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1、会计学1利用导数研究不等式恒成立及相关问题利用导数研究不等式恒成立及相关问题考向分析核心整合热点精讲阅卷评析第1页/共44页考向分析考情纵览年份年份考点考点2011201120122012201320132014201420152015利用导数解利用导数解决与函数有决与函数有关的不等式关的不等式恒成立问题恒成立问题2121利用导数解利用导数解决与不等式决与不等式有关的问题有关的问题212121212121212121212121第2页/共44页真题导航第3页/共44页(2)证明:f(x)1.第4页/共44页2.(2014新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(
2、x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;解:(1)f(x)=ex+e-x-20,等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-,+)上单调递增.第5页/共44页第6页/共44页3.(2013新课标全国卷,理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;第7页/共44页(2)当m2时,证明f(x)0.第8页/共44页备考指要1.怎么考导数的综合应用是高考命题的重点与热点,每年高考都会考查这一知识点,具有一定的难度与灵活性.从知识层面上看,一般考查导数在其他知识中的应用,突出导数的工具性
3、,其中主要包括:(1)利用导数研究多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数和指数函数的性质及求参数等综合问题;(2)求最值,以实际问题中的最优化问题形式呈现;(3)把导数与函数、方程、不等式、数列等结合综合考查.从题目的结构层次上看,常以解答题的形式呈现,第一问一般以抽象导函数值、抽象函数值、切线方程、极值为背景求函数的解析式,或给定参数的值求函数单调区间问题,较为简单;第二问均为和不等式相联系,考查由不等式恒成立求参数的取值范围或参数的最值问题、证明不等式等综合问题,常以压轴题出现,具有一定的难度.第9页/共44页2.怎么办复习备考时要认真掌握导数与函数单调性、极值与最值的关系,强化导数
4、的工具性的作用,要认真研究导数与不等式、方程、数列、解析几何的联系,加强导数应用的广泛意识,注重数学思想与方法的应用.第10页/共44页核心整合1.利用导数求函数最值的几种情况(1)若连续函数f(x)在(a,b)内有唯一的极大值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,f(a),f(b)min是函数f(x)在a,b上的 ;若函数f(x)在(a,b)内有唯一的极小值点x0,则f(x0)是函数f(x)在a,b上的 ,f(a),f(b)max是函数f(x)在a,b上的 .(2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 是函数f(x)在a,b上的最小值,是函数f(x)在a,b上的最大值;若函数f(
5、x)在a,b上单调递减,则 是函数f(x)在a,b上的最大值,是函数f(x)在a,b上的最小值.(3)若函数f(x)在a,b上有极值点x1,x2,xn(nN*,n2),则将f(x1),f(x2),f(xn)与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是函数f(x)在a,b上的 ,最小的一个是函数f(x)在a,b上的 .最大值最小值最小值最大值f(a)f(b)f(a)f(b)最大值最小值第11页/共44页2.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)-g(x)min0(xI).(2)f(x)g(x)对xI能成立I与f(x)g(x)的解集
6、的交集不是空集f(x)-g(x)max0(xI).(3)对x1,x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1D1,x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min,f(x)定义域为D1,g(x)定义域为D2.3.证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.第12页/共44页温馨提示 在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的原则;(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则;(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程;
7、(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)m恒成立,则f(x)maxm;若f(x)m恒成立,则f(x)minm.若f(x)m有解,则f(x)minm;若f(x)m有解,则f(x)maxm.第13页/共44页热点精讲热点一利用导数解决与函数有关的不等式恒成立问题第14页/共44页(2)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的取值范围.第15页/共44页第16页/共44页方法技巧 已知不等式f(x,)0(为实参数)对任意的xD恒成立,求参数的取值范围.利用导数解决这个问题的常用思想方法如下:(
8、1)分离参数法:第一步,将原不等式f(x,)0(xD,为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式;第二步,利用导数求出函数f2(x)(xD)的最大(小)值;第三步,解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min从而求出参数的取值范围.(2)函数思想法:第一步,将不等式转化为某含参数的函数的最值问题;第二步,利用导数求出该函数的极值(最值);第三步,构建不等式求解.第17页/共44页第18页/共44页第19页/共44页热点二利用导数证明与函数有关的不等式解:(1)由已知f(x)=ln x+1+2ax(x0),切点P(1,a
9、),则切线方程:y-a=(2a+1)(x-1).把(0,-2)代入得a=1.第20页/共44页第21页/共44页第22页/共44页第23页/共44页方法技巧 1.利用导数证明与分式、指数式、对数式函数等相关的不等式的步骤:第一步,根据待证不等式的结构特征、定义域及不等式的性质,将待证不等式化为简单的不等式;第二步,构造函数(构造函数的常用方法:作差法、换元法);第三步,利用导数研究该函数的单调性或最值;第四步,根据单调性或最值得到待证不等式.小贴士:在证明过程中要利用一些常见的小结论:exx+1(当x=0时取等号),ln(x+1)x(当x=0时取等号).2.证明与区间端点有关的不等式的步骤:第
10、一步,根据待证不等式的结构特点及已知条件,找出与区间端点有关的等量关系与不等关系;第二步,把等量关系与待证不等式的一边整理;第三步,利用不等关系得到待证不等式.第24页/共44页第25页/共44页第26页/共44页第27页/共44页备选例题【例1】(2015河南省八市教学质量监测)已知函数f(x)=aln x-x+1,g(x)=-x2+(a+1)x+1.(1)若对任意的x1,e,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;第28页/共44页(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0,使得h(x0+k)=h(x0)+h(k)(k0且为常数)成立,则称函数h(x)为保k阶函数,已知H(x)
11、=f(x)-(a-1)x+a-1 为保a阶函数,求实数a的取值范围.第29页/共44页第30页/共44页第31页/共44页第32页/共44页第33页/共44页第34页/共44页第35页/共44页第36页/共44页第37页/共44页阅卷评析第38页/共44页第39页/共44页第40页/共44页第41页/共44页【答题启示】1.理解导数的几何意义,会求曲线y=f(x)在某点的切线方程.2.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值,会利用导数为工具,证明不等式,能构造函数,结合放缩法和函数最值达到证明目的.3.会利用导数解决求参数的取值范围,根据不等式在某区间上恒成立进行转化为函数的最值问题,同时注意分类讨论思想的合理运用.第42页/共44页点击进入专题组合练第43页/共44页