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1、土木工程测量第五章第1页，本讲稿共23页第五章第五章 测量误差基础知识测量误差基础知识第2页，本讲稿共23页 5.1 测量误差分类测量误差分类 测测量量误误差差（error）的的产产生生，主主要要是是由由于于仪仪器器不不可可能能绝绝对对准准确确，观观测测者者的的鉴鉴别别能能力力有有限限，观观测测是是在在一一定定的的外外界界条条件件(如如风风力力，温温度度、气气压压、照照度度等等)下下进进行行的的。通通常常把把仪仪器器，观观测测者者和和外外界界条条件件三三个个方方面面综综合合起起来来，称称为为观观测测条条件件。观观测测条条件件相相同同的的各各次次观观测测，其其误误差差出出现现的的规规律律相相同同
2、，称称为为等等精精度度观观测测（equal observations），观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。），观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。在在在在观观观观测测测测结结结结果果果果中中中中，有有有有时时时时还还还还会会会会出出出出现现现现错错错错误误误误。例例例例如如如如，读读读读数数数数错错错错误误误误或或或或记记记记录录录录错错错错误误误误等等等等，统统统统称称称称为为为为粗粗粗粗差差差差。粗粗粗粗差差差差在在在在观观观观测测测测结结结结果果果果中中中中是是是是不不不不允允允允许许许许出出出出现现现现的的的的。为为为为了了了了杜杜杜杜绝绝绝绝粗粗粗粗差差差差，除除除除认认认
3、认真真真真仔仔仔仔细细细细作作作作业业业业外外外外，还还还还必必必必须须须须采采采采取取取取必必必必要要要要的的的的检检检检核核核核措措措措施施施施。例例例例如如如如，对对对对距距距距离离离离进进进进行行行行往往往往、返返返返测测测测量量量量，对对对对角角角角度度度度进进进进行行行行多多多多测测测测回回回回观观观观测测测测等等等等，这这这这是是是是测测测测量量量量的的的的基基基基本原则。本原则。本原则。本原则。观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。观测误差按其自身规律性，可分为系统误
4、差和偶然误差。第3页，本讲稿共23页 5.1.1、系统误差（、系统误差（systemic error）对某量进行一系列观测，如误差出现的符号和大小均相对某量进行一系列观测，如误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，或者说误差的来源已确切地掌握，同或按一定的规律变化，或者说误差的来源已确切地掌握，则这种误差就称为系统误差。则这种误差就称为系统误差。系系系系统统统统误误误误差差差差具具具具有有有有积积积积累累累累性性性性，无无无无法法法法用用用用多多多多次次次次观观观观测测测测取取取取平平平平均均均均的的的的方方方方法法法法消消消消除除除除，对对对对测测测测量量量量结结结结果果果果的的的的影
5、影影影响响响响很很很很大大大大。但但但但是是是是，由由由由于于于于系系系系统统统统误误误误差差差差的的的的符符符符号号号号和和和和大大大大小小小小有有有有一一一一定的规律，可以用以下方法进行处理：定的规律，可以用以下方法进行处理：定的规律，可以用以下方法进行处理：定的规律，可以用以下方法进行处理：（1 1）、用计算的方法加以改正。）、用计算的方法加以改正。）、用计算的方法加以改正。）、用计算的方法加以改正。（2 2）、用一定的观测程序加以消除。）、用一定的观测程序加以消除。）、用一定的观测程序加以消除。）、用一定的观测程序加以消除。（3 3）、将系统误差限制在工程实践允许范围内。）、将系统误差
6、限制在工程实践允许范围内。）、将系统误差限制在工程实践允许范围内。）、将系统误差限制在工程实践允许范围内。第4页，本讲稿共23页 5.1.2、偶然误差、偶然误差(random error)在在相相同同的的观观测测条条件件下下，对对某某量量进进行行一一系系列列观观测测，若若误误差差出出现现的的符符号号和和大大小小均均不不一一定定，或或者者说说误误差差的的来来源源尚尚没没有有被被人人们们认认识识到，则这种误差称为偶然误差。例如，测量中的估读误差等。到，则这种误差称为偶然误差。例如，测量中的估读误差等。大量的测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性：大量的测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性：大量的
7、测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性：大量的测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性：l l (1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者说，超在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者说，超在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者说，超在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者说，超出该限值的误差出现的概率趋近于零；出该限值的误差出现的概率趋近于零；出该限值的误差出现的概率趋近于零；出该限值的误差出现的概率趋近于零；l l (2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；绝对值小的误差比绝对值大的误差
8、出现的概率大；l l (3)(3)绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；l l (4)(4)同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋于零，即测次数的无限增加而趋于零，即测次数的无限增加而趋于零，即测次数的无限增加而趋于零，即第5页，本讲稿共23页 高高斯斯（Gauss,Carl Friedrish 177
9、71855，德德国国数数学学家家，天天文文学学家家，物物理理学学家家，在在实实验验数数据据处处理理方方面面，发发展展了了概概率率统统计计中中的的误误差差理理论论，发发明明最最小小二二乘乘法法，引引入入高高斯斯误误差差曲曲线线）根根据据偶偶然然误误差的四个特性，推导出偶然误差分布的概率密度函数为：差的四个特性，推导出偶然误差分布的概率密度函数为：上上式式表表明明，偶偶然然误误差差的的出出现现服服从从标标准准正正态态分分布布(右右图图)，这这就就为为偶偶然然误误差差的的处处理理奠奠定定的的坚坚实实的的理理论论基基础础。测测量量实实践践中中可可以以根根据据偶偶然然误误差差的的特特性性合合理理地地处处
10、理理观观测测数数据据，以以减减少少偶偶然然误误差差对对测量成果的影响。测量成果的影响。第6页，本讲稿共23页 5.2 观测值精度评价指标观测值精度评价指标 在在相相同同观观测测条条件件下下，对对某某一一量量所所进进行行的的一一组组观观测测，对对应应着着同同一一种种误误差差分分布布，因因此此，这这一一组组中中的的每每一一个个观观测测值值，都都具具有有同同样样的的精精度度；然然而而，在在不不同同的的观观测测条条件件下下，对对同同一一量量所所进进行行的的观观测测必必然然具具有有不不同同的的精度。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。精度。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。5.2.1、中误差、中误差 设对
11、某一未知量进行了设对某一未知量进行了n次等精度观测，未知次等精度观测，未知量的真值为量的真值为X，其观测值为，其观测值为l1、l2、ln，相，相应的真误差为：应的真误差为：第7页，本讲稿共23页则定义该组观测值的方差则定义该组观测值的方差D为为:以上式为基础，数理统计理论可以证明：以上式为基础，数理统计理论可以证明：特特别别需需要要说说明明的的是是，根根据据上上式式计计算算中中误误差差的的前前提提是是真真值值X是已知的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。是已知的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。第8页，本讲稿共23页 工工程程测测量量中中将将称称为为中中误误差差（mean err
12、or），并并常常以以符符号号m表表示示，这这只只是是一一种种传传统统，而而从从工工程程实实践践的的角角度度来来看看，中中误误差差的的数数学实质就是数理统计中的标准偏差，即：学实质就是数理统计中的标准偏差，即：特特别别需需要要说说明明的的是是，根根据据上上式式计计算算中中误误差差的的前前提提是是真真值值X是是已已知知的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。第9页，本讲稿共23页 由由由由图图图图可可可可见见见见，偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差概概概概率率率率密密密密度度度度函函函函数数数数中中中中的的的的参参参参数数数数 反反反反映映映映着着着着
13、误误误误差差差差分分分分布布布布的的的的密密密密集集集集或或或或离离离离散散散散程程程程度度度度，即即即即反反反反映映映映其其其其离离离离散散散散度度度度的的的的大大大大小小小小，可可可可以以以以作作作作为为为为衡衡衡衡量量量量精精精精度度度度的的的的指指指指标标标标：越越越越小小小小，偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差分分分分布布布布越越越越集集集集中中中中，则则则则测测测测量量量量精精精精确确确确度度度度越越越越高高高高（如如如如图图图图中中中中曲曲曲曲线线线线）；越越越越大大大大，偶偶偶偶然然然然误误误误差差差差分分分分布布布布越越越越分分分分散，则测量精确度越低（如图中曲线散，则测量精确
14、度越低（如图中曲线散，则测量精确度越低（如图中曲线散，则测量精确度越低（如图中曲线）。）。）。）。第10页，本讲稿共23页 5.2.2、相对误差、相对误差 真真误误差差和和中中误误差差都都是是绝绝对对误误差差大大小小，与与被被测测值值的的大大小小没没有有建建立立关关系系，仅仅用用这这两两种种精精度度指指标标显显然然无无法法完完全全表表达达精精度度的的水水平平。为为了了在在精精度度指指标标中中考考虑虑被被测测值值本本身身的的大大小小，引引入入相相对对误误差差的的概概念。念。式中，式中，式中，式中，K相对中误差，也简相对中误差，也简相对中误差，也简相对中误差，也简 称相对误差；称相对误差；称相对误
15、差；称相对误差；m中误差；中误差；中误差；中误差；X观测量的真值。观测量的真值。观测量的真值。观测量的真值。由由由由上上上上式式式式可可可可见见见见，相相相相对对对对误误误误差差差差有有有有两两两两种种种种形形形形式式式式，其其其其一一一一是是是是以以以以百百百百分分分分数数数数表表表表示示示示；其其其其二二二二是是是是以以以以分分分分子子子子为为为为1 1、分分分分母母母母约约约约简简简简为为为为整整整整数数数数的的的的真真真真分分分分数数数数表表表表示示示示，这这这这两两两两种种种种形形形形式式式式表表表表示示示示的的的的相相相相对误差都是一个无量纲的比值。对误差都是一个无量纲的比值。对误
16、差都是一个无量纲的比值。对误差都是一个无量纲的比值。第11页，本讲稿共23页 由由于于观观测测量量的的真真值值通通常常无无法法确确定定，工工程程实实践践中中也也常常用用观观测测量量的的算算术术平平均均值值代代替替真真值值计计算算相相对对误误差差。例例如如，在在距距离离测测量量中中，通通常常是是往返各测量一次，以下面公式来评定测量精度：往返各测量一次，以下面公式来评定测量精度：从从实实质质上上看看，公公式式的的计计算算结结果果是是“较较差差率率”，而而非非“相相对对误误差差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角
17、度大小特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大小特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大小特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。第12页，本讲稿共23页 5.2.3、极限误差、极限误差 偶偶然然误误差差的的第第一一特特性性表表明明，在在一一定定的的观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不超超过过一一定定的的界界限限。如如果果观观测测值值的的误误差差超超过过了了这这个个界界限限，则则被被认认为为观观测测有
18、有错错，应应舍舍去去重重测测，这这个个限限值值称称为为极极限限误误差差或或容容许许误误差差（allowance error）。误误差差理理论论表表明明，在在实实际际观观测测中中，绝绝对对值值大大于于一一倍倍中中误误差差的的偶偶然然误误差差出出现现的的概概率率为为30%；绝绝对对值值大大于于二二倍倍中中误误差差的的偶偶然然误误差差出出现现的的概概率率为为5%；而而绝绝对对值值大大于于三三倍倍中中误误差差的的偶偶然然误误差差出出现现的的概概率率仅仅为为0.3%.根根据据上上述述结结果果，工工程程测测量量中中取取二二倍倍中中误误差差作作为为偶然误差的限值，即偶然误差的限值，即限限=2m 当当对对测测
19、量量结结果果要要求求宽宽松松时时，也也可可取取三三倍倍中中误误差差作作为为偶偶然然误误差差的的限限值值。一一般般认认为为，大大于于三三倍倍中中误误差差的的偶偶然然误误差差是是不不可可接接受受的，应舍去重测。的，应舍去重测。第13页，本讲稿共23页 5.3误差传播定律误差传播定律 在在实实际际工工作作中中，某某些些未未知知量量不不可可能能或或不不便便于于直直接接进进行行观观测测，而而需需要要由由其其它它一一些些直直接接观观测测量量按按照照一一定定的的函函数数关关系系计计算算出出来来，而而这这些些作作为为自自变变量量的的直直接接观观测测值值是是包包含含测测量量误误差差的的，这这必必然然引引起起函函
20、数数值值的的误误差差。本本节节讨讨论论自自变变量量误误差差和和函函数数值值误误差差间间的的关关系系，根根据据自自变变量量的的误误差差来来分分析析确确定定函函数数值值的的误误差差，而阐述这种函数关系的定律即称为误差传播定律。而阐述这种函数关系的定律即称为误差传播定律。第14页，本讲稿共23页式中式中xi为可以直接观测的值，为可以直接观测的值，y为函数值。为函数值。设对各个相互独立的自变量设对各个相互独立的自变量xi分别进行了分别进行了k次观测，其观测值分次观测，其观测值分别是别是li，而相应的中误差分别是，而相应的中误差分别是mi，且记，且记 则当则当k足够大时，可以推导出：足够大时，可以推导出
21、：上式就是误差传递的一般公式，在误差理论中占有重要地位上式就是误差传递的一般公式，在误差理论中占有重要地位。第15页，本讲稿共23页【例例5.3.1】设设在在三三角角形形ABC中中，直直接接观观测测A，B，且且已已知知其其中中误误差差分分别别为为mA=3，mB=4。当当由由A，B的的观观测测值值计计算算C大小时，相应的中误差大小时，相应的中误差mC等于多少？等于多少？解：建立函数关系解：建立函数关系 则则 于是于是 第16页，本讲稿共23页【例例5.3.2】证证明明：对对某某一一量量X进进行行n次次等等精精度度观观测测，观观测测值值分分别别是是l1，l2，ln。若若单单次次观观测测中中误误差差
22、为为m，则则其其算算术术平平均均值值 的的中中误误差为：差为：证明：建立函数关系证明：建立函数关系则则 第17页，本讲稿共23页 右右图图是是根根据据上上式式得得到到的的算算术术平平均均值值的的中中误误差差与与观观测测次次数数的的关关系系曲曲线线。右右图图表表明明，增增加加观观测测次次数数可可以以提提高高算算术术平平均均值值的的精精度度，例例如如，假假定定单单次次观观测测中中误误差差为为1.0，则则10次次观观测测平平均均值值的的中中误误差差将将减减到到0.316。但但右右图图同同时时显显示示，当当观观测测次次数数达达到到一一定定数数值值后后（如如n=10），再再增增加加观观测测次次数数提提高
23、高观观测测精精度度的的效效果果就就不不太太明明显显了。了。因因此此，不不能能仅仅依依靠靠增增加加观观测测次次数数来来提提高高测测量量成成果果的的精精度度，而而必必须须使使用用精精度度较较高高的的仪仪器器，提提高高观观测测技技能能，在在良良好好的的外外界界条条件件下进行观测等。下进行观测等。算术平均值的中误差与观测次数算术平均值的中误差与观测次数 第18页，本讲稿共23页 5.4无真值条件下的最大似然值无真值条件下的最大似然值5.4.1、最大似然值（、最大似然值（maximum likelihood value）在在工工程程实实践践中中，经经常常遇遇到到的的情情况况是是某某一一未未知知量量无无法
24、法得得到到其其真真值值，则则用用式式 求求观观测测中中误误差差无无法法实实施施。本本节讨论在无真值条件下有关参数的计算问题。节讨论在无真值条件下有关参数的计算问题。设对某未知量进行了一组等精度观设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为测，其真值为X，观测值分别为，观测值分别为：相应的真误差为：相应的真误差为：则：则：第19页，本讲稿共23页将上述各式求和，等号两将上述各式求和，等号两边再同除以边再同除以n，得：，得：设为设为L L算术平均值，则有算术平均值，则有根据偶然误差的第四条特性，当观测次数足够大时，有根据偶然误差的第四条特性，当观测次数足够大时，有 从从上上式式可可以以看看出出，当当
25、观观测测次次数数足足够够大大时时，观观测测值值的的算算术术平平均均值值就就趋趋向向于于未未知知量量的的真真值值。当当为为n有有限限时时，则则说说算算术术平平均均值值 L 是是真值真值 X 的的“最大似然值最大似然值”也称为似真值。也称为似真值。第20页，本讲稿共23页 5.4.2、观测值的改正数、观测值的改正数 观观测测值值与与观观测测值值的的算算术术平平均均值值之之差差称称为为观观测测值值的的改改正正数数，用用v表表示示。设设对对某某未未知知量量进进行行了了一一组组等等精精度度观观测测，观观测测值值分分别别为为 ，其其 算算 术术 平平 均均 值值 为为 L L 相相 应应 的的 改改 正正 数数 为为 ，则：，则：将上述各式两端相加得：将上述各式两端相加得：由于算数平均值由于算数平均值 ，则可得到：，则可得到：由上式可知，一组观测值的改正数代数和应为零，利用由上式可知，一组观测值的改正数代数和应为零，利用这一特性可以检核计算过程是否正确。这一特性可以检核计算过程是否正确。第21页，本讲稿共23页 5.4.3、用观测值的改正数计算中误差、用观测值的改正数计算中误差运用误差理论可以证明，观测值的中误差运用误差理论可以证明，观测值的中误差m是是相应地，算术平均值的中误差为相应地，算术平均值的中误差为第22页，本讲稿共23页本 章 结 束第23页，本讲稿共23页