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1、计算机图形学第讲图形变换第1页，此课件共48页哦本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变换第2页，此课件共48页哦图形变换图形变换l指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形n坐标系不动而图形变动（几何变换）坐标系不动而图形变动（几何变换）n图形不动而坐标系变动（坐标变换）图形不动而坐标系变动（坐标变换）l几何变换通常是以点变换为基础，即对图形
2、对象的每个点几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形l图形的拓扑关系不变图形的拓扑关系不变第3页，此课件共48页哦本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换第4页，此课件共48页哦齐次坐标表示法齐次坐标表示法l将一个原本是将一个原本是n维的向量用一个维的向量用一个n+1维向量表示维向量表示l
3、一个向量的齐次表示不是唯一的一个向量的齐次表示不是唯一的l当齐次坐标的当齐次坐标的h为为1时，称为规范化齐次方程时，称为规范化齐次方程 有有n n个分量的向量个分量的向量有有n+1n+1个分量的向量个分量的向量第5页，此课件共48页哦齐次坐标表示法齐次坐标表示法l二维齐次坐标在三维空间中二维齐次坐标在三维空间中第6页，此课件共48页哦齐次坐标技术的优点齐次坐标技术的优点l齐次坐标可以表达无穷远点齐次坐标可以表达无穷远点n对于对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示表示ay=bx直线直线上的无穷远点上的无穷远点l采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式采用齐
4、次坐标可以统一图形变换的运算形式n图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式的单一形式u将平移转换成矩阵乘法运算将平移转换成矩阵乘法运算第7页，此课件共48页哦本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换第8页，此课件共48页哦二维图形几何变换的齐次表示法二维图形几何变换的齐次表示法某一点P(x,y)列向量齐次表示法一个图形的点集齐次表示法矩阵图形几何变换表示：
5、图形几何变换表示：第9页，此课件共48页哦几种常见的二维图形几何变换几种常见的二维图形几何变换l平移变换平移变换l缩放变换缩放变换l旋转变换旋转变换l对称变换对称变换l错切变换错切变换第10页，此课件共48页哦平移变换（平移变换（Translation）l指不产生变形而移动物体的刚性变换指不产生变形而移动物体的刚性变换Tx平行于平行于x轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量Ty平行于平行于y轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量y平移变换x第11页，此课件共48页哦平移变换的齐次坐标表示平移变换的齐次坐标表示l平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法n线性几
6、何变换线性几何变换-矩阵乘法矩阵乘法l从而与其余四种几何变换运算方式相统一从而与其余四种几何变换运算方式相统一平移矩阵：平移矩阵：简写为：简写为：第12页，此课件共48页哦缩放变换（缩放变换（Scaling）l指图形相对于坐标原点，按比例系数指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或缩放大或缩小的变换小的变换Sx平行于平行于x轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量Sy平行于平行于y轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量yx相对于原点的比例变换相对于原点的比例变换第13页，此课件共48页哦缩放变换的齐次坐标表示缩放变换的齐次坐标表示比例矩阵：比例矩阵：简写为：简写为：第14页，此课件共48
7、页哦缩放变换的性质缩放变换的性质l当当Sx=Sy时，变换前的图形与变换后的图形相似时，变换前的图形与变换后的图形相似n当当Sx=Sy=1时，图形不变，称为恒等变换时，图形不变，称为恒等变换n当当Sx=Sy1时，图形将均匀放大，并远离坐标原点时，图形将均匀放大，并远离坐标原点n当当0 Sx=Sy1时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点l当当SxSy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）正方形变为长方形、圆形变为椭圆）l当当Sx0时或时或Sy0时，图形不仅大小发生变化，而且将相对时，图形
8、不仅大小发生变化，而且将相对于于y轴、轴、x轴或原点作对称变换轴或原点作对称变换第15页，此课件共48页哦yxyxyxyx第16页，此课件共48页哦整体比例变换整体比例变换l整体比例变换，比例系数为整体比例变换，比例系数为1/Sn当当01时，图形等比例缩小时，图形等比例缩小n当当S0时，为等比例变换再加上对原点的对称变换时，为等比例变换再加上对原点的对称变换整体比例矩阵：整体比例矩阵：第17页，此课件共48页哦旋转变换旋转变换x两式合并可得：两式合并可得：yl指将图形围绕圆心逆时针转动一个指将图形围绕圆心逆时针转动一个角度的变换（规定逆时针角度的变换（规定逆时针转动方向为正）转动方向为正）旋转
9、变换第18页，此课件共48页哦旋转变换旋转变换l新坐标轴方向新坐标轴方向nx轴轴:ny轴轴:lP在新坐标轴上的投影在新坐标轴上的投影=P点旋转后坐标点旋转后坐标xyxy第19页，此课件共48页哦旋转变换的齐次坐标表示旋转变换的齐次坐标表示旋转矩阵：旋转矩阵：简写为：简写为：第20页，此课件共48页哦对称变换对称变换l指相对坐标轴、原点、指相对坐标轴、原点、线的对称变换（反射变换）线的对称变换（反射变换）l相对于相对于y轴对称：轴对称：oyxyoxl相对于相对于x轴对称：轴对称：第21页，此课件共48页哦n相对于原点对称（即中心对称）相对于原点对称（即中心对称）yoxyoxn相对于直线相对于直线
10、y=x对称对称对称变换对称变换第22页，此课件共48页哦xyoy=-xn相对于直线相对于直线y=-x对称对称l简写为：简写为：第23页，此课件共48页哦错切变换（错切变换（Shearing）l指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移变换）变换）n沿沿x轴方向关于轴方向关于y轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后y坐标不变，坐标不变，x坐标呈线性变坐标呈线性变化化将图形上关于将图形上关于y轴的平行线沿轴的平行线沿x方向推成方向推成角的倾斜线，而保持角的倾斜线，而保持y坐标不变。坐标不变。第24页，此课件共48页哦xyx第25页，此课件共48页哦n
11、沿沿 y 轴方向关于轴方向关于 x 轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后x坐标不变，坐标不变，y坐标呈坐标呈线性变化。线性变化。yyxl简写为：简写为：第26页，此课件共48页哦本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换第27页，此课件共48页哦变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l变换矩阵可用变换矩阵可用33矩阵来描述矩阵来描述n左上角的左上角的22子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；换；n右上角的右上角的12子块可实现平移
12、变换；子块可实现平移变换；n左下角的左下角的21子块可实现投影变换；子块可实现投影变换；n右下角的右下角的11子块可实现整体比例变换。子块可实现整体比例变换。第28页，此课件共48页哦变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区 比例变换、旋转变换比例变换、旋转变换 对称变换、错切变换对称变换、错切变换 平移变换平移变换第29页，此课件共48页哦变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区 投影变换投影变换 整体比例变换整体比例变换第30页，此课件共48页哦本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变
13、换第31页，此课件共48页哦复合变换复合变换l对于任何一个比较复杂的变换对于任何一个比较复杂的变换n可以转换成若干个连续进行的基本变换可以转换成若干个连续进行的基本变换n这些基本几何变换的组合称为复合变换这些基本几何变换的组合称为复合变换n复合：复合：u矩阵乘法矩阵乘法第32页，此课件共48页哦复合变换复合变换l设图形经过设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2,Tn 顶点顶点p经经T1变换后：变换后：p=T1 p 经经T2变换后：变换后：p=T2 p=T2 T1 p 经经Tn变换后：变换后：p(n)=Tn p(n-1)=TnTn-1T2T1plT
14、=TnTn-1T2T1就为复合变换矩阵就为复合变换矩阵第33页，此课件共48页哦复合变换复合变换l对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，形成总的复合变换矩阵形成总的复合变换矩阵T，再将变换前的坐标与，再将变换前的坐标与T相乘，相乘，得到变换后的最终坐标得到变换后的最终坐标p(n)=Tn p(n-1)=TnTn-1T2T1p=(TnTn-1T2T1)p=Tpl一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格按照一定的交换顺序按照一定的交换顺序第34页，此课件共48页哦复合变换复合变换l连续平
15、移变换连续平移变换l连续比例变换连续比例变换l连续旋转变换连续旋转变换l相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l以平面内任一直线为对称轴进行对称变换以平面内任一直线为对称轴进行对称变换第35页，此课件共48页哦连续平移变换连续平移变换l设点设点p(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1(Tx1,Ty1)和第二次平移变和第二次平移变换换T2(Tx2,Ty2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次平移变换经第二次平移变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y
16、)第36页，此课件共48页哦l得到连续平移变换的复合矩阵得到连续平移变换的复合矩阵T为：为：即连续的平移变换是平移量的相加即连续的平移变换是平移量的相加连续平移变换连续平移变换第37页，此课件共48页哦连续比例变换连续比例变换l设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比例变和第二次比例变换换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次比例变换经第二次比例变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)第38页，此课件共48页
17、哦l得到连续比例变换的复合矩阵得到连续比例变换的复合矩阵T为：为：即连续的比例变换是比例系数的相乘即连续的比例变换是比例系数的相乘连续比例变换连续比例变换第39页，此课件共48页哦连续旋转变换连续旋转变换l设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1(旋转角度为旋转角度为1 1)和第二和第二次旋转变换次旋转变换T2(旋转角度为旋转角度为2 2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次旋转变换经第二次旋转变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)第40页，此课件共48
18、页哦l得到连续旋转变换的复合矩阵得到连续旋转变换的复合矩阵T为：为：第41页，此课件共48页哦相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的缩放变换作相对于原点的缩放变换n平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置l相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的旋转变换作相对于原点的旋转变换n平移变换，即将参考
19、点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置第42页，此课件共48页哦Oxy相对于任意点(x0,y0)的比例变换(x0,y0)(0,0)相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换平移平移比例第43页，此课件共48页哦相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换Oxy相对于任意点(x0,y0)的旋转变换(x0,y0)(0,0)平移平移旋转第44页，此课件共48页哦例：求点例：求点P(x,y)相对任一点相对任一点M(x0,y0)作缩放变换的变换矩作缩放变换的变换矩阵。其中缩放系数为阵。其中缩放系数为(Sx,Sy)解：平移得平移矩阵解：平移得平移矩阵T1为：为：进
20、行比例变换得缩放变换矩阵进行比例变换得缩放变换矩阵T2为：为：反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵T3为：为：相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换第45页，此课件共48页哦 因此，复合变换矩阵应为：因此，复合变换矩阵应为：注意：注意：相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换第46页，此课件共48页哦以任一直线为对称轴进行对称变换以任一直线为对称轴进行对称变换l相对于平面内的任意条直线进行对称变换相对于平面内的任意条直线进行对称变换n平移，使对称轴直线经过坐标原点平移，使对称轴直线经过坐标原点n绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如X轴）重轴）重合合n关于某个坐标轴（如关于某个坐标轴（如X轴）进行对称变换轴）进行对称变换n绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向n平移，使对称轴直线回到原来的位置平移，使对称轴直线回到原来的位置第47页，此课件共48页哦oxy以任一直线为对称轴进行对称变换以任一直线为对称轴进行对称变换第48页，此课件共48页哦