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1、教学课件通信网络原理与技术4-1排队论基础（Little定理）通信系统教研室通信系统教研室授授 课课 人：人：通信网络原理与技术通信网络原理与技术通信网络原理与技术通信网络原理与技术第四章第四章 排队系统及网络时延分析排队系统及网络时延分析关于经典排队论关于经典排队论排队论是排队论是运筹学运筹学的重要组成部分。是研究系统随机的重要组成部分。是研究系统随机聚散现象聚散现象和和随机服务随机服务系统工作过程的数学理论和系统工作过程的数学理论和方法，又称方法，又称随机服务系统随机服务系统理论。理论。20世纪初丹麦数学家、电气工程师世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔兰爱尔兰（A.K.Erlang）把把概率
2、论概率论应用到应用到电话通信电话通信问题，问题，从而开创了这门应用数学科学。从而开创了这门应用数学科学。20世纪世纪30年代中期，当年代中期，当费勒费勒（W.Feller 美国数学家）美国数学家）引进了引进了生灭过程生灭过程时，排队论才被数学界承认为一门时，排队论才被数学界承认为一门重要学科。重要学科。3关于排队论（关于排队论（Queuing Theory）20世纪世纪40年代年代排队论排队论在运筹学这个领域中成了在运筹学这个领域中成了一个重要部分。一个重要部分。20世纪世纪50年代初年代初肯德尔（肯德尔（D.G.Kendall 美国生物化学家）美国生物化学家）对排队论做了系统的研究，他用对排
3、队论做了系统的研究，他用马尔可夫（马尔可夫（A.A.Markov）链链方法研究排队论，使排队论得到进一步的发展。方法研究排队论，使排队论得到进一步的发展。20世纪世纪60年代起排队论研究的课题日趋复杂，年代起排队论研究的课题日趋复杂，很多问题很难求得精确解，因此开始了很多问题很难求得精确解，因此开始了近似方法近似方法的研究。的研究。4关于排队论关于排队论排队论应用范围很广，它适用于一切排队论应用范围很广，它适用于一切服务系统服务系统，尤其在尤其在通信系统通信系统、交通系统交通系统、计算机存储系统计算机存储系统和和生产管理系统生产管理系统等方面用的最广。等方面用的最广。5排队论发展史排队论发展史
4、v初期初期(二十世纪二十世纪1010s-40s-40s):s):主要研究应用主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列的排队系统于电话网和远程通信系统等无队列的排队系统(损失制损失制)v中期中期(二十世纪二十世纪4040s-60s-60s):s):推广应用到军事、推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域，主要研究有队运输、生产、社会服务等领域，主要研究有队列列(等待制等待制)的排队系统和排队网络的排队系统和排队网络v近期近期(二十世纪二十世纪6060s-s-今今):):主要研究大规模复主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分析和近似分析，杂排队系统的理论分析、数值分析和近似分析，尤其注重
5、对业务突发性和带有各种网络控制的尤其注重对业务突发性和带有各种网络控制的排队系统的研究排队系统的研究6排队论重要贡献文献排队论重要贡献文献v1909:Erlang 发表他的有关排队论的第一篇论文：发表他的有关排队论的第一篇论文：the theory of probalities and telephone conversations;v1917:Erlang 发表著名的论文发表著名的论文“Solution of Some Problems in the Theory of Probability of Significance in Automatic Telephone Exchanges”
6、v1936-47:Palm 发表论文发表论文“Repairmen in Serving Automatic Machines”v1951:Kendall 发表论文发表论文”排队论中的某些问题排队论中的某些问题”,在在1953 年提出使用年提出使用Kendall记号记号;v1953-57:Kendall,Lindley,Pollaczek&Khinchin 用嵌用嵌入入Markov链的方法研究链的方法研究M/G/1排队模型排队模型;7排队论重要贡献文献排队论重要贡献文献v1961:Little 提出提出Little 公式（定理）公式（定理）;v1975/6:Kleinrock著的两卷著的两卷”Q
7、ueueing Systems”出版出版;v1982:Wolff 提出和推广和提出和推广和 PASTA(Poisson Arrivals See Time Averages)准则准则v1981:Neuts 引进矩阵分析方法引进矩阵分析方法;在以后的时间里在以后的时间里,有大量的描述突发和具有相关性通信业务的模型有大量的描述突发和具有相关性通信业务的模型(如流体模型如流体模型,MMPP 模型等模型等)发表发表;v1990后后:提出自相关自相似的业务量模型提出自相关自相似的业务量模型.8排队论要研究的问题排队论要研究的问题(1)(1)等待时间的等待时间的分布分布,平均平均等待时间等待时间;(2)(
8、2)系统时间系统时间(也称逗留时间也称逗留时间)的的分布分布,平均平均系统时系统时 间及系统时间的间及系统时间的方差方差(时延抖动时延抖动););(3)(3)在系统中的在系统中的顾客数顾客数(也称也称系统占有数系统占有数)的的分布分布及及均值均值;(4)(4)等待顾客数的等待顾客数的分布分布及其及其均值均值;(5)(5)服务器服务器忙着忙着(或或空闲空闲)的的概率概率;(6)(6)忙期长度的忙期长度的分布分布及其及其均值均值;(7)(7)在忙期被服务的顾客数的在忙期被服务的顾客数的分布分布以及它的以及它的均值均值。9第一讲第一讲 Little定理定理 内容安排内容安排第二讲第二讲 排队系统（排
9、队系统（M/M/1）第四章第四章 排队系统及网络时延分析排队系统及网络时延分析10第一讲第一讲 Little定理定理 排队系统排队系统内容安排内容安排排队模型排队模型Little定理定理11一、排队系统一、排队系统排队现象排队现象到达顾客到达顾客服务内容服务内容服务机构服务机构病病 人人诊断诊断/手术手术医生医生/手术台手术台进港的货船进港的货船装货装货/卸货卸货码头泊位码头泊位到港的飞机到港的飞机降降 落落机场跑道机场跑道电话拨号电话拨号通通 话话交换机交换机故障机器故障机器修修 理理修理技工修理技工数据包数据包路由选择路由选择路由器路由器上游河水上游河水入入 库库水闸管理员水闸管理员12网
10、络时延网络时延v衡量网络传输能力的衡量网络传输能力的重要指标重要指标之一，是之一，是指将一个分组从源节点传到目的节点的指将一个分组从源节点传到目的节点的时延时延。v对时延的考虑将会影响网络对时延的考虑将会影响网络算法算法和和协议协议（如多址协议、路由算法、流控算法等）（如多址协议、路由算法、流控算法等）的选择。的选择。v因此，必须了解网络时延的因此，必须了解网络时延的特征特征和和机制机制，以及网络时延取决于哪些以及网络时延取决于哪些网络因素网络因素。13网络时延网络时延 网络中的时延通常包括四个部分：网络中的时延通常包括四个部分：处理时延处理时延、排队时延排队时延、传输时延传输时延和和传播时延
11、传播时延。v处理时延处理时延：是指分组从到达一个节点：是指分组从到达一个节点(如部件或器如部件或器件件)的输入端开始，截止于该分组到达该节点输出的输入端开始，截止于该分组到达该节点输出端之间的时间。端之间的时间。v排队时延排队时延：若节点的传输队列在节点的若节点的传输队列在节点的输出端输出端，则排队时，则排队时延是分组进入延是分组进入传输队列传输队列时刻起到该分组时刻起到该分组实际进实际进入入传输时刻之间的时间。传输时刻之间的时间。若节点的若节点的输入端输入端有一个等待队列，则排队时延有一个等待队列，则排队时延是指分组是指分组进入等待队列进入等待队列时刻起到分组时刻起到分组进入节点进入节点进行
12、处理进行处理时刻之间的时间。时刻之间的时间。14网络时延网络时延v传输时延传输时延：是指发送节点在传输链路上开始发：是指发送节点在传输链路上开始发送分组的送分组的第一个比特至发完该分组的最后一个第一个比特至发完该分组的最后一个比特比特所需的时间。所需的时间。v传播时延传播时延：是指发送节点在传输链路上发送第：是指发送节点在传输链路上发送第一个比特的时刻至该比特到达接收节点的时延。一个比特的时刻至该比特到达接收节点的时延。与电磁波在媒质中的与电磁波在媒质中的传播速度传播速度有关有关与与通信距离通信距离有关（成正比）有关（成正比）与信道容量本身无关与信道容量本身无关节点节点排队排队时延时延排队排队
13、时延时延处理处理时延时延传输传输时延时延传播传播时延时延第第一一比比特特最最后后比比特特第第一一比比特特节点节点传传至至终终点点15排队系统结构图排队系统结构图输入来源输入来源队队 列列服务机构服务机构排队系统排队系统顾客顾客服务完离开服务完离开 顾客源顾客源 排队结构排队结构 顾客到来顾客到来排队规则排队规则服务规则服务规则 顾客离去顾客离去 服务机构服务机构 排队系统排队系统16排队系统的要素及其特征排队系统的要素及其特征排队系统的排队系统的要素要素：（1 1）到达到达的规则或行为的规则或行为 ；（2 2）排队排队结构与排队规则；结构与排队规则；（3 3）服务服务机构与服务规则；机构与服务
14、规则；顾客到达的数目（有限、无限）、顾客到达的数目（有限、无限）、到达间隔（确定值、随机值）、到到达间隔（确定值、随机值）、到达的方式（独立、成批）达的方式（独立、成批）等待制、损失制（截止型）、混合等待制、损失制（截止型）、混合制制服务规则：无窗口、单窗口、多窗口；服务规则：无窗口、单窗口、多窗口；服务时间：确定的、随机的服务时间：确定的、随机的17顾客到达的规则或行为顾客到达的规则或行为顾客源顾客源(总体总体)：有限有限/无限无限;顾客到达方式：顾客到达方式：逐个逐个/逐批逐批;(;(仅研究逐个情形仅研究逐个情形)顾客到达间隔：顾客到达间隔：随机型随机型/确定型确定型;顾客前后到达是否独立
15、：顾客前后到达是否独立：相互独立相互独立/相互关联相互关联；输入过程是否平稳：输入过程是否平稳：平稳平稳/非平稳非平稳；(仅研究平稳性仅研究平稳性)顾客到达时刻顾客到达时刻t ti i相继到达间隔时间相继到达间隔时间 i i18排队结构与排队规则排队结构与排队规则v顾客排队方式：顾客排队方式：等待制（不拒绝型）等待制（不拒绝型）/即时制即时制(损失制、截止型损失制、截止型);等待制：指系统忙时，顾客在系统中等待。等待制：指系统忙时，顾客在系统中等待。损失制：指顾客发现系统忙时，立即离开系损失制：指顾客发现系统忙时，立即离开系统。典型的损失制系统是电话通信系统。统。典型的损失制系统是电话通信系统
16、。1 11 12 2c c 1 12 2c c 1 12 2c c 19服务机构与服务规则服务机构与服务规则v服务台服务台(员员)数目：数目：单个单个/多个多个;v服务台服务台(员员)排列形式：排列形式：并列并列/串列串列/混合混合;v服务台服务台(员员)服务方式：服务方式：逐个逐个/逐批逐批;(;(研究逐个情形研究逐个情形)v服务时间分布：服务时间分布：随机型随机型/确定型确定型;v服务时间分布是否平稳服务时间分布是否平稳:平稳平稳/非平稳非平稳;(;(研究平稳情形研究平稳情形)v排队系统容量：排队系统容量：有限制有限制/无限制无限制;v排队队列数目排队队列数目:单列单列/多列多列;v是否中
17、途退出是否中途退出:允许允许/禁止禁止;v是否列间转移是否列间转移:允许允许/禁止禁止;(仅研究仅研究禁止退出和转移禁止退出和转移的情形的情形)20服务机构与服务规则服务机构与服务规则服务台服务台(员员)为顾客为顾客服务的顺序服务的顺序:a)先到先服务先到先服务(FCFS);b)后到先服务后到先服务(LCFS);c)随机服务随机服务;d)优先服务优先服务;21二、排队模型二、排队模型（1）D.G.Kendall(美国生物化学家美国生物化学家,曾获曾获1950年诺贝尔生理学年诺贝尔生理学-医学奖医学奖)(1953)表示法表示法 X/Y/Z依据排队系统依据排队系统3个主要特征：个主要特征：1）X：
18、顾客顾客到达间隔到达间隔时间分布；时间分布；2）Y：服务台（员）服务台（员）服务时间服务时间分布；分布；3）Z：服务台（员）服务台（员）个数个数（单个或多个并列单个或多个并列）；1、排队模型表示方法、排队模型表示方法221、排队模型表示方法、排队模型表示方法（2）国际排队论标准化会议）国际排队论标准化会议(1971)表示法：表示法：X/Y/Z/A/B/C1）A：系统容量限制；系统容量限制；2）B：顾客源（总体）数目；顾客源（总体）数目；3）C：服务规则（服务规则（FCFS，LCFS等）；等）；简化后三项，即指简化后三项，即指“X/Y/Z/FCFS”；这里仅研究这里仅研究FCFS的情形；的情形；
19、232、到达间隔和服务时间典型分布到达间隔和服务时间典型分布（1）无记忆泊松分布无记忆泊松分布 M；（不相交区间内到达顾客数相互独立）（不相交区间内到达顾客数相互独立）（2）负指数分布负指数分布 M；（3）k阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布 Ek；（4）确定型分布确定型分布 D；（5）一般服务时间分布一般服务时间分布 G；243、排队系统时间参数分布规律、排队系统时间参数分布规律一、顾客到达时间间隔分布一、顾客到达时间间隔分布(一一)泊松流与泊松分布泊松流与泊松分布 如果顾客到达满足如下条件，则称为如果顾客到达满足如下条件，则称为泊松流泊松流:(1)在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数在不相互重叠的时
20、间区间内，到达顾客数 相互独立相互独立(无后效性无后效性).(2)对于充分小的时间间隔对于充分小的时间间隔t,t+t内，到达内，到达 1个顾客的概率与个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔无关，仅与时间间隔 成正比成正比 (平稳性平稳性)：(3)对于充分小的时间间隔对于充分小的时间间隔t,t+t，2个及以个及以 上顾客到达的概率可忽略不计上顾客到达的概率可忽略不计(普通性普通性)。253、排队系统时间参数分布规律、排队系统时间参数分布规律v对泊松流，在时间对泊松流，在时间t时刻系统内有时刻系统内有n个顾个顾客的概率服从如下泊松分布客的概率服从如下泊松分布 EN(t)=t;=t;单位时间平均到达的顾
21、客数；单位时间平均到达的顾客数；263、排队系统时间参数分布规律、排队系统时间参数分布规律(二二)泊松流到达间隔服从负指数分布泊松流到达间隔服从负指数分布v若顾客到达间隔若顾客到达间隔T的概率密度为的概率密度为 则称则称T服从负指数分布。服从负指数分布。v若顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔若顾客流是泊松流时，顾客到达的时间间隔 显然服从上述负指数分布显然服从上述负指数分布;vET=1/;T=1/273、排队系统时间参数分布规律、排队系统时间参数分布规律二、顾客服务时间分布二、顾客服务时间分布(一一)负指数分布负指数分布(1)对一个顾客的服务时间对一个顾客的服务时间Ts，等价于相邻两个顾客，
22、等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布，服从负指数分布，其概率密度为其概率密度为 则则 ETs=1/;=1/(2)ETs=1/：每个顾客的平均每个顾客的平均(期望期望)服务时间；服务时间；:单位时间服务的顾客数，平均单位时间服务的顾客数，平均(期望期望)服务率；服务率；283、排队系统时间参数分布规律、排队系统时间参数分布规律(二二)爱尔朗爱尔朗(Erlang)分布分布(1)设设v1,v2,vk是是k个相互独立的随机变量，个相互独立的随机变量，服从相同参数服从相同参数1/k的负指数分布，则：的负指数分布，则：T=v1+v2+vk的概率密度为的概
23、率密度为 称称T服从服从k阶爱尔朗分布。阶爱尔朗分布。(2)ET=1/;Var T=1/(k2)(3)T的意义之一的意义之一:k个串联服务台的总服务时间个串联服务台的总服务时间294、排队模型示例排队模型示例M/M/1，M/D/1，M/Ek/1；M/M/c，M/M/c/m，M/M/c/N/，302023/5/1 31解决的问题解决的问题已知量：已知量：v顾客到达率顾客到达率：指单位时间内进入系统的平均顾：指单位时间内进入系统的平均顾客数，也称为单位时间内进入系统的客数，也称为单位时间内进入系统的“典型典型”顾客数，顾客数，“典型典型”是指时间平均是指时间平均v服务速率服务速率：指系统处于忙时单
24、位时间内服务的：指系统处于忙时单位时间内服务的典型（平均）顾客数典型（平均）顾客数求解量：求解量：v系统中的系统中的平均顾客数平均顾客数：它是在等待队列中和正：它是在等待队列中和正在接受服务的顾客数之和的平均数在接受服务的顾客数之和的平均数v每个顾客的每个顾客的平均时延平均时延：即每个顾客等待所花的：即每个顾客等待所花的时间加上服务时间之和的平均值时间加上服务时间之和的平均值31三、三、Little定理定理vN(t)系统在系统在t时刻时刻的顾客数的顾客数vNt表示在表示在0,t时间内时间内的平均的平均 顾客数，即顾客数，即v系统系统稳态稳态时的时的平均平均顾客数为顾客数为Little1961年
25、提出小定理年提出小定理麻省理工学院麻省理工学院John Little教授教授32v令令(t)在在0,t内内到达到达的顾客数，则在的顾客数，则在0,t内内的平均到达率为的平均到达率为v稳态平均到达率为稳态平均到达率为33v令令 Ti第第i个到达的顾客在系统内花费的时间（个到达的顾客在系统内花费的时间（时时 延），则在延），则在 0,t内顾客的平均时延为：内顾客的平均时延为：v稳态稳态的顾客的顾客平均时延平均时延为：为：34vN、T的相互关系是：的相互关系是：N=T这就是这就是 Little定理（公式）。定理（公式）。该公式表明：该公式表明：稳态时稳态时，系统中的用户数（顾客数），系统中的用户数（
26、顾客数）用户（用户（顾顾 客）的客）的平均到达率平均到达率用户（顾客）的用户（顾客）的平均平均 时延时延35v上述讨论是针对上述讨论是针对时间平均时间平均的结论。对于的结论。对于统计平统计平均均有相同的结论，即有相同的结论，即v成立的基本要求成立的基本要求：系统具有：系统具有各态历经性各态历经性，并可，并可以达到以达到稳态稳态。例如，令。例如，令pn(t)在在t时刻系统顾时刻系统顾客数为客数为n的概率。系统可以达到稳态的要求是：的概率。系统可以达到稳态的要求是：v令令N(t)统计平均为统计平均为 ，则各态历经性，则各态历经性的要求是指以概率的要求是指以概率1成立：成立：时间平均值时间平均值和和
27、统计平均值统计平均值是一致的。是一致的。36Little定理的证明定理的证明v设系统的初始状态为设系统的初始状态为N(0)=0 vt时刻时刻到达到达系统的系统的总总用户数为用户数为(t)vt时刻时刻离开离开系统的系统的总总用户数为用户数为(t)v则则t时刻时刻停留停留在系统中的用户数为在系统中的用户数为N(t)=(t)-(t)37Little定理的证明（方法定理的证明（方法1）v设用户设用户i 在系统中停在系统中停 留时间为留时间为Ti，则：，则：v同时除以同时除以t，得，得v因为：因为：38v所以：所以：v在系统达到在系统达到稳态稳态的情况下，进入系统的顾客数的情况下，进入系统的顾客数等于离
28、开系统的顾客数，从而有：等于离开系统的顾客数，从而有：v所以有：所以有：N=T39Little定理的证明（方法定理的证明（方法2）vti=第第i个用户的到达时间个用户的到达时间 vTi=第第i个用户在系统中驻留的时间个用户在系统中驻留的时间 vN(t)=在在t 时刻时刻 驻留在系统中的用户数驻留在系统中的用户数=(t)-(t)vFCFS（对于非先到先服务系统证明相似）对于非先到先服务系统证明相似）,则则:40Little定理的证明（方法定理的证明（方法2）v假定以上极限都存在，且假定是各态历经的系假定以上极限都存在，且假定是各态历经的系统（即为平稳系统），则统（即为平稳系统），则v稳态时就有：
29、稳态时就有：41Little定理的应用定理的应用例题例题1、分组通过一个节点在一条链路上传输。、分组通过一个节点在一条链路上传输。假定分组到达率为假定分组到达率为，分组在输出链路上的平，分组在输出链路上的平均传输时间为均传输时间为 ，在节点中等待的时间（不包，在节点中等待的时间（不包括传输时间）为括传输时间）为 。求在该节点中等待传输。求在该节点中等待传输（不包括正在传输）的分组的个数（队长）（不包括正在传输）的分组的个数（队长）NQ，以及传输链路上的平均分组数，以及传输链路上的平均分组数N。节点节点分组到达分组到达到达率到达率 处理机构处理机构 排队机构排队机构传输链路传输链路解：解：1、仅
30、把、仅把节点中等待的队列节点中等待的队列作为考虑作为考虑 对象对象 2、仅把、仅把传输链路传输链路作为考虑对象作为考虑对象42例题例题2 v假定一个服务大厅有假定一个服务大厅有G个服务窗口，该服务大个服务窗口，该服务大厅最多可容纳厅最多可容纳N个顾客，服务大厅始终是满的。个顾客，服务大厅始终是满的。设每个顾客的平均服务时间为设每个顾客的平均服务时间为 ，则顾客在大，则顾客在大厅里停留的时间厅里停留的时间T为多少？为多少？v解：设进入大厅的顾客达到率为解：设进入大厅的顾客达到率为，对整个系，对整个系统应用统应用Little定理，有：定理，有：对服务窗口应用定理：对服务窗口应用定理：将两式合并：将
31、两式合并：43例题例题 3 v一服务大厅有一服务大厅有G个服务窗口，顾客达到率为个服务窗口，顾客达到率为，每个顾客的平均服务时间为每个顾客的平均服务时间为 。假定顾客到达假定顾客到达时发现服务窗口被占满就立即离开系统。求顾时发现服务窗口被占满就立即离开系统。求顾客被阻塞的概率。客被阻塞的概率。v解：由于顾客是随机到达的，则系统有时满，解：由于顾客是随机到达的，则系统有时满，有时空。设平均处于忙的窗口数为有时空。设平均处于忙的窗口数为 ，记，记 为为顾客被阻塞概率，则系统中的平均用户数顾客被阻塞概率，则系统中的平均用户数：因此：因此：44例题例题 4v假设一假设一600门程控电话交换机为某一小区
32、用户门程控电话交换机为某一小区用户提供电话服务，该小区内有提供电话服务，该小区内有6000个用户，每个个用户，每个用户的平均通话时间为用户的平均通话时间为3分钟。如果在忙时，分钟。如果在忙时，每个用户至少半小时打一次电话。试问：该交每个用户至少半小时打一次电话。试问：该交换机能否为该小区内的用户提供实时服务？换机能否为该小区内的用户提供实时服务？v解：解：由题意知，交换机的呼叫到达率由题意知，交换机的呼叫到达率 为为 6000 30=200次次/分钟分钟 =1-600 (2003)=0因此，肯定会出现打不通电话的情况因此，肯定会出现打不通电话的情况45小结、作业小结、作业v排队系统排队系统 现
33、象、时延模型、系统结构要素、规则及行为现象、时延模型、系统结构要素、规则及行为v排队模型排队模型 表示方法、顾客到达间隔和服务时间典型分布、表示方法、顾客到达间隔和服务时间典型分布、排队系统时间参数分布规律排队系统时间参数分布规律 vLittle 定理定理 证明及应用证明及应用46思考与练习思考与练习习题习题 2补充题补充题1、证明、证明Little定理。定理。2、假设一、假设一300门程控电话交换机为某一小区用门程控电话交换机为某一小区用户提供电话服务，该小区内有户提供电话服务，该小区内有3000个用户，个用户，每个用户的平均通话时间为每个用户的平均通话时间为3分钟。如果在忙分钟。如果在忙时，每个用户至少半小时打一次电话。试问：时，每个用户至少半小时打一次电话。试问：该交换机能否为该小区内的用户提供实时服该交换机能否为该小区内的用户提供实时服务？务？4748