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1、二项式定理公开课课件二项式定理公开课课件（二）、创设情境（二）、创设情境引出问题引出问题 问题问题:今天是星期五,7天后的这一天是星期几呢？15天后的这一天呢？算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算若今天是星期五若今天是星期五,再过再过8100天后的那一天是星期几天后的那一天是星期几?推陈出新推陈出新=?=?（三）、存疑设问（三）、存疑设问突破难点突破难点?对对 展开式的分析展开式的分析(a+b)2是是2个个(a+b)相乘，即相乘，即(a+b)2=(a+b)*(a+b)=(a+b)*(a+b)=aa+ab+ba+bb每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b
2、)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2*2=22项，而且每一项而且每一项a,b次数和都是次数和都是2且每一且每一项都是都是项都是都是 的形式。a2-kbk(k=0,1,2)(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取
3、每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前
4、的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式中代表着这些项在展开式中出现的次数出现的次数a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项：项：系数：系数：(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4结果：结果：3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？知识，只有以我们自主探知识，只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵。索的方式获得才显得更为珍贵。尝试猜想尝试猜想=?=?请同学们猜一猜请同学们猜一猜:猜想猜想:(a+b)n
5、展开式又是怎样的呢？展开式又是怎样的呢？初步归纳初步归纳(a+b)n是是n个个(a+b)相乘相乘,每个每个(a+b)在相乘时有两种选择选在相乘时有两种选择选a或选或选b,而且每个而且每个(a+b)中的中的a或或b都选定才能得到展开的一都选定才能得到展开的一项。在合并同类项之前项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理,(a+b)n的展的展开式共有开式共有2n项项,而且每一项都是而且每一项都是的形式的形式.证明证明:对于某个对于某个k(k ),0,1,2,n对应的项对应的项an-kbk是由是由n-k个（个（a+b）中选）中选a,k个（个（a+b）中选）中选b得到的得到的.由于由于
6、b选定后选定后,a的选法也随之确定的选法也随之确定,因此因此,an-kbk出现的次数相当于出现的次数相当于从从n个个(a+b)中取中取k个个b的组合数的组合数 ,这样这样,(a+b)n的展开式中，的展开式中，将它们合并同类项将它们合并同类项,就得到二项展开式就得到二项展开式:an-kbk(k=0，1，2，n)二项式二项式二项展开式二项展开式记作记作:二项式定理（二项式定理（binomial theorem)这个公式叫做这个公式叫做右边的多项式叫做右边的多项式叫做二项式定理二项式定理,左边的多项式叫做左边的多项式叫做二项式二项式,的的二项展开式，二项展开式，其中各项的系数其中各项的系数称为称为二
7、项式系数，二项式系数，式中的式中的展开式的第展开式的第 项项,叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，通项，它是二项它是二项1.系数规律：系数规律：2.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为）各项的次数均为n；（2）a的次数按降幂排列，由的次数按降幂排列，由n降到降到0，b的次数按升幂排列，由的次数按升幂排列，由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式二项式二项展开式二项展开式 第第 项的二项式系数项的二项式系数通项通项在二项式定理中，令在二项式定理中，令a=1a=1，b=xb=x，则有：，则有：在上式中，令在上式中，令 x=1x=1，则有：，则有：例例1
8、:求求 的展开式的展开式求求求求 展开式第三项以及其二项式系数，求展开式第三项以及其二项式系数，求展开式第三项以及其二项式系数，求展开式第三项以及其二项式系数，求x x3 3项的系数项的系数项的系数项的系数引例：引例：今天是星期五，若今天是星期五，若 天后的这一天是星天后的这一天是星期几呢？期几呢？解解:被被7除的余数是除的余数是1，因此，因此 天后的这天后的这一天是星期六一天是星期六.1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。2.方法收获：正确区分方法收获：正确区分“项的
9、系数项的系数”和和“二项式系二项式系数数”二项式定理二项式定理二项式二项式二项式展开式二项式展开式 第第 项的二项式系数项的二项式系数通项通项类比思想，类比思想，从特殊从特殊 一般一般 特殊，特殊，归纳猜想的数学思想归纳猜想的数学思想3.思维收获思维收获布置作业：布置作业：习题习题1.3的第的第2、4（1）（）（2）课本课本P31练习：练习：4.的展开式的第四项的二项式系数是的展开式的第四项的二项式系数是 _,5.5.第四项的系数是第四项的系数是 .5、选择题：选择题：的展开式的第的展开式的第 6 6 项的系数是项的系数是 .D1.写出 的展开式展开式.2.求 的展开式的第三项展开式的第三项.3.求 的展开式的第三项展开式的第三项.课堂练习：2、（1 1）求求 的二项展开式的二项展开式.（2）求）求 的二项展开式的二项展开式.(3)求 的展开式中 项的系数结束结束