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1、寻找最速降线第1页，本讲稿共18页 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点.C.F.Guass 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.R.C.Buck第2页，本讲稿共18页 1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:一质量为m的质点，在重力作用下从定点A沿曲线下滑到定点B，AB试确定一条曲线，使得质点由A到B下滑时间最短.假定B比A低，不计摩擦力和其他阻力等因素.问题导致数学新分支
2、的产生.问 题第3页，本讲稿共18页近似方法如图建立坐标系,设A为原点,B为(c,H),将带状区域0 y H用平行于x 轴的直线y=yk=kH/nABxycyk-1xk-1ykxk把这区域分成n个带状小区域在带状域yk-1yyk,可近似认为而曲线段近似认为是直线段,其长度于是质点从A到B所需时间近似为(n-1元函数!)第4页，本讲稿共18页求这个函数的极小值,就得到问题的近似解(为简单计,取g=1000cm/s2)In1:=Out1:=第5页，本讲稿共18页In3:=In4:=Graphics第6页，本讲稿共18页一个辅助结论设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 显然在l一侧质点
3、应走直线，因此关键是质点OC=x 那么质点由A1到A2需时间A1A2a1a2ClOD如图，若A1,A2到l 的垂足分上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？别为O,D,A1,A2 到l的距离分别为a,b,OD=c,质点经过l于C何时越过l？第7页，本讲稿共18页A1A2a1a2ClOD惟一驻点满足也即这就是光学中的Snell折射定律第8页，本讲稿共18页建立数学模型分析；如图建坐标系，AB 分割成小段,考虑在第kABxycak+1ak层与k+1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知由于上式对任何k成立，故导出若用与x 轴平行的直线将第9页
4、，本讲稿共18页ABxyca令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点其中a为该点切线与铅垂线的夹角由于其中y=y(x)为曲线函数，又因于是得到最速降线的方程：第10页，本讲稿共18页另一种方法变分法ABxyc设曲线为满足 y(0)=0,y(c)=H在曲线上P(x,y）处质点速度为又设从A到P的弧长为s,则从而质点沿曲线由A到B需时间第11页，本讲稿共18页设集合那么我们的问题成为求某个使得引进集合显然若是最速曲线函数,则于是函数在取得最小值故得第12页，本讲稿共18页为了计算,记那么对依复合函数求导法注意第二项于是导出第13页，本讲稿共18页由于的任意性,得到上式乘以可化为这里代入方程
5、且化简,得到也就是说满足方程第14页，本讲稿共18页解方程令 y=cott,那么由方程导出又因从而由x=0时,y=0,且注意,故C2=0,于是令由 x=c,y=H 得到求出根再确定 R(旋轮线)第15页，本讲稿共18页下降所需时间计算弧微分从而下降时间第16页，本讲稿共18页实验任务1.给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和后得到曲线和时间,将两种结果比较.2.在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面的面积最小3.伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动周期与振幅无关,试分析情况是否如此?线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所4.如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从需时间第17页，本讲稿共18页5.圆柱面方程为用曲线连接面上A(0,0,1),B(a,b,c)两点,求使得AB弧长最短的曲线(短程线)第18页，本讲稿共18页