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1、测量学课件第五章测量测量学课件第五章测量误差基本知识误差基本知识2023/5/3测量学第1页，本讲稿共48页2023/5/3测量学5-1 测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响第2页，本讲稿共48页2023/5/3测量学二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）第3页，本讲稿共48页2023/5/3测量学（二）处理原则粗
2、差粗差细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差第4页，本讲稿共48页2023/5/3测量学如何处理含有偶然误差的数据？如何处理含有偶然误差的数据？n n例如：n n对同一量观测了n次n n观测值为 l1,l,l2,l3,.l.ln nn n如何取值？如何评价数据的精度？第5页，本讲稿共48页2023/5/3测量学n n例如：例如：n n对358358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=i+i+i-180其结果如表5-15-1，图，图5-1,分析三角形内角和的误差分析三角形内角和的误差I的规律。的规律。第6页，本讲稿共48
3、页2023/5/3测量学误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 03K K/n 03 45450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.059 4
4、4440.1230.123 1215 1215 17 170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.0920.092 1518 1518 13 130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.0730.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.0310.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.0170.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00
5、0181 0.505 177 0.495 358 1.000 表表表表2-1 2-1 2-1 2-1 偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计 第7页，本讲稿共48页2023/5/3测量学-24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d第8页，本讲稿共48页2023/5/3测量学偶然误差偶然误差的特性的特性n n有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。n n渐降性：误差小的出现的概率大n n对称性：绝对值相等的正负误差概率相等n n抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。第9页，本讲稿共48页5-2评定精
6、度的标准评定精度的标准n n方差和标准差（中误差）第10页，本讲稿共48页标准差常用m表示，在测绘界称为中误差。第11页，本讲稿共48页按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差第12页，本讲稿共48页三、相对误差 某些观测值的误差与其本身大小有关用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称“相对中误差”）第13页，本讲稿共48页2023/5/3测量学 例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是2cm，但不能认为两者的精度是相同的 前者的相对中误差为002200 110000 而后者则为002
7、40l2000 前者的量距精度高于后者。第14页，本讲稿共48页正态分布正态分布第15页，本讲稿共48页正态分布的特征正态分布的特征n n正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。n n当 时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。n n用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。n n对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率第16页，本讲稿共48页第17页，本讲稿共48页极限误差极限误差极限误差极限误差第18页，本讲稿共48页三、容许误差第19页，本讲稿共48页2023/5/3测量学n n但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：=？m=？寻找最接近真
8、值的值x5-3观测值的算术平均值及改正值 第20页，本讲稿共48页集中趋势的测度（最优值）集中趋势的测度（最优值）n n中中位位数数：设设把把n n个个观观测测值值按按大大小小排排列列，这这时时位位于于最中间的数就是最中间的数就是“中位数中位数”。n n众众数数：在在n n个个数数中中，重重复复出出现现次次数数最最多多的的数数就就是是“众数众数”。n n切尾平均数切尾平均数：去掉去掉 l lmaxmax,l,lminmin以后的平均数。以后的平均数。n n调和平均数：调和平均数：算术平均数：满足最小二乘原则的最优解满足最小二乘原则的最优解第21页，本讲稿共48页证明（证明（x是最或然值）是最或
9、然值）n n n n将上列等式相加，并除以n,得到n n 第22页，本讲稿共48页观测值的改正值观测值的改正值n n若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解x改正值的特性定义改正值第23页，本讲稿共48页5-4观测值的精度评定观测值的精度评定n n标准差可按下式计算中误差第24页，本讲稿共48页证明证明n n将上列左右两式方便相减，得将上列左右两式方便相减，得第25页，本讲稿共48页取和取和取和取和n n 第26页，本讲稿共48页计算标准差例子计算标准差例子 第27页，本讲稿共48页小结小结n n一、已知真值一、已知真值X X，则，则真误差真误差n n一、真值不知，则一、真值不知，则二、中
10、误差二、中误差第28页，本讲稿共48页5-5误差传播定律误差传播定律n n已知：mx1,mx2,-mxnn n求：my=?第29页，本讲稿共48页误差传播定律误差传播定律n n全微分：式中f有正有负第30页，本讲稿共48页第31页，本讲稿共48页 my2 m12 m22 mn2第32页，本讲稿共48页中误差关系式中误差关系式：n n小结n n第一步：写出函数式n n第二步：写出全微分式n n第三步：写出中误差关系式n n注意：注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式写出中误差关系式。第33页，本讲稿共48页5-6 误差传播定律误差传播定
11、律应用举例应用举例应用举例应用举例观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h h第34页，本讲稿共48页误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例应用举例应用举例观测值：斜距S S和竖直角v待定值：水平距离DD第35页，本讲稿共48页误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例应用举例应用举例算术平均值算术平均值 已知：已知：mm1 1=m=m2 2=.=m.=mn n=m =m 求：求：mx第36页，本讲稿共48页算例：用三角形闭合差求测角中误差算例：用三角形闭合差求测角中误差第37页，本讲稿共48页误差传播定律应用举例误差传播定律应用举例1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超过、测回法观测水平角
12、时盘左、盘右的限差不超过40秒；秒；2、用、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的限经纬仪对三角形各内角观测一测回的限差；差；3、两次仪器高法的高差限差。、两次仪器高法的高差限差。第38页，本讲稿共48页5-7加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差n n现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值A A组：组：123.34,123.39,123.35123.34,123.39,123.35B B组：组：123.31,123.30,123.39,123.32123.31,123.30,123.39,123.32C C组：组：123.34,123.38,123.35,123.3
13、9,123.32123.34,123.38,123.35,123.39,123.32n n各组的平均值各组的平均值 A组：B B组：组：123.333123.333 C C组：组：123.356123.356 =?123.360第39页，本讲稿共48页加权平均数加权平均数n n ()()()()()n n各组的平均及其权各组的平均及其权 A A组：组：123.360 123.360 权权P PA A=3=3 B B组：组：123.333 P123.333 PB B=4=4 C C组：组：123.356 P123.356 PC C=5=5第40页，本讲稿共48页一、权与中误差一、权与中误差n n
14、平均数的权平均数的权p pA A=3=3n n平均数的中误差平均数的中误差n nmm单位权中误差单位权中误差n n权与误差的平方成反比权与误差的平方成反比第41页，本讲稿共48页二、加权平均数二、加权平均数n n 简单平均值的理论依据为简单平均值的理论依据为第42页，本讲稿共48页加权平均数加权平均数n n加权平均值的理论依据为加权平均值的理论依据为第43页，本讲稿共48页三、加权平均值的中误差三、加权平均值的中误差 第44页，本讲稿共48页四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则第45页，本讲稿共48页加权平均时标准差的算例加权平均时标准差的算例第46页，本讲稿共48页五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律有；权倒数传播定律 m2 m2 m2 m2第47页，本讲稿共48页例题例题有；已知 求：第48页，本讲稿共48页