3.4.6(b)可知系统的稳态可知系统的稳态输出输出 0.03m，0.0029m，此系统的传递，此系统的传递函数显然为：函数显然为：【例例例例2 2】如图如图3.4.6(a)所示的机械系统所示的机械系统,在质量为在质量为m的质块上施加的质块上施加 的阶跃力后，质块的时间响应的阶跃力后，质块的时间响应 如图如图3.4.6(b)所示，试求系统的所示，试求系统的m、k和和c值。值。式中：式中：中原工学院中原工学院中原工学院中
45、原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院（1）求）求k。由由Laplace变换的终值定理可知：变换的终值定理可知：而而 0.03m，因此，因此k297N/m.。其实，根据其实，根据Hooker定律很容易直接计算定律很容易直接计算k。因为。因为 即为静即为静变形，变形，即可视为静载荷，从而有即可视为静载荷，从而有即得即得中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院（3）求）求c。由由 ，求得，求得（2）求）求m。由式（由式（3.4.16）得）得又由式（又由式（3.4.17）求得）求得 。将将 代入代入 中，得中，得 。再由再由 求得求得m77.3kg。中原工学院中
46、原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院【例例例例3 3】有一位置随动系统，其方框图为图有一位置随动系统，其方框图为图3.4.7(a)。当系统输入单。当系统输入单位阶跃函数时，位阶跃函数时，。（1）校核该系统的各参数是否满足要求；）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，如图）在原系统中增加一微分负反馈，如图3.4.7(b)所示，求微分反所示，求微分反馈的时间常数馈的时间常数 。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院解解解解(1)将系统的闭环传递函数写成如式（将系统的闭环传递函数写成如式（3.4.1）所示的标准
47、型式：）所示的标准型式：对照式（对照式（3.4.1），可知此二阶系统的），可知此二阶系统的 和和 。将。将值代值代入式（入式（3.4.17）得）得 但但 ，故不能满足本题要求。，故不能满足本题要求。(2)图图3.4.7（b）所示系统的闭环传递函数为：）所示系统的闭环传递函数为：为了满足条件：为了满足条件：，由式（，由式（3.4.17）算得）算得 。现因。现因 ，而，而 ，从而求得，从而求得 。从此题可以看出，如第二章所讲，当系统加入微分负反馈时，相从此题可以看出，如第二章所讲，当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比当于增加了系统的阻尼比，改善了系统振荡性能，即减小了，改善了系统振荡性
48、能，即减小了 ，但，但并没有改变无阻尼固有频率并没有改变无阻尼固有频率 。中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 实际上，大量的系统，特别是机械系统，都可以用高阶微分实际上，大量的系统，特别是机械系统，都可以用高阶微分方程来描述。这种系统叫做高阶系统。方程来描述。这种系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合，而且也可包含延时环节，而一阶、一阶与二阶环
49、节等的组合，而且也可包含延时环节，而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。3.5 高阶系统高阶系统中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院高阶系统传递函数的普遍形式可表示为：高阶系统传递函数的普遍形式可表示为：（3.5.1）系统的特征方程式为：系统的特征方程式为：特征有特征有n个特征根，设其中
50、个特征根，设其中n1个为实数根，个为实数根，n2对为共轭虚根，应有对为共轭虚根，应有n=n1+2n2，由此，特征方程可以分解为，由此，特征方程可以分解为n1个一次因式个一次因式及及n2个二次因式个二次因式的乘积。也就是说，系统的传递函数有的乘积。也就是说，系统的传递函数有n1个实极点个实极点-pj及及n2对共轭复对共轭复数极点数极点中原工学院中原工学院中原工学院中原工学院 机电学院机电学院机电学院机电学院 设系统传递函数的设系统传递函数的m个零点为个零点为-zi（i=1,2，m），那么系统的），那么系统的传递函数可写为传递函数可写为 在单位阶跃输入在单位阶跃输入Xi(s)=1/s的作用下，输出